1、 1 复旦大学数学科学学院复旦大学数学科学学院 2009200920102010 学年第二学期期末考试试卷学年第二学期期末考试试卷 A 卷 _A A _ _ _MATH120002_MATH120002_ _ _ 数学科学学院数学科学学院_ 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1（本题满分 48 分，每小题 8 分）计算下列各题： （1）设函数),(yxzz 由方程 z ezyx所确定，求 y z ， yx z 2 。 （2）求二元函数10232),( 22 yxxyyxf的极值。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 2 （3）计算二重积分 D dxdy x y arc
2、tan，其中D是由圆周1 22 yx，4 22 yx及直 线0y，xy 在第一象限所围的闭区域。 （4）计算第一类曲线积分 L yds，其中曲线L为上半心脏线，其极坐标表示为 )cos1 ( ar（0） ，其中0a。 3 （5） 计算第二类曲面积分 xyzdxdy， 其中为球面1 222 zyx在0x，0y， 0z的部分，并定向为下侧。 （6）求幂级数 0 4 12 2 n n n x n n 的收敛半径和收敛域。 4 2 （本题满分 8 分）设V是由椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 在第一卦限上的点处的切平 面和三个坐标平面所围成的四面体体积（0, 0, 0cba）
3、，求V的最小值。 3 （本题满分 8 分）计算第二类曲线积分 L ydyxdxyycos)(sin，其中L为曲线 )(xxy在第一象限的部分，方向为从)0, 0(A到)0,(B。 5 4 （本题满分 8 分）已知螺旋面片：cosrx ，sinry ，z（20， 10 r） ，计算第一类曲面积分 dSyx 22 。 5 （本题满分 10 分）设 ee ee xf xx )(，, 0x。 （1）将f展开为余弦级数； （2）求级数 1 2 41 ) 1( n n n 的和。 6 6 （本题满分 8 分）计算第二类曲面积分 dxdyzxdzdxyzdydzxy 222 ，其中是 椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的外侧。 7 7 （本题满分 10 分）已知幂级数 0 12 !)!12( n n n x 。 （1）求其收敛域； （2）若记该幂级 数的和函数为)(xS，且已知 2 0 2 dxe x ，证明： 2 2 )(lim 2 2 xSe x x 。
