1、【考前三个月】（江苏专用）2015高考数学 数学思想方法篇 专题4 转化与化归是解决问题的核心 方法精要转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行
2、等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决题型一正难则
3、反的转化例1已知集合AxR|x24mx2m60，BxR|x0，b0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使()0，O为坐标原点，且|，则该双曲线的离心率为_破题切入点根据题目中的条件，结合向量的有关运算，取F2P的中点M，可以得到，从而得到，再结合双曲线的定义即可得到a与c的关系，从而求出双曲线的离心率答案1解析如图，取F2P的中点M，则2.又由已知得0，.又OM为F2F1P的中位线，.在PF1F2中，2a|(1)|，2c2|.e1.题型三函数、方程、不等式之间的转化例3已知函数f(x)x3x2x(0af(x3)恒成立，求实数a的取值范围破题切入点恒成立问题的解决往往和最值联系在一起，将已
4、知不等式恒成立准确转化为关于函数f(x)在1,2上的最大值和最小值问题，同时要注意函数f(x)在1,2上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f(1)与f(2)的大小关系解因为f(x)x2x(xa2)，所以令f(x)0，解得x1，x22a.由0a1，知12a0，得x2a；令f(x)0，得x2a，所以函数f(x)在(1,2a)上单调递减，在(2a,2)上单调递增所以函数f(x)在1,2上的最小值为f(2a)(2a)2，最大值为maxf(1)，f(2)max.因为当0a时，a；当a，由对任意x1，x2，x31,2，都有f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，得2f(x)minf(x)max(x
5、1,2)所以当0，结合0a可解得1a；当aa，结合a1可解得a2.综上，知所求实数a的取值范围是1a1，即a2时，函数y(t)2a在t0,1上单调递增，t1时，函数有最大值ymaxaa1，解得a2(舍去)；当01，即0a2时，t函数有最大值，ymaxa1，解得a或a4(舍去)；当0，即a0(舍去)，综上所述，存在实数a使得函数有最大值总结提高转化与化归的思想解决问题是高中数学解决问题的核心，数学问题的解决总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化等等，转化的思想渗透到所有的数学教学内容和解题过程中要特别注意函数、方程、不等式的转化，解决方程、不等式的
6、问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围1在平面直角坐标系中，与点A(1,1)的距离为1，且与点B(2，3)的距离为6的直线的条数为_答案1解析设出直线方程利用点到直线的距离求解，较麻烦，可以将点到直线的距离转化为圆心到直线的距离即所探求的直线转化为同时以A、B为圆心的切线问题，则很容易解决因为|AB|5，所以以A为圆心，半径为1的圆(x1)2(y1)21与以B为圆心，半径为6的圆(x2)2(y3)236内切，所以符合题意的直线只有一条2已知alog23lo
7、g2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是_答案abc解析alog23log2log23，blog29log2log23，ab.又函数ylogax(a1)为增函数，alog23log221，clog32c.3对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(x1)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是_答案(2，1(1,2解析依题意可得f(x)作出其示意图如图所示由数形结合知，实数c需有1c2或20时，ex1，aexln(n1)(nN*)(1)解g(x)f(x)(x1)ln x(x1)，g(x)1(x0)令g(x)0，解得0x1；令g(x)1.函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)极大值g(1)2.(2)证明由(1)知x1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，g(x)g(1)2，即ln x(x1)2ln xx1(当且仅当x1时等号成立)，令tx1，得tln(t1)，t1，取t(nN*)时，则lnln，1ln 2，ln ，ln ，ln，叠加得1ln(2)ln(n1)即1ln(n1)- 7 -
