1、偏微分大作业一维热传导方程问题运用隐式格式求解数值解目录问题描述 .31 解析解 分离变量法 .32 数值解 隐式格式 .53 证明隐式格式的相容性与稳定性 .54 数值解 分析与 Matlab 实现 .65 数值解与解析解的比较 .96 随时间变化的细杆上的温度分布情况 .117 稳定后细杆上的温度分布情况 .12参考文献 .13附录 .14有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入 100的沸水中，当细杆的温度达到 100时取出。假设细杆四周绝热；在时间 t=0 时，细杆两端浸入 0的冰水中。一维热传导方程： ，现在令 ，从而可知本题： 。现20txua21a0txu在要求细杆
2、温度分布： 。(,)ut1 解析解分离变量法热传导偏微分方程：0txu(1)(,)(1,t)，其中，0x， 或()x1(,)，首先令： (2)(,)uxtXxTt将(2)式带入(1)式得：(0A(i+1,i) = -r;8 下面就要运用 进行迭代。*(1,)(,)AUkjkj当 k=1 时，A*U(2,j)=U(1,j)当 k=2 时，A*U(3,j)=U(2,j)当 k=3 时，A*U(4,j)=U(3,j)以此迭代下去直到 k=M2。就可以得到整个温度随时间和空间的分布矩阵U。 数值解画图，如图 1(a)和图 1(b)所示。图 1(a) 数值解的温度分布图现在将着色平稳过渡。9图 1(b) 着色平稳过渡的数值解的温度分布图5 数值解与解析解的比较 首先，我们需要将解析解离散化，解析解中有一项 ，当 n 越来越2nte大时，会快速趋于 0，故我们可以取 n=8000。现在来证明可行性，在matlab 里的工作空间运算。将解析解的温度分布画出来，数值解画图 ，如图 2 所示。210图 2 解析解的温度分布图将数值解与解析解相减，得到误差图。如图 3(a)和图 3(b)，我们从图 3(a)上可以看出空间上的误差，在边界处误差比较大。
