1、压轴大题突破练函数与导数(一)1已知f(x)x3ax2a2x2.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)若不等式2xln xf(x)a21恒成立，求实数a的取值范围解(1)a1，f(x)x3x2x2，f(x)3x22x1，kf(1)4，又f(1)3，切点坐标为(1,3)，所求切线方程为y34(x1)，即4xy10.(2)f(x)3x22axa2(xa)(3xa)，由f(x)0得xa或x.当a0时，由f(x)0，得ax0，得x，此时f(x)的单调递减区间为(a，)，单调递增区间为(，a)和(，)当a0时，由f(x)0，得x0，得
2、xa，此时f(x)的单调递减区间为(，a)，单调递增区间为(，)和(a，)综上：当a0时，f(x)的单调递减区间为(a，)，单调递增区间为(，a)和(，)当a0时，f(x)的单调递减区间为(，a)，单调递增区间为(，)和(a，)(3)依题意x(0，)，不等式2xln xf(x)a21恒成立，等价于2xln x3x22ax1在(0，)上恒成立，可得aln xx在(0，)上恒成立，设h(x)ln x，则h(x).令h(x)0，得x1，x(舍)，当0x0；当x1时，h(x)0，因此h(x)在0,1上是增函数，故h(x)h(0)0，所以f(x)1x，x0,1要证x0,1时，(1x)e2x，只需证明ex
3、x1.记K(x)exx1，则K(x)ex1，当x(0,1)时，K(x)0，因此K(x)在0,1上是增函数，故K(x)K(0)0.所以f(x)，x0,1综上，1xf(x)，x0,1(2)解f(x)g(x)(1x)e2x(ax12xcos x)1xax12xcos xx(a12cos x)(由(1)知)故G(x)2cos x，则G(x)x2sin x.记H(x)x2sin x，则H(x)12cos x，当x(0,1)时，H(x)0，于是G(x)在0,1上是减函数从而当x(0,1)时，G(x)3时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x)1ax2xcos xax2xcos xx(a2cos
4、 x)(由(1)知)记I(x)a2cos xaG(x)，则I(x)G(x)，当x(0,1)时，I(x)3时，a30，所以存在x0(0,1)，使得I(x0)0，此时f(x0)0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(1)解f(x)x2a，g(x)，由题意知f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，即由x02a，得x0a或x03a(舍去)即有ba22a23a2ln aa23a2ln a.令h(t)t23t2ln t(t0)，则h(t)2t(13ln t)于是当t(13ln t)0，即0t0；当t(13ln t)
5、e 时，h(t)0)，则F(x)x2a(x0)故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，)上为增函数于是F(x)在(0，)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当x0时，有f(x)g(x)0，即当x0时，f(x)g(x)4已知f(x)x23x1，g(x)x.(1)a2时，求yf(x)和yg(x)的公共点个数；(2)a为何值时，yf(x)和yg(x)的公共点个数恰为两个解(1)由得x23x1x，整理得x3x2x20(x1)令yx3x2x2，求导得y3x22x1，令y0，得x11，x2，故得极值点分别在1和处取得，且极大值、极小值都是负值故公共点只有一个(2)由得x23x1x，整理得ax3x2x(x1)，令h(x)x3x2x，联立对h(x)求导可以得到极值点分别在1和处，画出草图，如图，h(1)1，h()，当ah(1)1时，ya与yh(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在yh(x)曲线上)，故a时恰有两个公共点- 4 -
