1、第四章 导数的应用典型习题解答与提示 习 题 4-1 1（1）函数在闭区间上连续是显然的， 因，所以在开区间上可导， ， 即满足特例中三个条件，所以有一点，有成立；（2）函数的闭区间上连续是显然的， 因，故在开区间上可导， 满足拉氏定理条件，因，令， 即，故，取 有成立；（3）提示：，因为，令，可求取；（4）提示：，因，令，可得。2（1）函数，在区间上满足拉氏定理的条件， 故，即；（2）函数在上满足拉氏定理的条件，故，显然有，即有；（3）因函数在区间上满足拉氏定理的条件， 故， 注意到余弦函数在第1象限为减函数，即， 所以，即，注：当且仅当时，不等式取等号；（4）函数在区间上满足拉氏定理条件，
2、 故，即。3（1）因，故函数在上为单调减函数；（2），则函数在整个数轴上单调增，当然在上为增函数。4（1）函数在，上为单调增，在上为单调减；（2）函数在区间上为单调减，在区间上为单调增；（3）函数在区间为单调增，在区间为单调减；（4），令， 当时，当21时， 当时，当时， 故函数在区间，上单调增，在上为单调减；（5）因，令，则， 当时，则为函数的单调增区间， 当时，则为函数的单调减区间；（6），则函数在上为单调增。5（1）提示，令，则，当时，；（2）提示，令，故；（3）设，所以， 因为当，所以，函数在上为单调增， 由，即；（4）设，则， 故函数在上为单调增，所以，即。6（1）因，所以在为单调增
3、，但作为的函数不是单调函数；（2）在上单调增，但在上不是单调函数。习 题 4-21（1）极大值，极小值；（2），令， ，所以，则函数在处有极大值， ，即函数在，有极小值；（3）函数在处取得极小值；（4）函数在处取得极小值；（5），令，为整数， ， 故当时，函数有极大值； 当时，函数有极小值；（6），则，故， 令，当时，当时， 即函数在处取得极大值；（7），当时，不存在且函数在处连续， 当时，；当时，即函数在处取得极大值；（8），因，故，即函数在上为单调增，无极值。2，取，令，得， , 故当时，函数在处取得极大值为。3， 由题已知条件，故即函数在上为单调增函数，即它无极 值。习 题 4-31（1
4、）因，即函数在上递增， 最小值为，最大值为；（2）函数在区间上最小值为，最大值为；（3），令，考虑， ，则函数在区间上最大值为， 最小值为；（4），令，考虑，则函数在区间上的最小值为，最大值为；（5），令，得， 因为，则函数在区间上最大值为，最小值为。2当底面半径为 ，高为 时，用料最省。3当宽为5 m，长为10 m时，所围长方形面积最大。4设圆的半径为 ，则矩形的高为 ， 故截面面积 ， 故 ，令 ， m， 依题意必存在极大值。即当矩形底边约为 m，高约 m时，截面面积最大。5设C距A在输电线上的垂足为 km，则电线总长为， 则，令，则，依题意必存在极小值，所以 当变压器装置在距A垂足 km
5、处，所用电线最省。6提示：设断面的宽为，这时高满足，则有函数，求并解，当截面矩形宽为，高为时，强度最大。7设圆锥底面半径为，高为，则， 则，令，即，依题意必存在极大值，所以当炸药包被埋在深为处，爆破体积最大。习 题 4-41（1）函数曲线在内呈现凹状；（2）函数曲线在内呈现凸状；（3）函数曲线在内呈现凹状；（4）， 即当、曲线呈现凸状，当、曲线呈现凹状；（5），令， 当、曲线呈现凹状，当、曲线呈现凸状，当、曲线呈现凹状。2（1）在区间内呈现凸状，在区间内呈现凹状，点为拐点；（2）在曲线呈现凸状，曲线呈现凹状，拐点；（3）， 令，求得，则当时、曲线呈现凹状，当时、曲线呈现凸状，即凹区间为，凸区间
6、为，拐点为；（4），当时，不存在，但函数在处连续，当时，当时，即区间呈现凸状，区间呈现凹状，（2,0）为拐点；（5）提示：参见第五节中例2。3，取时，令及曲线过点， 有，则，这时，当从1的一侧变化到另一侧时，变号，即当时，点为曲线的拐点。4因，令得，因在这些点的左右两侧均改变符号，所以点，都是拐点。因为，即这三个拐点位于同一条直线上。习 题 4-5略习 题 4-61（1）；（2）；（3）2；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。2（1）0；（2）；（3）0；（4）；（5）；（6）令，则，故，即，所以；（7）设，则，故 则，即；（8）令，则，则，所以。3（1），若用洛必达法则
7、， 原式不存在，所以（1）不能用洛必达法则；（2），若用洛必达法则，原式与原题相比，没有任何改进，再用一次洛必达法则，又变回原题，故（2）也不能用洛必达法则。* 习 题 4-7略复 习 题 四1（1）函数在闭区间上连续是显然的， 因，则函数在开区间上是可导的， 因，则， 使成立；（2）因，所以， 即函数在分断点处连续，从而函数在闭区间上连续， ， 故，当时，；当时，由上可知，在开区间上可导，所以满足拉氏定理的条件，考虑，取或取，都有成立；（3）函数在闭区间上连续是显然的， ，则函数在开区间上可导， 故，满足成立。4（1）证：函数在区间上满足拉氏定理条件，则有，故，即，推出；（2）证：令，故在时
8、为单调增，则，即成立；（3）证：函数在闭区间上满足拉氏定理条件，则，故，即。 故。3（1），令；，不存在，则当时，；当，；当时，即区间和，函数为单调增；，函数为单调减；（2），则当时，函数为单调减，当时，函数为单调增；（3），则函数在上为单调增；（4），令，当时，；当时，；当时，即函数在区间和上为单调增；上为单调减。4（1），令，当时，；当时，；当时，即函数在处有极小值；在处有极大值；（2），令，当时，；当时，；当时，即函数在处取得极大值，在处取得极小值；（3），令，当时，；时，；时，因函数在处不连续，因此函数在处取得极大值，在处不取极值，当从1的左侧变化到1的右侧时，不变号，即不是极值点；（
9、4），令，当时，不存在；当时，；当时，；当时，；当时，因此函数在处有极小值；在处有极大值；在处有极小值。5（1），令，则，即最小值为 ，最大值；（2）提示，最小值，最大值。6设所求直线方程为，令；令，设截距之和为，则，令，。，即当时，S有极小值。这时所求直线方程为，即。7设在处视角为，如图4-2所示，则， ，42图 4-2 复习题四第7题图。令，依题意必存在极大值，即在矩形幕底边 m处，视角最大。 8设圆柱底面半径为，则高，总成本为， 则。令，这是高。 依题意必存在极小值，即当底面半径为，高为时，造价最低。9（1），令，因函数为奇函数，故只考虑情况，当时，曲线为凸；当时，曲线为凹；由对称性知和
10、，曲线为凸；和，曲线为凹，点，为拐点。（2），令，当从的一侧变化到另一侧时，变号，容易得出，在区间和内，曲线为凹；区间上，曲线为凸；（3）， ， 令，因函数为奇函数，故只考虑情况， 当，曲线为凸；当，曲线为凹； 由对称性知，曲线为凸；，曲线为凹， 拐点为。10因，故有，即。当从1的一侧变化到另一侧时，变号，即确为拐点。11略。12（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）；（10）；（11）；（12） ；（13）令，则，故，即当时，原式；（14）令，则，故，即当时，原式；（15）设，则，故，即当时，原式；（16）设，则，得，故当时，原式。*13，即极限存在，若用洛必达法则，则原式不存在，即洛必达法则失效。14（1）因为，得；（2）因，得。15（1），所以，即曲率为，曲率半径为；（2），所以， ， 即所求曲率为，曲率半径为。
