1、第1章 逻辑代数基础第 1 章 逻辑代数基础1.1 概述概述1.2 逻辑代数的基本运算和门电逻辑代数的基本运算和门电路路1.3 逻逻辑代数的公式和规辑代数的公式和规则则1.4 逻逻辑函数常用的描述方法及相互间的转辑函数常用的描述方法及相互间的转换换1.5 逻逻辑函数的化辑函数的化简简习习题题第1章 逻辑代数基础本章介绍分析和设计数字逻辑电路的基本数学工具逻辑代数，内容包括逻辑代数的基本概念、公式和定理，逻辑函数的描述方法及化简方法等，同时介绍了数字量和模拟量的基本概念以及常用的数制与代码。第1章 逻辑代数基础 1.1 概概 述述1.1.1 数字量和模拟量数字量和模拟量在自然界中，存在着各种各样
2、的物理量，这些物理量可以分为两大类：数字量和模拟量。数字量是指离散变化的物理量，模拟量则是指连续变化的物理量。处理数字信号的电路称为数字电路，处理模拟信号的电路称为模拟电路。同模拟信号相比，数字信号具有传输可靠、易于存储、抗干扰能力强、稳定性好等优点。因此，数字电路获得了越来越广泛的应用。第1章 逻辑代数基础1.1.2 数制与代码数制与代码1.数制数制表示数码中每一位的构成及进位的规则称为进位计数制，简称数制(NumberSystem)。一种数制中允许使用的数码个数称为该数制的基数。常用的进位计数制有十进制、二进制、八进制和十六进制。第1章 逻辑代数基础数的一般展开式表示法如下：式中，n 是整
3、数部分的位数，m 是小数部分的位数，a i 是第 i 位的系数，R 是基数，Ri称为第 i 位的权。第1章 逻辑代数基础1)十进制基数 R 为 10 的进位计数制称为十进制(Decimal)，它有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共 10 个有效数码，低位向相邻高位“逢十进一，借一为十”。十进制数一般用下标 10 或 D表示，如 2310，87 D 等。2)二进制基数 R 为 2 的进位计数制称为二进制(Binary)，它只有 0 和 1 两个有效数码，低位向相邻高位“逢二进一，借一为二”。二进制数一般用下标 2 或 B 表示，如 1012，1101 B 等。第1章 逻辑代数基础3)八进
4、制基数 R 为 8 的进位计数制称为八进制(Octal)，它有 0、1、2、3、4、5、6、7 共 8 个有效数码，低位向相邻高位“逢八进一，借一为八”。八进制数一般用下标 8 或 O 表示，如617 8，547 O 等。4)十六进制基数 R 为 16 的进位计数制称为十六进制 Hexadecimal)，十六进制有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)共 16 个有效数码，低位向相邻高位“逢十六进一，借一为十六”。十六进制数一般用下标 16 或 H 表示，如 A116，1F H等。第1章 逻辑代数基础2.不同数制间的转换
5、不同数制间的转换一个数可以表示为不同进制的形式。在日常生活中，人们习惯使用十进制数，而在计算机等设备中则使用二进制数和十六进制数，因此经常需要在不同数制间进行转换。1)二十转换求二进制数的等值十进制数时，将所有值为 1 的数位的位权相加即可。第1章 逻辑代数基础【例例 1.1】将二进制数 11001101.11 B 转换为等值的十进制数。解解 二进制数 11001101.11 B 各位对应的位权如下：位权：27262524232221202-12-2二进制数：1 1 0 0 1 1 0 1.11等值十进制数为27+2 6+2 3+2 2+2 0+2-1+2-2=128+64+8+4+1+0.5
6、+0.25=205.75D第1章 逻辑代数基础2)十二转换将十进制数转换为二进制数时，要分别对整数部分和小数部分进行转换。进行整数部分转换时，先将十进制整数除以 2，再对每次得到的商除以 2，直至商等于 0为止。然后将各次余数按倒序写出来，即第一次的余数为二进制整数的最低有效位(LSB)，最后一次的余数为二进制整数的最高有效位(MSB)，所得数值即为等值二进制整数。第1章 逻辑代数基础【例例 1.2】将 13 D 转换为二进制数。解解 转换过程如下：因此，对应的二进制整数为 1101B。第1章 逻辑代数基础进行小数部分转换时，先将十进制小数乘以 2，积的整数作为相应的二进制小数，再对积的小数部
7、分乘以 2。如此类推，直至小数部分为 0，或按精度要求确定小数位数。第一次积的整数为二进制小数的最高有效位，最后一次积的整数为二进制小数的最低有效位。第1章 逻辑代数基础【例例 1.3】将 0.125 D 转换为二进制小数。解解 转换过程如下：因此，对应的二进制小数为 0.001 B。第1章 逻辑代数基础3)八十转换求八进制数的等值十进制数时，将各数位的值和相应的位权相乘，然后相加即可。【例例 1.4】将八进制数 71.5O 转换为等值的十进制数。解解 八进制数 71.5O 各位对应的位权如下：位权：81808-1八进制数：7 1.5等值十进制数为781+18 0+58-1=78+11+50.
8、125=57.625D第1章 逻辑代数基础4)十八转换将十进制数转换为八进制数时，要分别对整数部分和小数部分进行转换。进行整数部分转换时，先将十进制整数除以 8，再对每次得到的商除以 8，直至商等于0 为止。然后将各次余数按倒序写出来，即第一次的余数为八进制整数的最低有效位，最后一次的余数为八进制整数的最高有效位，所得数值即为等值八进制整数。第1章 逻辑代数基础【例例 1.5】将 1735 D 转换为八进制数。解解 转换过程如下：第1章 逻辑代数基础因此，对应的八进制整数为 3307O。进行小数部分转换时，先将十进制小数乘以 8，积的整数作为相应的八进制小数，再对积的小数部分乘以 8。如此类推
9、，直至小数部分为 0，或按精度要求确定小数位数。第一次积的整数为八进制小数的最高有效位，最后一次积的整数为八进制小数的最低有效位。第1章 逻辑代数基础【例例 1.6】将 0.1875 D 转换为八进制小数。解解 转换过程如下：因此，对应的八进制小数为 0.14 O。第1章 逻辑代数基础5)十六十转换求十六进制数的等值十进制数时，将各数位的值和相应的位权相乘，然后相加即可。【例例 1.7】将十六进制数 1A.C H 转换为等值的十进制数。解解 十六进制数 1A.C H 各位对应的位权如下：位权：16116016-1十六进制数：1 A.C等值十进制数为1161+1016 0+1216-1=116+
10、101+120.0625=26.75 D第1章 逻辑代数基础【例例 1.8】将 287 D 转换为十六进制数。解解 转换过程如下：因此，对应的十六进制整数为 11F H。第1章 逻辑代数基础进行小数部分转换时，先将十进制小数乘以 16，积的整数作为相应的十六进制小数，再对积的小数部分乘以 16。如此类推，直至小数部分为 0，或按精度要求确定小数位数。第一次积的整数为十六进制小数的最高有效位，最后一次积的整数为十六进制小数的最低有效位。第1章 逻辑代数基础【例例 1.9】将 0.62890625 D 转换为十六进制数。解解 转换过程如下：因此，对应的十六进制小数为 0.A1H。第1章 逻辑代数基
11、础7)二八转换将二进制数转换为八进制数时，整数部分自右往左三位划为一组，最后剩余不足三位时在左面补 0；小数部分自左往右三位划为一组，最后剩余不足三位时在右面补 0；然后将每一组用一位八进制数代替。第1章 逻辑代数基础【例例 1.10】将二进制数 10111011.1011 B 转换为八进制数。解解 转换过程如下：因此，对应的八进制数为 273.54 O。第1章 逻辑代数基础8)八二转换将八进制数转换为二进制数时，将每位八进制数展开成三位二进制数即可。【例例 1.11】将八进制数 361.72 O 转换为二进制数。解解 转换过程如下：因此，对应的二进制数为 11110001.11101 B。第
12、1章 逻辑代数基础9)二十六转换将二进制数转换为十六进制数时，整数部分自右往左四位划为一组，最后剩余不足四位时在左面补 0；小数部分自左往右四位划为一组，最后剩余不足四位时在右面补 0；然后将每一组用一位十六进制数代替。第1章 逻辑代数基础【例例 1.12】将二进制数 111010111101.101 B 转换为十六进制数。解解 转换过程如下：因此，对应的十六进制数为 EBD.A H。第1章 逻辑代数基础10)十六二转换将十六进制数转换为二进制数时，将每位十六进制数展开成四位二进制数即可。【例例 1.13】将十六进制数 1C9.2F H 转换为二进制数。解解 转换过程如下：因此，对应的二进制数
13、为 111001001.00101111 B。第1章 逻辑代数基础11)八十六转换将八进制数转换为十六进制数时，先将八进制数转换为二进制数，再将所得的二进制数转换为十六进制数。【例例 1.14】将八进制数 361.72 O 转换为十六进制数。解解 转换过程如下：因此，对应的十六进制数为 F1.E8H。第1章 逻辑代数基础12)十六八转换将十六进制数转换为八进制数时，先将十六进制数转换为二进制数，再将所得的二进制数转换为八进制数。【例例 1.15】将十六进制数 A2B.3F H 转换为八进制数。解解 转换过程如下：因此，对应的八进制数为 5053.176 O。第1章 逻辑代数基础3.代码代码在数
14、字系统中，常用 0 和 1 的组合来表示不同的数字、符号、动作或事物，这一过程叫做编码，这些组合称为代码(Code)。代码可以分为数字型的和字符型的，有权的和无权的。数字型代码用来表示数字的大小，字符型代码用来表示不同的符号、动作或事物。有权代码的每一数位都定义了相应的位权，无权代码的数位没有定义相应的位权。下面介绍三种常用的代码：8421BCD 码、格雷(Gray)码和 ASCII码。第1章 逻辑代数基础1)8421BCD 码BCD(BinaryCodedDecimal)码即二十进制代码，用四位二进制代码表示一位十进制数码。8421BCD 码是一种最常用的 BCD 码，它是一种有权码，四位的
15、权值自左至右依次为 8、4、2、1。8421BCD 码如表 11 所示。第1章 逻辑代数基础2)格雷(Gray)码格雷码是一种无权循环码，它的特点是：相邻的两个码之间只有一位不同。表 12 列出了十进制数 015 的四位格雷码。第1章 逻辑代数基础3)ASCII 码ASCII 码，即 美 国 信 息 交 换 标 准 码(American Standard CodeforInformationInterchange)，是目前国际上广泛采用的一种字符码。ASCII 码用七位二进制代码来表示128 个不同的字符和符号，如表 13 所示。第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础1.
16、2 逻辑代数的基本运算和门电路逻辑代数的基本运算和门电路逻辑代数(LogicAlgebra)是由英国数学家乔治布尔(GeorgeBoole)于 1849 年首先提出的，因此也称为布尔代数(BooleanAlgebra)。逻辑代数研究逻辑变量间的相互关系，是分析和设计逻辑电路不可缺少的数学工具。所谓逻辑变量，是指只有两种取值的变量：真或假、高或低、1 或 0。第1章 逻辑代数基础1.2.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算逻辑变量之间的关系多种多样，有简单的也有复杂的，最基本的逻辑关系有：逻辑与、逻辑或和逻辑非三种。1.逻辑与逻辑与只有当决定某事件的全部条件同时具备时，该事件才发生，这样的逻
17、辑关系称为逻辑与，或称逻辑相乘。第1章 逻辑代数基础在图 11 电路中，只有当开关 S1 和 S 2 同时接通时，电灯 F 才会亮。若以 S1、S 2表示两个开关的状态，以 F 表示电灯的状态，用 1 表示开关接通和电灯亮，用 0 表示开关断开和电灯灭，则只有当 S1 和 S 2同时为 1 时，F 才为 1，F 与 S1和 S 2之间是一种与的逻辑关系。逻辑与运算的运算符为“”，写成 F=S1 S 2或 F=S1 S 2。逻辑变量之间取值的对应关系可用一张表来表示，这种表叫做逻辑真值表，简称真值表。与逻辑关系的真值表如表 14 所示。第1章 逻辑代数基础图 11 与逻辑电路第1章 逻辑代数基础
18、第1章 逻辑代数基础 2.逻辑或逻辑或在决定某事件的诸多条件中，当有一个或一个以上具备时，该事件都会发生，这样的逻辑关系称为逻辑或，或称逻辑相加。在图 12 电路中，当开关 S1和 S 2中有一个接通(S1=1 或 S 2=1)或一个以上接通(S1=1 且 S 2=1)时，电灯 F 都会亮(F=1)，因此 F 与 S1和 S 2之间是一种或的逻辑关系。逻辑或运算的运算符为“+”，写成 F=S1+S 2。或逻辑关系的真值表如表 15 所示。第1章 逻辑代数基础图 12 或逻辑电路第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础图 13 非逻辑电路第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基
19、础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础1.2.2 门电路门电路输出和输入之间具有一定逻辑关系的电路称为逻辑门电路，简称门电路。常用的门电路有与门、或门、非门、与非门、或非门、与或非门、异或门、同或门等，它们的逻辑符号如图 14 所示。第1章 逻辑代数基础图 14 常用门电路的逻辑符号第1章 逻辑代数基础1.3 逻辑代数的公式和规则逻辑代数的公式和规则1.3.1 基本公式基本公式逻辑代数的基本公式如下：第1章 逻辑代数基础式(8)、(8)称为同一律；式(9)、(9 )称为交换律；式(10)、(10 )称为结合律；式(11)、(11 )称为分配律；式(12)、(12 )称为
20、德摩根(De.Morgan)定律；式(13)称为还原律。第1章 逻辑代数基础1.3.2 常用公式常用公式下面列出一些常用的逻辑代数公式，利用前面介绍的基本公式可以对它们加以证明。(1)A+A B=A证明证明：A+A B=A 1+A B=A(1+B)=A 1=A公式的含义是：在一个与或表达式中，如果一个与项是另一个与项的一个因子，则另一个与项可以不要。这一公式称为吸收律。例如：(A+B)+(A+B)C D=A+B第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础公式的含义是：在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则包含这两个与项其余
21、因子作为因子的与项是可要可不要的。例如：第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础 3.对偶规则对偶规则描述：对一个逻辑函数 F，将所有的“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到函数 F 的对偶函数 F。例如：已知F 1=A(B+C)，F 2=A B+A CF1=A+B C，F2=(A+B)(A+C)如果两个函数相等，则它们的对偶函数亦相等。例如：已知A(B+C)=A B+A C则A+B C=(A+B)(A+C)第1章 逻辑代数基础1.4 逻辑函数常用的描述方法及相互间的转换逻辑函数常用的描述方法及相互间的转换1.4.1 逻辑函数常用的描述方
22、法逻辑函数常用的描述方法逻辑函数常用的描述方法有表达式、真值表、卡诺图和逻辑图等。第1章 逻辑代数基础1.表达式表达式由逻辑变量和逻辑运算符号组成，用于表示变量之间逻辑关系的式子，称为逻辑表达式。常用的逻辑表达式有与或表达式、标准与或表达式、或与表达式、标准或与表达式、与非与非表达式、或非或非表达式、与或非表达式等。第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础 2.真值表真值表用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格，称为真值表。例如，在一个判奇电路中，当 A、B、C 三个变量中有奇数个 1 时，输出 F 为 1；否则，输出 F 为 0。据此可列出表 113 所示的真值表。第1章 逻辑代数基础第
23、1章 逻辑代数基础 3.卡诺图卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在横竖两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有 2n 个方格的图形，其中，每一个方格对应变量的一个取值组合，这种图形叫做卡诺图。卡诺图分变量卡诺图和函数卡诺图两种。在变量卡诺图的所有方格中，没有相应的函数值，而在函数卡诺图中，每个方格上都有相应的函数值。第1章 逻辑代数基础图 15 为二 五个变量的卡诺图，方格中的数字为该方格对应变量取值组合的十进制数，亦称该方格的编号。图 16 为一个四变量的函数卡诺图，方格中的 0 和 1 表示在对应变量取值组合下该函数的取值。第1章 逻辑代数基础图 15 变量卡诺图(a)两变
24、量；(b)三变量；(c)四变量；(d)五变量第1章 逻辑代数基础图 16 一个四变量的函数卡诺图第1章 逻辑代数基础 4.逻辑图逻辑图由逻辑门电路符号构成的，用来表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。第1章 逻辑代数基础图 17 函数 F=第1章 逻辑代数基础1.4.2 不同描述方法之间的转换不同描述方法之间的转换1.表达式表达式 真值表真值表由表达式列函数的真值表时，一般首先按自然二进制码的顺序列出函数所含逻辑变量的所有不同取值组合，再确定出相应的函数值。第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第
25、1章 逻辑代数基础 2.真值表真值表 表达式表达式由真值表写函数的表达式时，有两种标准的形式：标准与或表达式和标准或与表达式。1)标准与或表达式标准与或表达式是一种特殊的与或表达式，其中的每个与项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量形式出现一次且仅出现一次，这样的与项称为标准与项，又称最小项。第1章 逻辑代数基础最小项的主要性质：(1)每个最小项都与变量的惟一的一个取值组合相对应，只有该组合使这个最小项取值为 1，其余任何组合均使该最小项取值为 0。(2)所有不同的最小项相或，结果一定为 1。(3)任意两个不同的最小项相与，结果一定为 0。最小项的编号：最小项对应变量取值组合的
26、大小，称为该最小项的编号。第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础从上面例子可以看出，一个与项如果缺少一个变量，则生成两个最小项；一个与项如果缺少两个变量，则生成四个最小项。如此类推，一个与项如果缺少 n 个变量，则生成 2n个最小项。由真值表求函数的标准与或表达式时，找出真值表中函数值为 1 的对应组合，将这些组合对应的最小项相或即可。第1章 逻辑代数基础【例例 1.20】已知逻辑函数的真值表如表 117 所示，写出函数的标准与或表达式。第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础 2)标准或与表达式标准或与表达式是一种特殊的或与表达式，其中的每个或项都包含了所有相关的逻辑变
27、量，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次。这样的或项称为标准或项，又称最大项。第1章 逻辑代数基础最大项的主要性质:(1)每个最大项都与变量的惟一的一个取值组合相对应，只有该组合使这个最大项取值为 0，其余任何组合均使该最大项取值为 1。(2)所有不同的最大项相与，结果一定为 0。(3)任意两个不同的最大项相或，结果一定为 1。最大项的编号:最大项对应变量取值组合的大小，称为该最大项的编号。第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础从上面例子可以看出，一个或项如果缺少一个变量，则生成两个最大项；一个或项如果缺少两个变量，则生成四个最大项。如此类推，一个或项如果缺
28、少 n 个变量，则生成 2n个最大项。由真值表求函数的标准或与表达式时，找出真值表中函数值为 0 的对应组合，将这些组合对应的最大项相与即可。第1章 逻辑代数基础【例例 1.22】已知逻辑函数的真值表如表 118 所示，写出函数的标准或与表达式。第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础3)标准与或表达式和标准或与表达式之间的转换同一函数，其标准与或表达式中最小项的编号和其标准或与表达式中最大项的编号是互补的，即在标准与或表达式中出现的最小项编号不会在其标准或与表达式的最大项编号中出现，而不在标准与或表达式中出现的最小项编号一定在其标准或与表达式的最大项编号中出现。第1章 逻辑代数基础写出其标准
29、或与表达式。解解第1章 逻辑代数基础【例例 1.24】已知写出其标准与或表达式。解解第1章 逻辑代数基础3.真值表真值表 卡诺图卡诺图已知逻辑函数的真值表，只需找出真值表中函数值为 1 的变量组合，确定其大小编号，并在卡诺图中具有相应编号的方格中标上 1，即可得到该函数的卡诺图。例如，对于表 119 所示的逻辑函数 F 的真值表，它的卡诺图如图 18 所示。第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础图 18 表 119 逻辑函数 F 的卡诺图第1章 逻辑代数基础4.卡诺图卡诺图 真值表真值表已知逻辑函数的卡诺图，只需找出卡诺图中函数值为 1 的方格所对应的变量组合，并在真值表中让相应组合的函数值
30、为 1，即可得到函数真值表。图 19 为逻辑函数 F 的卡诺图。从图 19 可以看出，当 ABC 为 001、011、100 和110 时，逻辑函数 F 的值为 1，由此可知逻辑函数 F 的真值表如表 120 所示。第1章 逻辑代数基础图 19 逻辑函数 F 的卡诺图第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础5.表达式表达式 卡诺图卡诺图已知逻辑函数的表达式，若要画出函数的卡诺图，则可以先将逻辑函数转化为一般的与或表达式，再找出使每个与项等于 1 的取值组合，最后将卡诺图中对应这些组合的方格标为 1 即可。第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础图 110 例 1.25 函数 F 的卡诺图第1章
31、 逻辑代数基础从上面例子可以看出，一个与项如果缺少一个变量，则对应卡诺图中两个方格;一个与项如果缺少两个变量，则对应卡诺图中四个方格。如此类推，一个与项如果缺少 n 个变量，则对应卡诺图中 2n个方格。第1章 逻辑代数基础6.卡诺图卡诺图 标准表达式标准表达式已知函数的卡诺图时，也可以写出函数的两种标准表达式:标准与或表达式和标准或与表达式。1)由卡诺图求函数的标准与或表达式已知函数的卡诺图，若要写出函数的标准与或表达式，则将卡诺图中所有函数值为 1的方格对应的最小项相或即可。第1章 逻辑代数基础【例例 1.26】已知函数 F 的卡诺图如图 111 所示，写出函数的标准与或表达式。图 111
32、例 1.26 函数 F 的卡诺图第1章 逻辑代数基础解解 从卡诺图中看到，在编号为 0、2、7、8、10、13 的方格中，函数 F 的值为 1，这些方格对应的最小项分别为。因此，函数 F的标准与或表达式为第1章 逻辑代数基础2)由卡诺图求函数的标准或与表达式已知函数的卡诺图，若要写出函数的标准或与表达式，则将卡诺图中所有函数值为 0的方格对应的最大项相与即可。第1章 逻辑代数基础【例例 1.27】已知函数 F 的卡诺图如图 112 所示，写出函数的标准或与表达式。图 112 例 1.27 函数 F 的卡诺图第1章 逻辑代数基础解解 从卡诺图中看到，在编号为 1、5、9、15 的方格中，函数 F
33、 的值为 0，这些方格对应的最大项分别为 因此，可以写出如下的标准或与表达式:第1章 逻辑代数基础1.5 逻辑函数的化简逻辑函数的化简我们知道，同一个逻辑函数可以写成不同的表达式。用基本逻辑门电路去实现某函数时，表达式越简单，需用的门电路个数就越少，因而也就越经济可靠。因此，实现逻辑函数之前，往往要对它进行化简，先求出其最简表达式，再根据最简表达式去实现逻辑函数。最简表达式有很多种，最常用的有最简与或表达式和最简或与表达式。不同类型的逻辑函数表达式，最简的定义也不同。第1章 逻辑代数基础函数的最简与或表达式必须满足的条件有:(1)与项个数最少。(2)与项中变量的个数最少。函数的最简或与表达式必
34、须满足的条件有:(1)或项个数最少。(2)或项中变量的个数最少。常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种。第1章 逻辑代数基础1.5.1 公式法化简公式法化简公式法化简逻辑函数，就是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子等，以求得函数的最简表达式。常用方法有以下四种。第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础2.吸收吸收法法利用公式 A+AB=A 吸收多余的与项。【例例 1.29】求函数 F=(A+AB+ABC)(A+B+C)的最简与或表达式。解解第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础1.5.2 卡诺图法化简卡诺图法化简1.用卡诺图化简法求函数的最简
35、与或表达式用卡诺图化简法求函数的最简与或表达式1)卡诺图的相邻性最小项的相邻性定义:两个最小项，如果只有一个变量的形式不同(在一个最小项中以原变量出现，在另一个最小项中以反变量出现)，其余变量的形式都不变，则称这两个最小项是逻辑相邻的。第1章 逻辑代数基础卡诺图的相邻性判别:在卡诺图的两个方格中，如果只有一个变量的取值不同(在一个方格中取 1，在另一个方格中取 0)，其余变量的取值都不变，则这两个方格对应的最小项是逻辑相邻的。在卡诺图中，由于变量取值按循环码排列，使得几何相邻的方格对应的最小项是逻辑相邻的。具体而言就是:每一方格和上、下、左、右四边紧靠它的方格相邻;最上一行和最下一行对应的方格
36、相邻;最左一列和最右一列对应的方格相邻;对折相重的方格相邻。图113 画出了卡诺图中最小项相邻的几种情况。第1章 逻辑代数基础图 113 卡诺图中最小项相邻的几种情况第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础图 114 两个相邻最小项的合并第1章 逻辑代数基础(2)四个相邻的 1 方格圈在一起，消去两个变量，如图 115 所示。第1章 逻辑代数基础图 115 四个相邻最小项的合并第1章 逻辑代数基础四个相邻的 1 方格对应的四个最小项中有两个变量的形式变化过，将它们相或时可以消去这两个变量，只剩下不变的因子。例如，在图 115(e)中，四个相邻的 1 方格对应的四个最小项分别为在这四个最小项中，
37、A 和 C 两个变量的形式变化过。因为第1章 逻辑代数基础结果是将 A 和 C 两个变量消去，剩下了两个不变的因子。因此，将这四个方格圈在一起时得到一个简化的与项 。第1章 逻辑代数基础(3)八个相邻的 1 方格圈在一起，消去三个变量，如图 116 所示。八个相邻的 1 方格对应的八个最小项中有三个变量的形式变化过，将它们相或时可以消去这三个变量，只剩下不变的因子。第1章 逻辑代数基础图 116 八个相邻最小项的合并第1章 逻辑代数基础(4)2n个相邻的 1 方格圈在一起，消去 n 个变量。2n个相邻的 1 方格对应的 2n个最小项中，有 n 个变量的形式变化过，将它们相或时可以消去这 n 个
38、变量，只剩下不变的因子。(5)如果卡诺图中所有的方格都为 1，将它们圈在一起，结果为 1。如果卡诺图中所有的方格都为 1，将它们圈在一起，等于将变量的所有不同最小项相或，因此结果为 1。这种情形表示在变量的任何取值情况下，函数值恒为 1。第1章 逻辑代数基础3)卡诺图化简法的步骤和原则用卡诺图化简逻辑函数时，一般先画出函数的卡诺图，然后将卡诺图中的 1 方格按逻辑相邻特性进行分组划圈。每个圈得到一个简化的与项，与项中只包含在圈中取值没有变化过的变量，值为 1 的以原变量出现，值为 0 的以反变量出现。再将所得各个与项相或，即得到该函数的最简与或表达式。第1章 逻辑代数基础用卡诺图化简法求函数最
39、简与或表达式的一般步骤如下:(1)画出函数的卡诺图。(2)对相邻最小项进行分组合并。(3)写出最简与或表达式。第1章 逻辑代数基础用卡诺图化简法求函数最简与或表达式的原则如下:(1)每个值为 1 的方格至少被圈一次。当某个方格被圈多于一次时，相当于对这个最小项使用同一律 A+A=A，并不改变函数的值。(2)每个圈中至少有一个 1 方格是其余所有圈中不包含的。如果一个圈中的任何一个1 方格都出现在别的圈中，则这个圈就是多余的。(3)任一圈中都不能包含取值为 0 的方格。(4)圈的个数越少越好。圈的个数越少，得到的与项就越少。(5)圈越大越好。圈越大，消去的变量越多，所得与项包含的因子就越少。每个
40、圈中包含的 1 方格的个数必须是 2 的整数次方。第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础【例例 1.33】用图形法化简函数 写出其最简与或表达式。解解 首先将函数 F 转换为一般与或表达式:接着画出函数 F 的卡诺图，如图 117 所示。第1章 逻辑代数基础图 117 例 1.33 函数 F 的卡诺图第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础【例例 1.34】用图形法化简函数(0，1，2，5，6，7，8，10，11，12，13，15)，写出其最简与或表达式。解解 画出函数 F 的卡诺图，如图 118 所示。图 118 例 1.34 函数 F 的卡诺图第1章 逻辑代数基础由图 118(a)和(b
41、)可以看出，函数 F 的卡诺图有两种可行的合并方案。根据图 118(a)得到:根据图 118(b)得到:本例说明，一个函数的最简与或表达式可以不是惟一的。第1章 逻辑代数基础2.用卡诺图化简法求函数的最简或与表达式用卡诺图化简法求函数的最简或与表达式求函数的最简或与表达式时，可以先求出其反函数的最简与或表达式，然后取反得到函数的最简或与表达式。在函数的卡诺图中，函数值为 0 意味着其反函数的值为 1，因此，利用卡诺图化简法求函数的最简或与表达式时，应对函数卡诺图中的 0 方格对应的最小项进行分组合并。一般的步骤如下:(1)画出函数的卡诺图。(2)对相邻的 0 方格对应的最小项进行分组合并，求反
42、函数的最简与或表达式。(3)对所得反函数的最简与或表达式取反，得函数的最简或与表达式。第1章 逻辑代数基础【例例 1.35】用图形法化简函数写出其最简或与表达式。解解 先画出函数 F 的卡诺图，如图 119所示。然后对 0 方格进行分组合并，得到的反函数的最简与或表达式如下:最后对反函数取反，得到的函数的最简或与表达式如下:第1章 逻辑代数基础图 119 例 1.35 函数 F 的卡诺图第1章 逻辑代数基础1.5.3 带无关项逻辑函数的化简带无关项逻辑函数的化简1.逻辑函数中的无关项逻辑函数中的无关项在实际的逻辑关系中，有时会遇到这样一种情况，即变量的某些取值组合是不会发生的，这种加给变量的限
43、制称为变量的约束，而这些不会发生的组合所对应的最小项称为约束项。显然，对变量所有可能的取值，约束项的值都等于 0。对变量 约 束 的 具 体 描 述 叫 做 约 束 条 件。例 如，AB+AC=0，(5，6，7)=0，d(5，6，7)等。在真值表和卡诺图中，约束一般记为“”或“”。第1章 逻辑代数基础另外，有时我们只关心在变量某些取值组合情况下函数的值，而对变量的其他取值组合所对应的函数值不加限定，取 0 或者取 1 都无所谓。函数值取值可 0 可 1 的变量组合所对应的最小项常称为任意项。约束项和任意项统称为无关项。当函数具有约束项时，由于约束项的值等于 0，因此在函数的表达式中可以不加上约
44、束项，也可以加上约束项，而且可以利用同一律重复多次。这样做并不改变函数的值，结果得到的是同一函数。第1章 逻辑代数基础对于存在任意项的情况，当变量取任意项对应的组合时，如果不加上任意项，则此时函数值为 0，如果加上任意项，则此时函数值为 1。两种情况下得到的结果不是同一函数，但都是满足逻辑功能要求的函数。在对具有无关项的逻辑函数进行化简时，通过合理利用无关项，有可能得到更加简单的函数表达式。加还是不加无关项，要以得到的函数表达式最简为原则。在用卡诺图化简法求带无关项逻辑函数的最简与或表达式时，与 0 方格及 1 方格不同，无关项对应的方格可圈也可以不圈。第1章 逻辑代数基础2.带约束项逻辑函数
45、的化简带约束项逻辑函数的化简下面举例来说明带约束项逻辑函数的化简。【例例 1.36】求函数 F 的最简与或表达式:约束条件为第1章 逻辑代数基础解解 下面分别用公式法和卡诺图法进行求解。(1)公式法。由约束条件得:第1章 逻辑代数基础(2)卡诺图法。画出函数的卡诺图，如图 120 所示。图 120 例 1.36 函数 F 的卡诺图第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础【例例 1.37】求函数 F 的最简与或表达式:F=(0，2，3，4，8)+d(10，11，12，13，14，15)解解 画出函数的卡诺图，如图 121 所示。图 121 例 1.37 函数 F 的卡诺图第1章 逻辑代数基础第1
46、章 逻辑代数基础 3.带任意项逻辑函数的化简带任意项逻辑函数的化简下面仍然举例来说明带任意项逻辑函数的化简。【例例 1.38】已知真值表如表 121 所示，其中“”表示函数值可以取 0 也可以取 1，求最简与或表达式。第1章 逻辑代数基础解解 根据真值表画出的卡诺图如图 122 所示。第1章 逻辑代数基础图 122 例 1.38 函数 F 的卡诺图第1章 逻辑代数基础由卡诺图可见，编号 3 的方格被圈上，相当于此处的 取 1;编号 7 的方格没被圈过，相当于此处的 取 0因此，函数的最简与或表达式为表 122 为函数 F 的真值表。第1章 逻辑代数基础习习 题题第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑
47、代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础110 已知逻辑函数的真值表如表 123 所示，写出函数的标准与或表达式和标准或与表达式。第1章 逻辑代数基础111 写出下列逻辑函数的标准与或表达式。第1章 逻辑代数基础112 写出下列逻辑函数的标准或与表达式。第1章 逻辑代数基础113 已知逻辑函数的卡诺图如图 123(a)、(b)所示，写出函数的标准与或表达式和标准或与表达式。图 123 习题 113 的卡诺图第1章 逻辑代数基础114 用公式法化简下列逻辑函数，写出最简与或表达式。第1章 逻辑代数基础115 用卡诺图法化简下列逻辑函数，写出最简与或
48、表达式。第1章 逻辑代数基础116 用卡诺图法化简下列逻辑函数,写出最简与或表达式。第1章 逻辑代数基础117 用卡诺图法化简下列逻辑函数,写出最简或与表达式。第1章 逻辑代数基础118 用卡诺图法化简下列具有约束条件的逻辑函数,写出最简与或表达式。第1章 逻辑代数基础119 用卡诺图法化简下列逻辑函数,写出最简与或表达式。第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代
49、数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代
50、数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代数基础第1章 逻辑代
