1、课时达标检测(五十) 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题一、全员必做题1已知椭圆E：1(ab0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且，2，1，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值解：(1)由题易知c1，1，又a2b2c2，解得b21，a22，故椭圆E的标准方程为y21.(2)设直线l：xky1，由得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1y2，y1y2.(x1x24，y1y2)，|2|216，由此可知
2、，|2的大小与k2的取值有关由可得y1y2，(y1y20)从而，由2，1得，从而2，解得0k2.令t，则t，|28t228t1682，当t时，|QC|min2.2.已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解：(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2.由抛
3、物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20，从而r .又直线GB的方程为2x3y20，所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切3(2017合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由条件知，解得a2，c，b1，故椭圆C的方程为
4、x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2，设OAB的面积为S，由x1x20，yt在t3，)上单调递增，t，0，0b0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设|FA|FB|，T(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)若12，求ABT中AB边上中线长的取值范围解：(1)e ，c1，a，b1，即椭圆C的方程为：y21.(2)当直线的斜率为0时，显然不成立设直线l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(m22)y22my10，则y1y2，y1y2，由|FA|FB|，得y1y2，2，m2，又AB边上的中线长
5、为 | | .2如图所示，已知直线l过点M(4,0)且与抛物线y22px(p0)交于A，B两点，以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O.(1)求抛物线的标准方程；(2)设Q是直线x4上任意一点，求证：直线QA，QM，QB的斜率依次成等差数列解：(1)设直线l的方程为xky4，代入y22px得y22kpy8p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1y22kp，y1y28p，而AB为直径，O为圆上一点，所以0，故0x1x2y1y2(ky14)(ky24)8pk2y1y24k(y1y2)168p，即08k2p8k2p168p，得p2，所以抛物线方程为y24x.(2)设Q(4，t)由(1)知y1y
6、24k，y1y216，所以yy(y1y2)22y1y216k232.因为kQA，kQB，kQM，所以kQAkQB442kQM.所以直线QA，QM，QB的斜率依次成等差数列三、冲刺满分题1.已知椭圆C：1(0b1)，则12(当且仅当t2时取等号)，所以的最大值为.2(2017沈阳质量监测)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|6，直线ykx与椭圆交于A，B两点(1)若AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1(2，1)，试求直线PB的
7、斜率k2的取值范围解：(1)由题意得c3，根据2a2c16，得a5.结合a2b2c2，解得a225，b216.所以椭圆的方程为1.(2)法一：由得x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1x20，x1x2，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2BF2，因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以(x13)(x23)y1y2x1x290.即x1x28，所以有8，结合b29a2，解得a212(a26舍去)，所以离心率e.(若设A(x1，y1)，B(x1，y1)相应给分)法二：设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以xy9，又由椭圆及直线方程综合可得：由前两个方程解得x8，y1，将其代入第三个方程并结合b2a2c2a29，解得a212，故e.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为1，由题可设A(x1，y1)，B(x1，y1)，k1，k2，所以k1k2，又，即k2，由2k11可知，k2.即直线PB的斜率k2的取值范围是.
