1、:./.赵莉莉.多元函数形式的单调有界原理及其应用.绍兴文理学院学报(自然科学)():.多元函数形式的单调有界原理及其应用赵莉莉(云南大学 数学与统计学院云南 昆明)摘 要:通过构建坐标平面上的点的合适的序关系将单调有界原理推广到坐标平面上并利用二重极限、上确界以及下确界的定义进行证明相应地也给出了应用实例并将坐标平面上的函数形式的单调有界原理推广到 维欧几里德空间中.关键词:函数极限单调有界原理上确界下确界坐标平面中图分类号:.文献标志码:文章编号:()收稿日期:基金项目:云南省教育厅自然科学基金项目“时标上人工神经网络的概自守型解”().作者简介:赵莉莉()女云南大理人博士云南大学数学与统
2、计学院讲师研究方向:非线性 微分方程.:.引言常用判断极限存在的准则有两种分别是夹击准则与单调有界原理.在大多数的数学分析与微积分学教材中分数列极限、自变量趋于固定点时函数极限以及自变量趋于无穷大时函数极限的三种情形对夹击准则进行了介绍并给出了相应的应用实例然而对于单调有界原理仅仅只介绍了数列形式的情形.在文献中对单调有界原理的研究也大多集中在利用该原理证明通项以递推公式形式给出的数列极限的存在性很少有文献介绍函数形式的单调有界原理以及它们的应用.为了让学生更好地掌握数列极限与函数极限之间的异同点掌握单调有界原理的本质本文将单调有界原理推广到函数的形式并给出了相应的应用实例.定理 若数集 有上
3、界必有上确界若数集 有下界必有下确界.平面上函数形式单调有界原理的初步探讨由于平面上的动点趋于固定点的方式有无穷多种动点可以沿着直线趋于定点动点可以沿着折线的方式趋于定点动点还可以沿着曲线趋于定点等等因此要探讨二重极限的存在性相较于一元函数的极限复杂得多.要考虑平面上函数形式的单调有界原理首先就需要对平面上的点建立合适的序关系.定义 设()为平面上一固定点.任取()()若第 卷 第 期 年 月 绍 兴 文 理 学 院 学 报 ()()由下确界定义()()使得().令()().当()()时有()()()且()()从而由函数的单调性与下确界的定义可得 ()()即()由上确界定义()()使得().令
4、()().当()()时有()()()且()()从而由函数的单调性与上确界的定义可得 ()()即 ()使得二元函数 ()在():中有定义.设 是一个常数.若 都存在 使得当()():时有 ()成立则称常数 为 时二元函数 ()的极限记为().仿照定理 与定理 要讨论 时二元函数 ()的单调有界原理也需要构建一个合适的序关系.定义()()若有 使得二元函数 ()在():中有定义.若对于 中任意两个点()()总有()()成立不妨称 ()在 上是单调递增的若总有()()成立则称 ()在 上是单调递减的.第 期 赵莉莉:多元函数形式的单调有界原理及其应用 定理 如果存在 使得二元函数 ()在():上单调
5、递减并且有下界则二重极限()存在.证明:由定理 数集():()存在下确界不妨记为.任取 由下确界定义()使得()时有()并且()().从而由函数的单调性与下确界的定义可得 ()()即 ()使得二元函数 ()在():上单调递增并且有上界则二重极限()存在.证明:由定理 数集():()存在上确界不妨记为.任取 由上确界定义()使得().令 .当()():时有()并且()().从而由函数的单调性与上确界的定义可得 ()()即 ()由定义().数轴上点的序关系相对比较简单数轴上的点可以按照坐标的大小关系进行排列所以建立数轴上的点的单调有界原理包括数列形式与函数形式两种相对比较简单而坐标平面上的点并没有
6、一个现成的序关系要想构建平面上的单调有界原理首先就必须构建坐标平面上合适的序关系甚至构建的序关系不同就会得到不一样的单调有界原理.正是因为坐标平面上的点的序关系相对比较复杂现有的高等数学教材中几乎没有提到过平面上的单调有界原理.例 证明()()()().证明:令():.在 中任意取出两个点()()即 .令()()().由正弦函数在第一象限的严格单调递增性可得()()即函数在 中单调递增.易有 为数集 ():()的一个下界.接下来证明 也为数集 的下确界.任取一个正常数 存在两种情形情形 此时存在()()满足()情形 此时存在()()满足().在 中任意取出两个点()()即 ()即函数在 中单调
7、递减.易有 为数集 ():()的一个下界.接下来证明 也为数集 的下确界.任取一个正常数 存在两种情形情形 此时存在()()满足()()情形 此时存在()()满足()()综上所述 为数集 的下确界由定理().维欧几里德空间中函数形式单调有界原理初步探讨事实上类似的在 维欧几里德空间中建立合适的序关系还可以将平面上的函数形式的单调有界原理推广到 元函数的情形.定义 设()为 维欧几里德空间中固定的点.任取()与()属于 维欧几里德空间.若()()()由下确界定义()()使得().令()()().当 ()()()时有()()()且()()从而由函数的单调性与下确界的定义可得 ()()即 ()由上确
8、界定义()()使得().第 期 赵莉莉:多元函数形式的单调有界原理及其应用 令()().当 ()()()时有()()()且()()从而由函数的单调性与上确界的定义可得 ()()即 ()使得 元函数 ()在():()中有定义.设 是一个常数.若 都存在 使得当()():()时有 ()成立则称常数 为()时 元函数 ()的极限记为()()().仿照定理 与定理 要讨论 ()时 元函数 ()的单调有界原理也需要构建一个合适的序关系.定义 若有()()()使得 元函数 ()在():中有定义.若对于 中任意两个点()()总有()()成立不妨称 ()在 上是单调递增的若总有()()成立则称 ()在 上是单
9、调递减的.定理 如果存在 使得 元函数 ()在():上单 调 递 减 并 且 有 下 界 则 重 极 限()()存在.证明:由定理 数集():()存在下确界不妨记为.任取 由下确界定义()使得()时有()并且()().从而由函数的单调性与下确界的定义可得 ()()即 ()使得 元函数 ()在():上单 调 递 增 并 且 有 上 界 则 重 极 限()()存在.证明:由定理 数集():()存在上确界不妨记为.任取 由上确界定义()使得().令 ()()().当()()绍兴文理学院学报(自然科学)第 卷:时有()并且()().从而由函数的单调性与上确界的定义可得 ()()即()由 定 义()()
10、.参考文献:裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社:.陈传璋金福临朱学炎等.数学分析(下册).版.北京:高等教育出版社:.张筑生.数学分析新讲.北京:北京大学出版社:.同济大学应用数学系.高等数学.北京:高等教育出版社:.四川大学数学系高等数学教研室.高等数学.北京:高等教育出版社:.华东师范大学数学系.数学分析.北京:高等教育出版社:.郑维行王声望.实变函数与泛函分析概要.北京:高等教育出版社:.张留伟.单调有界定理在求递推数列极限的应用.广东技术师范学院学报():.谢胜利.平面上的单调有界原理及其应用.安徽建筑工业 学 院 学 报(自 然 科 学 版)():.苏柯孔钰.单调性混合的递归数列求解.高等数学研究():.():.:(责任编辑 王海雷)第 期 赵莉莉:多元函数形式的单调有界原理及其应用
