1、第3章复变函数的积分3.4不定积分3.1积分定义3.2柯西积分定理3.3柯西积分公式3.1.2积分表示3.1.1积分定义3.1.3积分性质3.1.4积分特例-+-+目 录 content 3.1 积分定义目录CONTENTCONTENT 3.2 柯西积分定理 3.3 柯西积分公式 3.4 不定积分目 录 content 3.1 积分定义目录CONTENTCONTENT 3.2 柯西积分定理 3.3 柯西积分公式 3.4 不定积分 3.1复变函数的定积分定义第3章复变函数的积分3.4不定积分3.1积分定义3.2柯西积分定理3.3柯西积分公式3.1.2积分表示3.1.1积分定义3.1.3积分性质3
2、.1.4积分特例-+-+在复平面的一段光滑曲线l上定义了连续函数f(z)复变函数积分如何定义？两端点分别为A和B在曲线上从A点开始取n个点将曲线分为n段再在每一小段zk-1,zk内取点k，计算求和：并取n-的极限如果:1）极限存在，2）与k取值方式无关则称这个极限值为f(z)从A到B的路积分记为积分：复变函数的路积分仍然是一个复数，路积分的几何本质是复矢量相加，如图在复平面内f(1)dz1为f(2)dz2为f(i)dzi为f（z）dz积分为构成一个封闭环以上已经定义了复变函数的路径积分但是计算积分，即要进行极限计算大家看看能否用极限计算的方法计算积分？明显不能，那怎么计算积分呢？这是我们下面要
3、介绍的路径积分的实变函数积分表示第3章复变函数的积分3.4不定积分3.1积分定义3.2柯西积分定理3.3柯西积分公式3.1.2积分表示3.1.1积分定义3.1.3积分性质3.1.4积分特例-+-+复变函数的路径积分将函数f(z)表示为u(x,y)+iv(x,y),dz用代数式表示dx+idy将积分内的两个函数相乘得【u(x,y)dx-v(x,y)dy】的路径积分+i倍【v(x,y)dx+u(x,y)dy】的路径积分即通过二元函数的路径积分表达了复变函数的路径积分左边的积分路径是复平面上的曲线与右边常规平面上的曲线是相通的复变函数的路径积分可以表示为二元实变函数的路径积分则复变函数有着与二元实变
4、函数路径积分相似的性质有哪些性质呢？接下来我们介绍一下第3章复变函数的积分3.4不定积分3.1积分定义3.2柯西积分定理3.3柯西积分公式3.1.2积分表示3.1.1积分定义3.1.3积分性质3.1.4积分特例-+-+积分性质的第一条（5）满足积分不等式1f(z)dz沿曲线积分的模小于等于f(z)的模乘以dz的模的积分f(z)dz沿曲线积分的模小于等于f(z)的模的最大值乘以曲线总长（6）满足积分不等式2下面通过实例计算复变函数的积分下面通过实例计算复变函数的积分第3章复变函数的积分3.4不定积分3.1积分定义3.2柯西积分定理3.3柯西积分公式3.1.2积分表示3.1.1积分定义3.1.3积
5、分性质3.1.4积分特例-+-+复平面上有三条曲线l1从（0,0）点出发到达（x,0）,再从（x,0）沿平行于y轴的直线到达（1，i）l2从（0,0）点出发到达（0,i）,再从（0,i）沿平行于x轴的直线到达（1，i）l3沿直线y=x从（0,0）到达（1,i）带入z=x+iy得括号展开得xdx沿l1的积分+i倍xdy沿l1的积分l1路径分为两段，则消去积分为零的两项得xdx沿x轴从0到1的积分+i倍1乘以dy沿y轴从0到1积分这两个积分比较简单，积分得+i【x+iy】的实部乘以【dx+idy】沿l1的积分可能有的同学不太明白现计算一下第一个积分，同理计算第二个，第三个积分得I2=1/2,I3=
6、1/2+i/2（见讲义）在讲义中我们还计算了两个积分5个积分发现积分函数虽然一样不同的积分路径积分值可能一样，也可能不一样这是为什么？这是我们下一节要讨论的内容：柯西积分定理目录第3章复变函数的积分3.4不定积分3.1积分定义3.2柯西积分定理3.3柯西积分公式3.1.2积分表示3.1.1积分定义3.1.3积分性质3.1.4积分特例-+-+3.2柯西积分定理：函数积分与路径有（无）关第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分定理柯西积分公式单：柯西积分定理单、复连通区域复：柯西积分定理柯西积分定理-+-+重要积分单连通区域：不带孔，表示：单连通区域：不带孔，表示：B B 复连通区域：带孔，复
7、连通区域：带孔，积分方向：积分方向：正方向：当观测者沿着这个方向走时。区域总在观测者的左边。正方向：当观测者沿着这个方向走时。区域总在观测者的左边。负方向：相反。如图：负方向：相反。如图：第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分定理柯西积分公式-+-+单：柯西积分定理单、复连通区域复：柯西积分定理柯西积分定理重要积分第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分公式-+-+柯西积分定理单：柯西积分定理单、复连通区域复：柯西积分定理柯西积分定理重要积分证明：证明：思想思想，运用单连通区域的柯西积分定理。，运用单连通区域的柯西积分定理。处理办法处理办法，变复连通区域为单连通区域。，变复连通区域为
8、单连通区域。如图：由单连通区域上的柯西积分定理得：如图：由单连通区域上的柯西积分定理得：第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分公式-+-+柯西积分定理单：柯西积分定理单、复连通区域复：柯西积分定理柯西积分定理重要积分考虑同一割线两边缘上的积分值相互抵消，则有：考虑同一割线两边缘上的积分值相互抵消，则有：采用数学上简洁的写法：采用数学上简洁的写法：另外的表示方法：另外的表示方法：第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分公式-+-+柯西积分定理单：柯西积分定理单、复连通区域复：柯西积分定理柯西积分定理重要积分2 2闭复连通区域上的解析函数沿所有内外边界线正方向的积分和为零。闭复连通区域上
9、的解析函数沿所有内外边界线正方向的积分和为零。3 3闭复连通区域上的解析函数沿外边界线逆时针方向的积分闭复连通区域上的解析函数沿外边界线逆时针方向的积分返回返回等于沿所有内边界线逆时针方向积分之和。等于沿所有内边界线逆时针方向积分之和。第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分公式-+-+柯西积分定理单：柯西积分定理单、复连通区域复：柯西积分定理柯西积分定理重要积分第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分公式-+-+柯西积分定理单：柯西积分定理单、复连通区域复：柯西积分定理柯西积分定理重要积分计算积分：计算积分：第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分公式-+-+柯西积分定理单：柯西
10、积分定理单、复连通区域复：柯西积分定理柯西积分定理重要积分计算积分：计算积分：第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分公式-+-+柯西积分定理单：柯西积分定理单、复连通区域复：柯西积分定理柯西积分定理重要积分总结起来有：总结起来有：这个重要积分很有意思，一方面解决了特殊情况（积分函数为幂函数，积分环域内这个重要积分很有意思，一方面解决了特殊情况（积分函数为幂函数，积分环域内目录幂函数的单个奇点）下环路积分值的计算，另一方面却又很重要的应用，究竟有什么作用，幂函数的单个奇点）下环路积分值的计算，另一方面却又很重要的应用，究竟有什么作用，请学习下节的请学习下节的柯西积分柯西积分公式和公式和5.
11、15.1的留数定理的留数定理。跳第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分公式-+-+柯西积分定理单：柯西积分定理单、复连通区域复：柯西积分定理柯西积分定理重要积分所以有：所以有：根据柯西积分定理有：根据柯西积分定理有：第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分公式-+-+柯西积分定理单：柯西积分定理单、复连通区域复：柯西积分定理柯西积分定理重要积分当当时：时：当当时：时：返回THANK YOUTHANK YOU谢谢聆听第3章复变函数的积分3.4不定积分3.1积分定义3.2柯西积分定理3.3柯西积分公式3.1.2积分表示3.1.1积分定义3.1.3积分性质3.1.4积分特例-+-+3.3柯
12、西积分公式第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分定理柯西积分公式柯西积分公式推广柯西积分公式柯西积分公式推论柯西积分公式应用-+-+柯西积分公式柯西积分公式理解：点值与环路积分相等。理解：点值与环路积分相等。第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分定理柯西积分公式柯西积分公式推广柯西积分公式柯西积分公式推论柯西积分公式应用-+-+与要证明的柯西积分公式相比，我们只需证明：与要证明的柯西积分公式相比，我们只需证明：可得：可得：证明：证明：由前面的重要积分：由前面的重要积分：A ABCD提交单选题1分第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分定理柯西积分公式柯西积分公式推广柯西积分公式
13、柯西积分公式推论柯西积分公式应用-+-+第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分定理柯西积分公式柯西积分公式推广柯西积分公式柯西积分公式推论柯西积分公式应用-+-+BABCD提交单选题1分DABCD提交单选题1分第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分定理柯西积分公式柯西积分公式推广柯西积分公式柯西积分公式推论柯西积分公式应用-+-+目录第3章复变函数的积分3.4不定积分3.1积分定义3.2柯西积分定理3.3柯西积分公式3.1.2积分表示3.1.1积分定义3.1.3积分性质3.1.4积分特例-+-+3.4不定积分的定义第3章复变函数的积分不定积分积分定义柯西积分定理柯西积分公式柯西积分公式推广柯西积分公式柯西积分公式推论柯西积分公式应用-+-+根据柯西积分定理，在单连通区域根据柯西积分定理，在单连通区域 上的解析函数上的解析函数 ，沿，沿上的任一路径上的任一路径 的积分的积分 的值只跟起点和终点有关，的值只跟起点和终点有关，与路径无关，可以定义不定积分：与路径无关，可以定义不定积分：THANK YOUTHANK YOU谢谢聆听
