1、39;ensuit que p ne contiendra que des puissances impaires et q seulement des puissances paires. On aura donc p = (a o + a(2n + x)6 + a2(2n + ,)6 +. (24) + a.F(2n + ,)6“). ?,(2n + ,)6, q=b o +b,fi2n+ ,)6+b,f(2n+ ,)6)+. + b._,. (2 + )6 .- off a 0 , a I , ., a,; b 0 , bl, ., b,_t sent des coefficients
2、indpendants de 6. Ces coefficients sent des fonctions des quantitds 9(ma + #fl) et on pourra les ddterminer en dveloppant les deux membres de ldquation (22) suivant les puissances de 76. Or le procdd6 serait fort compliqu6. :Nous donnerons tout l lheure uixe autre mgthode plus simple. 2v = (r + r -
3、o).+, 2q.f(2n + ,)O.F(2n + i)6- (r - (r “+1 . doric 12 N.H. Abel. Connaissant ainsi la valour de (r + en -(:u-t- i)g, on en tire eelle de r en extrayant la racine (2n-t- i)( savoir (25) r = “, + q.fz, + ,)O.F(, + ,)0, r est une fonetion lindaire des racines. EIIo prend diff6rentes formes selon les v
4、aleurs diffdrentes de k eL k. En donnant ,I ees hombres routes les va- letos depuis zdro jusqu/i on connait la valour de ( -b ) fonetions diffd- rentes. Nous allons voir quon pourra en ddduire les raeines elles-mdmes. Dsignons la valeur de p “t“ qf(sn -I- 1)0. F(:n + I)0 qui rond h k et k par x(k, k
5、), on aura: 2n 2n (6) zo., , “+,“.(o + , + l)= “+:lzti,-.-. Multiplions eette dquation par 3-“ - et prenons ensuite la somme par rappor h k e k depuis zdro jusquh zn, on aura: 9n 2n 2n 9n 2n 2n Maintenant on a: 2n 2u 2n 2:a - I + . _ (2( ) JC - (,n(m-m). / /“ - + - + 3: -) +. + 3“c- ) Quel que soit
6、le nombre impair 2n + i premier ou non, si en m4me temps m et / sont positifs et moindres que 2n + I eette quantit6 se rdduit “X z6ro pour routes les valeurs de m, m,/, p exeept6 lorsquon a h la fois m-re et /L-#; dans ee eas elle devient (2n + I) 2 . De 1 il suit qua le premier membre de l6quation
7、(26) se r6duira h (2n + ).(o + ma +/,fl). Par consequent oll aura en changeant m ot IX cn m et , (0 + , + ) = i, + i) Recherches sur les fonctions elliptiques. 13 voici donc lexpression dune racine quelconquc de ldquation (2n+ )0-R=o. En faisant m =-o, / = o on aura la valeur de 8 savoh“ 2n 2tt - .z
8、o, (28) e0 (2,/, - l) Lexpression des racines contient comme on voit (2n- I) radicaux diffd- rens. Or on peut les exprimer rationnellement en deux dentre eux. Soient p et Plles deux valeurs de z(k, k) qui rdpondent respectivement k =- , k= o et k = o, k= i, en sorte que: 2n 2n |.+I (29) | , 2. I.+,
9、= i z0. + +.z/i , alors je dis quon aura: k k -1 q-2.+ (30) r = s.p -l+“+.p, oh S ddsigne une fonction enti6re de F(2n q- I)6 et f(:n-4- i)t?.F(anq.- I)6. “-= b, +p = r on aura en vertu des dquations (2o), (2I) Soient Vp en faisant k = I, k= o; k -o, k- I r + a) = -.r G(O+fl)=O-.GO; r + fl) = r G(0
10、+ ) = r dollc : r + )-+,+ = +. (r -+,+ , G(o + )-+“+ =o+“.(Go) -+, ct de lh en ayant 6gard t la formule (2o) r + ). r (O + )+-. G(0 + )“+-“ = r162 +-*. (r r + fl). r + ?)+-. G(0 + )“+-“ = r162 +-. (G0)“+% doh il suit en vertu du thdor il faut donc encore une dquation. Or si 1on divise les deux membr
11、es de lquation par (F0) “+ et quon suppose ensuite Reeherehes sur les fonctions eUiptiques. 15 I le premier membre se rduit h Iet le second a.(2n + i).+, 0= o cause de la formule C(2a + I)O I pour CO = I 90 - 2 + 6“ On aura done: (36) a. = (2n -3 t- I) “+. Les mgmes 6quations (35) donneront encore u
12、ne quation en e seul; mais comme elle doit avoir lieu quelle que soit la valeur de k et k il sera impossible den tirer la valeur de r qui doit avoir effeetivement lieu. Or on peut trouver cette quantitd de la manire suivante: Soit (37) rO = r162 O) on aura =(o + ) = r + ). r o - ), mais selon (20) o
13、n a p(O+ a) - 3-*. pO et de lt en mettant -O-a au lieu de 0 p(-0-a)= 5.r done en substituant r(0 + a)= r0. De la m8me manire on prouvera que r:(0 +/9) = r0. Done en vertu du I thdorme r r a + B.+(2 + ,)0 + C. r + ,)0 “4- D.f(2n + I)0.F(2n “4“ I)0. Si lon met to-0 au lieu de 0 le premier membre reste
14、 le mgme et le second reste aussi le mgme en changeant seulement le signe de D. Ce coefficient est donc dgal zdro. En remarquant de plus que le second membre doit rester invariable en changeant le signe de 0 et celui de c(2n + I)0, on aura encore B : oet par consdquent +o.+(-o) = A + C.+( + ,)0. I E
15、n faisant 0 = o on aura A= 0(0)2; on faisant 90= on ama $ C-(2n + l) 2 et en faisant 0- 2n+i r et A-I-C.(r on aura done“ (38) r r + ,)+.:)-,+2n + ,)o: I 2n 2n et 16 N.H. Abel. On connait done Cr au signe pros, or ce-ci ninflue enrien sur la valeur des coefficients a0, a , ., b 0 , b , En effet il ne
16、st pas diffi- cile de voir quon peut les exprimer rationnellement en (r Le coefficient b 0 se trouve immddiatement en faisant s-o savoir (39) bo= o,o,3“J+“v.f(ma-l-p) l =_+_(2n+, .(Cz)2,+, Les fonctions p et q jouissent dune propridtd remarquable quon peut ddduire sur le champ de ldquation (38). En
17、effet en 61evant les deux membres h la (2n + i) puissance on aura mais r 2“+1, .r = (2, 71-I)4r+(95)2-(2,1,2f - I)tl, p + q.f(2n + )o.F(2n + )o; -p + q.f(2n + 1)O.F(-n + I)O, r , = r o),+ , _ done en substituant p2 q:.f(2n -I- ,)O./;(2u-Jr- ,)0 = (, + ,)“+(:, + ,/o) - (,)I +. Soit r + I)0 = y on ama
18、 f(2n-t-,)O.F(2n-t- )O 2= ( -c2Y2)( q-eY:), done (40) (aoY - aY 3 Jr- .-F a,y“-l) 2 -(b o + bly 2 +. + b,_f“ 2)2(I-cy)(I +ey ) = (:n+ ,),.+.W_ ,.+ , . Cette propri6t6 des fonetions pet q suffit pour les ddterminer au signe pros car ldquation doit avoir lieu pour une valeur quelconque de y, et donner
19、a ainsi -n + 2 gquations entre les coefficients a 0 ,a, ., bo, b, . et (e) . Pour donner un exemple, consid6rons le eas le plus simple oh n = i. 2m 2i Dans ce cas on a a=-, /- 3 3 2 2 ou bien (4 I) Off Reeherehos aur les fonetions elliptiques. 17 _ =o, a“ (o 2i 0r,+,99 (0 + a 99 (o + T/+ + 2eO+2i)+3
20、k+k3 99 0+( 4 + a,.99( O _ )+ #,+2r99( O + 2co + 4 i)+ o,+,.99(e + 4a, + 4i), 3 2 r 3 =%9930 + a,(9930) + bo .f30.F30, (tO “4“ alYs) - b(I - e2ys)(i -Jr- e2y s) -. 3. (Y - f)3 2 I 0 m ml.+#k, 12mr -1- 2/ti I (42) f=3“ o“ 3 l“ En 6galant les coefficients de y4 dans les deux membres il viendra: boc e
21、- - 37f; 2aoa .3t_ 2 _2 maintenant donc a I - 33; b e - 33f 3, x I e2 e,cf Ii. ao -/a/ q“ 3s; on a par suite = 33 . -(3f+ ec2f “) 30 + ,.f30. F(30)-Z(k, k) x a (930) 8 et de 1 .J (43) r 3./(9930)3-2(3+eef)F30 +3.30.F3a. La quanti6 f est donn6e par l6quation (42). Si lon la cherehe it laide de l6quaf
22、ion (4I) on parviendra une 6quafion du huitime degrC En effet en conparant les coefficients de y2 on aura ao + bSo(c e ) = 37 . f eest h dire en substituan les valeurs de a o et b o -. 3 6 ?9 (3f + ec)“ “4- 3 s ?9 (c - e)f 6 - 3 7 . f = o 4 aeta mathmnatica. 26. Imprim6 le 2l mars Lq02. 3 18 N.H. Ab
23、el. ou bien en dveloppant“ (44) f8 “-t- 6ecf -I- 4(c-e). f-3 - o. Les huit raeines de cette 6quati 第第 1 页页 共共 25 页页 全国硕士研究生统一入学考试 数学公式大全 高等数学公式 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 导数公式： 基本积分表： ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 )(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2 2 2 2 2 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(arccos
24、1 1 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 第第 2 页页 共共 25 页页 三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分： 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 si
