1、目目录录c co on nt te en nt ts s5.1 5.1 留数定理留数定理5.2 5.2 留数计算留数计算5.3 5.3 定理类型定理类型5.1.3留数定理第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算5.1.2多个奇点5.1.1一个奇点+-5.3定理类型+的洛朗级数：的洛朗级数：(z0为孤立奇点为孤立奇点)-（1）-（2 2）作如图的小回路作如图的小回路,根据柯西积分定理有：根据柯西积分定理有：所以：所以：-（3 3）而前面的知识告诉我们：而前面的知识告诉我们：5.1.3留数定理第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算5.1.2多个奇点5.1.1一
2、个奇点+-5.3定理类型+-(4)-(4)所以所以(3)(3)式为：式为：-(5)-(5)讨论讨论a-1的重要性的重要性 留数留数 5.1.3留数定理第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算5.1.2多个奇点5.1.1一个奇点+-5.3定理类型+根据柯西积分定理：根据柯西积分定理：有：有：5.1.3留数定理第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算5.1.2多个奇点5.1.1一个奇点+-5.3定理类型+留数定理：留数定理：留数定理将积分变为留数之和。留数定理将积分变为留数之和。5.2.1一般方法5.2.2可去奇点第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.
3、2留数计算+-5.3定理类型+5.2.3极点留数5.2.4计算例题1.一般方法一般方法：原则上讲：将：原则上讲：将f(z)在环域上展开求在环域上展开求 和直接求积分一样繁琐，一般用于和直接求积分一样繁琐，一般用于本性奇点留数计算。本性奇点留数计算。5.2.1一般方法5.2.2可去奇点第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算+-5.3定理类型+5.2.3极点留数5.2.4计算例题1.一般方法一般方法：原则上讲：将：原则上讲：将f(z)在环域上展开求在环域上展开求 和直接求积分一样繁琐，一般用于和直接求积分一样繁琐，一般用于2.可去奇点：可去奇点：可去奇点留数为零。可去奇点留数为
4、零。本性奇点留数计算。本性奇点留数计算。5.2.1一般方法5.2.2可去奇点第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算+-5.3定理类型+5.2.3极点留数5.2.4计算例题1.一般方法一般方法：原则上讲：将：原则上讲：将f(z)在环域上展开求在环域上展开求 和直接求积分一样繁琐，一般用于和直接求积分一样繁琐，一般用于2.可去奇点：可去奇点：可去奇点留数为零。可去奇点留数为零。3.极点留数：极点留数：极限法。极限法。本性奇点留数计算。本性奇点留数计算。5.2.1一般方法5.2.2可去奇点第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算+-5.3定理类型+5.2.3极点
5、留数5.2.4计算例题1）单极点）单极点:洛朗级数为：洛朗级数为：3.极点留数：极点留数：极限法。极限法。-（I）5.2.1一般方法5.2.2可去奇点第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算+-5.3定理类型+5.2.3极点留数5.2.4计算例题特殊情况：特殊情况：(II)1）单极点）单极点:洛朗级数为：洛朗级数为：3.极点留数：极点留数：极限法。极限法。5.2.1一般方法5.2.2可去奇点第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算+-5.3定理类型+5.2.3极点留数5.2.4计算例题2）阶极点阶极点:3.极点留数：极点留数：极限法。极限法。5.2.1一般方
6、法5.2.2可去奇点第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算+-5.3定理类型+5.2.3极点留数5.2.4计算例题2）阶极点的情况阶极点的情况:3.极点留数：极点留数：极限法。极限法。5.2.1一般方法5.2.2可去奇点第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算+-5.3定理类型+5.2.3极点留数5.2.4计算例题1）单极点）单极点:2）阶极点阶极点:1.一般方法一般方法：原则上讲：将：原则上讲：将f(z)在环域上展开求在环域上展开求 和直接求积分一样繁琐，一般用于和直接求积分一样繁琐，一般用于2.可去奇点：可去奇点：可去奇点留数为零。可去奇点留数为零。3
7、.极点留数：极点留数：极限法。极限法。本性奇点留数计算。本性奇点留数计算。5.2.1一般方法5.2.2可去奇点第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算+-5.3定理类型+5.2.3极点留数5.2.4计算例题例例1：求求 在在z0=1的留数的留数解：第（解：第（1）种解法）种解法 z0=1是奇点是奇点1）确定奇点：）确定奇点：2）确定奇点类型：）确定奇点类型：z0=1是一阶极点是一阶极点5.2.1一般方法5.2.2可去奇点第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算+-5.3定理类型+5.2.3极点留数5.2.4计算例题3）计算留数：）计算留数：运用第一个公式：运
8、用第一个公式：解：第（解：第（2）种解法）种解法：运用第二个公式：运用第二个公式 z0=1是奇点是奇点1）确定奇点：）确定奇点：2）确定奇点类型：）确定奇点类型：5.2.1一般方法5.2.2可去奇点第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算+-5.3定理类型+5.2.3极点留数5.2.4计算例题运用第二个公式：运用第二个公式：3）计算留数：）计算留数：5.2.1一般方法5.2.2可去奇点第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.2留数计算+-5.3定理类型+5.2.3极点留数5.2.4计算例题例例2：确定：确定 的极点，求这些极点的留数的极点，求这些极点的留数极限是非零有
9、限值。所以：极限是非零有限值。所以：z0=n是单极点，是单极点，解：第（解：第（1）中解法）中解法：运用第一个公式：运用第一个公式 1）确定奇点：）确定奇点：2）确定奇点类型：）确定奇点类型：3）计算留数：）计算留数：运用第一个公式：运用第一个公式：第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）5.3：留数定理的类型（计算实变函数的积分）：留数定理的类型（计算实变函数的积分）5.3.1类型原理类型原理 留数定理留数定理实变积分实变积分易积分易积分旧
10、知识再理解：旧知识再理解：实变函数积分的本质：路径积分；实变函数积分的本质：路径积分；复变函数积分的本质：路径积分；复变函数积分的本质：路径积分；实变函数是复变函数的特殊情况；实变函数是复变函数的特殊情况；5.3.2类型（一）类型（一）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）作变量代换：作变量代换：所以原积分变为：所以原积分变为：a)处理办法处理办法 5.3.2类型（一）类型（一）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-
11、5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）例：计算：例：计算：（01）解：解：1)代入变换得积分：代入变换得积分：2)确定积分函数在环路内的奇点：确定积分函数在环路内的奇点：3)根据留数定理计算环路积分根据留数定理计算环路积分b)例题例题5.3.2类型（一）类型（一）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）4)计算积分：计算积分：5.3.2类型（一）类型
12、（一）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）解题步骤：解题步骤：2)确定积分函数在确定积分函数在环路内的奇点环路内的奇点3)根据留数定理计算环路积分根据留数定理计算环路积分1)进行积分变换进行积分变换 4)计算积分计算积分5.3.3类型（二）类型（二）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（
13、）处理办法处理办法：作极限：作极限：如果极限存在，称极限值称为反常积分如果极限存在，称极限值称为反常积分 的值的值,如果如果时极限存在的话，该极限称为积分时极限存在的话，该极限称为积分 的的主值主值。记作：。记作：5.3.3类型（二）类型（二）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）作如图的积分路径延展：作如图的积分路径延展：所以有：所以有：5.3.3类型（二）类型（二）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2
14、类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）例例3、计算：、计算：解：解：，具有单极点，具有单极点 在上半平面，在上半平面，1）确定函数确定函数奇点：奇点：2）选出上半平面奇点：）选出上半平面奇点：3）判断奇点类型：）判断奇点类型：是单极点，是单极点，4）根据奇点类型计算留数：）根据奇点类型计算留数：5）计算积分：）计算积分：5.3.3类型（二）类型（二）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.
15、2留数计算+5.3.6类型（）例例4、计算：、计算：(n为正整数为正整数)1）确定函数确定函数奇点：奇点：3）判断奇点类型：）判断奇点类型：n阶极点阶极点解：解：，函数的奇点，函数的奇点 2）选出上半平面奇点：）选出上半平面奇点：4）根据奇点类型级数留数：）根据奇点类型级数留数：5.3.3类型（二）类型（二）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）5）计算积分：）计算积分：5.3.4类型（三）类型（三）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数
16、定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）原理：原理：5.3.4类型（三）类型（三）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）同理：同理：如果看成类型（二）积分：则：如果看成类型（二）积分：则：按类型（二）积分要求：当按类型（二）积分要求：当z在上在上 半平面半平面时，时，和和 一致一致0。现在的条件：现在的条件：z，F(z),G(z
17、)0；有区别，；有区别，能否抹掉这个区别？能否抹掉这个区别？能能约当引理约当引理：为正数。为正数。CR为半圆周（上半平面），设为半圆周（上半平面），设z在上半平面和实轴上在上半平面和实轴上时，时，F(z)一致一致0，则：，则：证明：证明：跳5.3.4类型（三）类型（三）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）当当z 在上半平面或实轴上在上半平面或实轴上 时，时，F（z）0，所以只证明：，所以只证明：有界，有界，上式可写为：上式可写为：（积分为
18、面积和），如图：（积分为面积和），如图：在在0 范围内范围内 在在当当m为负数时为负数时:是是 对实轴的映象对实轴的映象.5.3.4类型（三）类型（三）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）类型（三）的积分可化为类型（二）的积分类型（三）的积分可化为类型（二）的积分:在上半平面所有奇点的留数之和在上半平面所有奇点的留数之和 在上半平面所有奇点的留数之和在上半平面所有奇点的留数之和 5.3.4类型（三）类型（三）第5章复变函数积分的留数定理-
19、5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）例例7:计算计算:以上环路积分，积分函数在实轴上都没有奇点，如果积分函数以上环路积分，积分函数在实轴上都没有奇点，如果积分函数在实轴上有奇点，情况会怎么样？在实轴上有奇点，情况会怎么样？5.3.5类型（四）类型（四）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）积分函数在实轴上有奇点积分
20、函数在实轴上有奇点:5.3.5类型（四）类型（四）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）5.3.5类型（四）类型（四）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）5.3.5类型（四）类型（四）第5章复变函数积分的留数定理-5.1留数定理5.3定理类型+-5.3.2类型（一）5.3.1类型原理5.3.3类型（二）5.3.4类型（三）5.3.5类型（四）5.2留数计算+5.3.6类型（）
