1、考点规范练65坐标系与参数方程考点规范练A册第46页基础巩固1.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的普通方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.解:(1)曲线C的普通方程为x24+y216=1.当cos0时,l的普通方程为y=tanx+2-tan,当cos=0时,l的普通方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos+sin)t-8=0,因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在
2、C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos+sin=0,于是直线l的斜率k=tan=-2.2.(2019云南曲靖沾益四中高三三模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1+22t,y=-2+22t(t为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos2+4cos -=0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少?解:(1)将x=-1+22t,y=-2+22t消去参数t,得直线l的普通方程为x-y-1=0.曲线C的
3、极坐标方程为cos2+4cos-=0,即2cos2+4cos-2=0,曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(2)联立y2=4x,x-y-1=0,得x2-6x+1=0,=36-4=320,设直线l与抛物线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,故直线l被曲线C截得的弦长为|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+1)(36-4)=8.3.(2019江苏,21B)在极坐标系中,已知两点A3,4,B2,2,直线l的方程为sin+4=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.解:(1)设极点为O.在OAB中,A3,4,B2,2,由余弦
4、定理,得AB=32+(2)2-232cos2-4=5.(2)因为直线l的方程为sin+4=3,则直线l过点32,2,倾斜角为34.又B2,2,所以点B到直线l的距离为(32-2)sin34-2=2.4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解:(1)由x=cos,y=sin得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0
5、,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共
6、点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=4t2,y=4t (t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为cos+4=22.(1)把曲线C1的参数方程化为普通方程,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|PF|的值.解:(1)消去参数可得C1:y2=4x,C2:x-y-1=0.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB的中点为P(x0,y0)
7、,联立y2=4x,x-y-1=0可得x2-6x+1=0.x1+x2=6,x1x2=1,x0=x1+x22=3,y0=2.AB中垂线的参数方程为x=3-22t,y=2+22t(t为参数).y2=4x.将代入中,得t2+82t-16=0,t1t2=-16.|PE|PF|=|t1t2|=16.能力提升6.(2019全国,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2,y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos +3sin +11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.解:(1)因为
8、-11-t21+t21,且x2+y22=1-t21+t22+4t2(1+t2)2=1,所以C的直角坐标方程为x2+y24=1(x-1).l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为x=cos,y=2sin(为参数,-0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-4+22t(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若|PA|PB|=|AB|2,求a的值.解:(1)sin2=acos(a0),2sin2=acos(a0),即y2=ax(a0).直线l的参数方程消去参数t,得普通方程为y=x-2.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a0)中,得t2-2(a+8)t+4(a+8)=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=2(a+8),t1t2=4(a+8).|PA|PB|=|AB|2,t1t2=(t1-t2)2.(t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1t2=5t1t2,即2(8+a)2=20(8+a),解得a=2或a=-8(不合题意,应舍去),a的值为2.6
