1、多解思维,多层拓展,多向归纳 以 年高考数学新高考卷第 题为例山东省淄博第七中学孙丽云函数的最值问题,一直是高考中比较常见的一类题型,背景新颖,创新多变此类问题可以选择题或填空题的形式出现,也可融入解答题中,形式多样既可以基本初等函数的组合形式来设置,也可与其他数学知识的交汇与融合来设置,变化多端具体破解时,思维多样,方法多变,可以很好地考查学生的数学知识、数学思想方法和数学能力等,充分体现高考的选拔性与区分度真题呈现高考真题(年高考数学新高考卷第 题)函数f(x)|x|l nx的最小值为真题剖析该题题目简洁明了,条件简单易懂,以一个“一次函数的绝对值”与一个“对数函数”的差式来建立相应的函数
2、,进而确定该函数的最小值以简单条件进行复合与提升破解本题的思维各异,方法多样,可以通过去绝对值符号进行分类讨论,结合函数的单调性来确定相应的最小值;也可以借助函数图象,通过数形结合并利用导数的几何意义加以求解;还可以借助“对数不等式”的重要结论合理放缩,巧妙转化,利用不等式的性质加以处理等真题破解方法:分类讨论法解析:函数f(x)|x|l nx的定义域为(,)当x时,f(x)x l nx,此时函数f(x)在区间(,上为减函数,所以f(x)f()l n l n 当x时,f(x)x l nx,则f(x)x(x)x当x(,)时,f(x),f(x)单调递减;当x(,)时,f(x),f(x)单调递增所以
3、当x时,f(x)取得极小值为f()l n而 l n l n l ne,所以函数f(x)在x时取得最小值,且最小值为故填答案:点评:根据函数的解析式确定函数的定义域,结合绝对值定义对自变量x进行分段处理,进而分类讨论一方面直接利用函数的单调性来确定极值,另一方面通过对函数求导,结合函数的单调性来确定相应的极值,最后再确定函数的最小值分类讨论法综合了函数的单调性、导数及其应用等方法:导数的几何意义法解析:令f(x),可得|x|l nx图在同一平面直角坐标系中,作 出 函 数g(x)|x|,h(x)l nx的图象,如图所示数形 结 合 可 知,要 使函数f(x)|x|l nx取得最小值,那么当自变量
4、x时,考虑函数h(x)l nx图象的切线与直线yx平行的情形求导可 得h(x)x,则 由x,解 得x所以当x时,函数f(x)|x|l nx取得最小值f()|l n所以函数f(x)|x|l nx的最小值为故填答案:年 月上半月 复习指引复习备考点评:根据函数与方程的转化,将题目条件中的函数解析式转化为两个基本初等函数,通过作出对应函数的草图,数形结合确定函数取得最小值时的情形,结合导数的几何意义,进而求解对应的最小值利用数形结合法,在考试中只能作出简单的草图,加以直观想象,巧妙应用方法:重要结论法解析:根据“对数不等式”的重要结论“l nxx,当且仅当x时等号成立”,可知f(x)|x|l nx|
5、x|(x)(x)(x)当且仅当x且x,即x时 等 号成立所以函数f(x)|x|l nx的最小值为故填答案:点评:“对数不等式”的重要结论作为一个基本结论,在一些小题(选择题或填空题)中可以直接应用,利用其来合理放缩,化归转化,巧妙应用,是破解一些相关不等式问题比较常用的手段“对数不等式”这一重要结论,作为课外知识的提升与拓展,有必要对其加以理解与掌握变式拓展通过适当改变条件,以不同的形式来巧妙设置问题,得到以下对应的变式问题变式函 数f(x)x l nx的 最 小 值为解析:函数f(x)x l nx的定义域 为(,)求导可得f(x)xx(x)(x)x令f(x),解得x当x(,)时,f(x),f
6、(x)单调递减;当x(,)时,f(x),f(x)单调递增所以当x时,f(x)取得最小值,且最小值为f()l n故填答案:变式已知函数f(x)a xx l nx,当x时,试求函数g(x)|f(x)l nx|的最小值解析:g(x)|f(x)l nx|a xx l nx|可设函数h(x)a xx l nx,x当a时,h(x)a xx,即h(x)在,)上单调递减,可得h(x)h()a,从而函数g(x)在,)上 单 调 递 增,可 得 函 数g(x)的最小值为g()a当a时,h(x)a xxa,即函数h(x)在,)上单调递增又h()a,则函数g(x)在,)上 单 调 递 增,可 得 函 数g(x)的最小
7、值为g()a当a时,h(x)a xx令h(x),则 方 程a xx的 两 根 异 号,设xaa所以函数h(x)在(,aa)上单调递减,在(aa,)上单调递增,可得函数h(x)在xaa处取得极小值,且极小值小于故可得函数g(x)的最小值为综上可得,当a时,函数g(x)的最小值为a;当a时,函数g(x)的最小值为a;当a时,函数g(x)的最小值为解后反思破解函数的最值问题常见的思维方法主要有以下几种:()导数方法领衔通过对函数进行求导运算,结合导函数零点的确定,利用导函数的正负取值情况确定函数的单调性,进而确定对应的极值,从而确定函数的最值问题直接通过导数运算,可以解决一些熟悉或不熟悉的函数问题,
8、合理求导,以代数运算代替逻辑推理,通过运算来分析与判断()数形结合判断通过作出相应函数的图象,结合函数的图象与性质来分析与处理利用数形结合判断函数的最值问题时,必须是一些常见的基本初等函数,或一些熟悉的特殊函数,或把不熟悉的函数合理分解并转化为熟悉的函数后再数形结合对于复合类或不熟悉的函数类型,无法借助图象来数形结合处理()不等式性质放缩在具体解决一些特殊函数的最值问题时,有时根据函数的对应关系式的特征,借助基本不等式或柯西不等式、不等式性质以及特殊的不等式,如上面提到的“对数不等式”的重要结论等,也可以很好地处理函数的最值问题函数最值问题的求解,借助合理的代数运算与变形,结合通分、因式分解、配凑、平方、配方、构造等运算手段加以辅助处理,或导数方法领衔,或数形结合判断,或不等式性质放缩等,全面促进数学知识的理解与掌握,有效提高数学能力,提升数学品质,培养数学核心素养 Z复习备考复习指引 年 月上半月
