1、复旦大学数学科学学院复旦大学数学科学学院 20132014 学年第二学期期末考试学年第二学期期末考试 高数高数 A（下）（下）A 卷参考答案卷参考答案 一、一、1、sin()cos()xyxxy， cos()sin()xyxxy. 2、23 .xyz 3、 1 48 . 4、收敛半径为收敛半径为2R ，收敛域，收敛域( 2,2) . 5、通解为、通解为 3 1 2 yxCx . 6、 11 41 ()sinsin(21) . 21 n nn f xbnxnx n 7、 8、 ( ),. r frrxiyjzk r 二、二、 （1）驻点（）驻点（0,0） ，） ，f(0,0)=2. （2）在椭圆
2、域边界椭圆上，最大值为）在椭圆域边界椭圆上，最大值为 3（x=1,-1,y=0 时） ，最小值为时） ，最小值为-2 （x=0,y=2,-2 时） 。时） 。 综上，最大值综上，最大值 3，最小值，最小值-2. 三、三、 7 . 12 四、四、 3 3 ( ). (1) x S x x 五、五、 1 2 2 1 ( 1) ( )12 41 n n n f xx n ， (0)(0) 1f ， (21)(0) 0 k f ， 1 (2 ) 2 2( 1) (0)(2 )!(1,2,) 41 k k fkk k . . 六、六、 （1） 2 22 2 cos(cos )cos(cos ) xxxx
3、 z eyf eyeyfey x ， 2 22 2 cos(cos )sin(cos ) xxxx z eyf eyeyfey y ； （2） 22 11 ( )2 . 22 uu f ueeu 七、七、证明证明 （1 1）由）由 LagrangeLagrange 中值定理，中值定理，0 2 （ ， ），使得，使得 cos(cos)( sin1)() mmnnmn aaaaaa ， 于是于是 coscos mn bb mn aa ， mn aa mn bb， 由于由于 1 n n b 收敛，可知收敛，可知0() n bn，根据，根据 CauchyCauchy 收敛原理，收敛原理， n a收敛，
4、记收敛，记 () n aa n，0 2 a ， 在在coscos nnn aab中令中令n，得，得 cos1aa，则，则0a 。 另证：记函数另证：记函数( , )coscosF x yyyx，则，则sin10 y Fy ，0 2 y ，由，由 隐函数存在定理， 方程隐函数存在定理， 方程( , )coscos0F x yyyx可在可在0 ，确定一个隐函数确定一个隐函数 ( )yf x ，它在，它在0 ，上连续，于是上连续，于是在在coscos nnn aab中令中令n，得，得 cos (0)(0)1ff，则，则(0)0f ，即，即0() n an。 （2 2）由）由 1cos1cos 1 nn nn ab aa ，及，及0() n an，可得，可得 1cos lim1 n n n b a ， 即即 2 lim1 2 n n n b a ，或，或 1 lim 2 n n n n a b b ，由比较判别法，由比较判别法， 1 n n n a b 收敛。收敛。
