1、回顾实数项级数建立一般的复数项级数，在实数项级数收敛规则的基础上讨论复数项级数的收敛性。在一般复数项级数基础上讨论特殊复数项级数幂级数的性质及其收敛性问题。进一步讨论幂级数收敛性问题，研究发现幂级数在收敛区域内收敛为解析函数。反向思考幂级数收敛为解析函数，那么解析函数是否可以展开为幂级数。泰勒级数定理回答了这一问题，并回答了如何将解析函数展开为泰勒级数。解析函数展开为泰勒级数的前提是在单连通区域B上是解析的。如果函数是复连通区域上的解析函数，函数是否可以展开为幂级数？数学家发明了洛朗级数，将解析函数的级数展开又推进了一步。前言 Introduction目录CONTENTS目录CONTENTS1
2、23复数项级数（复数项级数的基本知识）幂级数（幂级数的基本知识）解析函数的幂级数展开5奇点（奇点的定义及其分类）4.1复数项级数（复数项级数的基本知识）4.1复数项级数（复数项级数的基本知识）4.1.1复数项级数的定义4.1.2收敛判据4.1.3收敛级数之间的关系4.1.4函数项级数收敛4.1.5讨论4.1复数项级数（复数项级数的基本知识）级数 收敛收敛 关系级数 讨论级数 定义函数 级数4.1.1复数项级数的定义及收敛性问题：复数项级数的定义及收敛性问题：复数项级数：复数项级数：复数项的每一项：复数项的每一项：，所以：，所以：所以：所以：所以：复数项级数的收敛性问题是两个所以：复数项级数的收
3、敛性问题是两个实数项级数的收敛问题实数项级数的收敛问题。究竟有哪些收敛判据呢？究竟有哪些收敛判据呢？4.1复数项级数（复数项级数的基本知识）级数收敛收敛关系级数讨论级数定义函数级数4.1.2复数项级数收敛的判据复数项级数收敛的判据 1柯西收敛判据：柯西收敛判据：复数项级数：复数项级数：收敛的充分必要条件是：对于给定的任意小的正数收敛的充分必要条件是：对于给定的任意小的正数 为任意正整数。为任意正整数。存在，使得存在，使得 时，有：时，有：必有必有 下面介绍第二个收敛判据下面介绍第二个收敛判据 4.1复数项级数（复数项级数的基本知识）级数收敛收敛关系级数讨论级数定义函数级数2绝对收敛绝对收敛 如
4、果复数项级数如果复数项级数 的各项的模组成的级数：的各项的模组成的级数：4.1.2复数项级数收敛的判据复数项级数收敛的判据 收敛，则称复数项级数收敛，则称复数项级数 绝对收敛。绝对收敛。两个收敛级数之间的关系如何？两个收敛级数之间的关系如何？4.1复数项级数（复数项级数的基本知识）级数收敛收敛关系级数讨论级数定义函数级数4.1.3收敛级数之间的关系收敛级数之间的关系两个绝对收敛的复数项级数：两个绝对收敛的复数项级数：它们的乘积组成的级数：它们的乘积组成的级数：也绝对收敛，且：也绝对收敛，且：各项为函数的复数项级数收敛怎么定义？各项为函数的复数项级数收敛怎么定义？4.1复数项级数（复数项级数的基
5、本知识）级数收敛收敛关系级数讨论级数定义函数级数4.1.4复数项级数各项为函数的情况复数项级数各项为函数的情况收敛定义：收敛定义：若：若：如果对于区域如果对于区域（或某曲线（或某曲线）上所有点，上式收敛，则称）上所有点，上式收敛，则称 在在（或某曲线（或某曲线）上收敛。）上收敛。且且与与无关，则级数无关，则级数 称称一致收敛一致收敛。收敛的充分必要条件：收敛的充分必要条件：在区域在区域（或某曲线（或某曲线）上各点，对于给定的）上各点，对于给定的必有必有 存在，当存在，当 时：时：任一小正数任一小正数 ，4.1复数项级数（复数项级数的基本知识）级数收敛收敛关系级数讨论级数定义函数级数4.1.5讨
6、论讨论1.2.3.幂级数(特殊的复数项级数)4.24.2.1幂级数定义4.2.2幂级数收敛4.2.3收敛半径级数4.2.4幂级数与解析函数4.2幂级数（特殊的复数项级数）4.2幂级数（特殊的复数项级数）级数 收敛收敛 半径级数 定义解析函数4.2.1 特殊的复数项级数特殊的复数项级数 幂级数。幂级数。幂级数定义幂级数定义：各项都为幂函数的复变项级数：各项都为幂函数的复变项级数：（其中（其中 都是常数）叫都是常数）叫以以 为中心的幂级数为中心的幂级数。幂级数收敛情况如何？幂级数收敛情况如何？4.2幂级数（特殊的复数项级数）级数 收敛收敛 半径级数 定义解析函数4.2.2幂级数的收敛幂级数的收敛
7、1比值判别法（达朗贝尔判别法）比值判别法（达朗贝尔判别法）证明：各项模组成的正项级数：证明：各项模组成的正项级数：是实数项级数。应用比值判别法考查它的收敛性有：是实数项级数。应用比值判别法考查它的收敛性有：如果上式极限小于如果上式极限小于1，即：，即：则实数项级数则实数项级数 收敛，收敛，绝对收敛。绝对收敛。从而复数项级数从而复数项级数 引入符号：引入符号：则：则：变为：变为：，级数：，级数：当当 发散。发散。，级数：，级数：当：当：绝对收敛，绝对收敛，即：即：与实数项级数比较，有第二种收敛判据吗？与实数项级数比较，有第二种收敛判据吗？4.2幂级数（特殊的复数项级数）级数 收敛收敛 半径级数
8、定义解析函数4.2.2幂级数的收敛幂级数的收敛 2根值判别法根值判别法证明：各项模组成的正项级数：证明：各项模组成的正项级数：是实数项级数。应用根值判别法考查它的收敛性有：是实数项级数。应用根值判别法考查它的收敛性有：如果上式极限小于如果上式极限小于1，即：，即：则实数项级数则实数项级数 收敛，收敛，绝对收敛。绝对收敛。从而复数项级数从而复数项级数 引入符号：引入符号：则：则：变为：变为：，级数：，级数：当当 发散。发散。，级数：，级数：当：当：绝对收敛，绝对收敛，即：即：4.2幂级数（特殊的复数项级数）级数 收敛收敛 半径级数 定义解析函数所以如前一节的描述，级数：所以如前一节的描述，级数：
9、在收敛圆内部在收敛圆内部绝对收敛绝对收敛且且一致收敛。一致收敛。4.2.2幂级数的收敛幂级数的收敛 如何计算收敛半径（区域）？如何计算收敛半径（区域）？4.2幂级数（特殊的复数项级数）级数 收敛收敛 半径级数 定义解析函数4.2.3收敛半径例题收敛半径例题例例1求幂级数求幂级数 的收敛圆，的收敛圆，为复变数。为复变数。解：根据收敛半径的定义：解：根据收敛半径的定义：收敛圆为以收敛圆为以 为圆心，半径为为圆心，半径为1的圆，的圆，收敛圆的内部可表示为收敛圆的内部可表示为 4.2幂级数（特殊的复数项级数）级数 收敛收敛 半径级数 定义解析函数例例2求幂级数求幂级数 的收敛圆，的收敛圆，为复变数。为
10、复变数。解：将解：将 记着记着，级数变为：，级数变为：系数为系数为1，1交叉出现的级数，所以在交叉出现的级数，所以在 平面上的收敛半径为：平面上的收敛半径为：所以，在所以，在 平面上的收敛半径为平面上的收敛半径为，其值为，其值为1。所以收敛半径为。所以收敛半径为4.2.3收敛半径例题收敛半径例题4.2幂级数（特殊的复数项级数）级数 收敛收敛 半径级数 定义解析函数BABCD提交单选题1分4.2幂级数（特殊的复数项级数）级数 收敛收敛 半径级数 定义解析函数A ABCD提交单选题1分4.2幂级数（特殊的复数项级数）级数 收敛收敛 半径级数 定义解析函数两个例题都告诉我们，级数：两个例题都告诉我们
11、，级数：在收敛圆内部在收敛圆内部绝对收敛绝对收敛且且一致收敛一致收敛。且收敛为。且收敛为解析函数解析函数4.2.3收敛半径例题收敛半径例题幂级数在收敛圆内部一定收敛为解析函数吗？幂级数在收敛圆内部一定收敛为解析函数吗？级数 收敛收敛 半径级数 定义解析函数4.2幂级数（特殊的复数项级数）4.2.4幂级数与解析函数幂级数与解析函数在收敛圆内一定收敛为在收敛圆内一定收敛为解析函数。解析函数。证明：证明：作作 为稍稍小于收敛圆的圆周，则级数为稍稍小于收敛圆的圆周，则级数 在在 上可逐项积分。上可逐项积分。为了应用柯西积分公式，将为了应用柯西积分公式，将写为：写为：在收敛圆内取一点在收敛圆内取一点，构
12、造有界函数：，构造有界函数：遍乘上式得：遍乘上式得：上面的级数在上面的级数在 上一致收敛，可沿上一致收敛，可沿 逐项积分：逐项积分：上式中上式中 在开平面上解析，可对上式右边各项应用在开平面上解析，可对上式右边各项应用柯西积分公式有：柯西积分公式有：即即 可表示为连续函数的回路积分，而这个连续函数的回路积分可表示为连续函数的回路积分，而这个连续函数的回路积分，即可在积分号下求导任意多次，所以幂级数，即可在积分号下求导任意多次，所以幂级数 是解析函数，即在是解析函数，即在收敛圆内是解析函数。收敛圆内是解析函数。级数 收敛收敛 半径级数 定义解析函数4.2幂级数（特殊的复数项级数）1.幂级数的和在
13、收敛圆内不会出现奇点。幂级数的和在收敛圆内不会出现奇点。2.2.幂级数的和在收敛圆内部可以逐项求导多次。幂级数的和在收敛圆内部可以逐项求导多次。3.3.幂级数的和在收敛圆内部可以逐项积分多次。幂级数的和在收敛圆内部可以逐项积分多次。4.4.逐项积分或求导不改变幂级数的收敛半径。逐项积分或求导不改变幂级数的收敛半径。4.2.4幂级数与解析函数幂级数与解析函数在在收敛圆内收敛圆内一定收敛为一定收敛为解析函数。解析函数。解析函数解析函数在解析区域一定可以展开为幂级数：在解析区域一定可以展开为幂级数：吗？吗？感谢欣赏主讲人：肖世发部门：物理学院时间：2024年6月27日4.3解析函数的幂级数展开4.3
14、.1泰勒级数展开4.3.2洛朗级数展开4.3解析函数的幂级数展开1、泰勒级数展开定理2、定理证明3、展开实例4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）展开定理证明级数展开实例级数展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）4.3.1 4.3.1 泰勒级数的展开泰勒级数的展开 其中：其中：展开定理展开定理：在以在以 为圆心的圆为圆心的圆 设设 内解析，则在内解析，则在 内任一点有：内任一点有：跳1 1、泰勒级数定理、泰勒级数定理展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）证明：证明：是为了避免讨论是为了避免讨论上的收敛性做的，对圆周上的收敛性做的，对圆周
15、应用柯西积分公式有：应用柯西积分公式有：为比为比稍小一点的同心圆，稍小一点的同心圆，比较所要证明的式子：比较所要证明的式子：2 2、泰勒级数定理证明、泰勒级数定理证明展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）现在来证明现在来证明 成立。成立。成立，则定理成立。成立，则定理成立。构造法：构造法：比较（比较（）和（）和（）式可发现，只要：）式可发现，只要：2 2、泰勒级数定理证明、泰勒级数定理证明展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）因为因为，可将上式中：，可将上式中：展开为：展开为：将上式带入（将上式带入（）式得：）
16、式得：2 2、泰勒级数定理证明、泰勒级数定理证明展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）定理得证。定理得证。另外：函数展开为泰勒级数是唯一的。另外：函数展开为泰勒级数是唯一的。2 2、泰勒级数定理证明、泰勒级数定理证明展开定理证明级数展开实例级数展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）其中：其中：展开定理展开定理：在以在以 为圆心的圆为圆心的圆 设设 内解析，则在内解析，则在 内任一点有：内任一点有：4.3.1 4.3.1 泰勒级数的展开泰勒级数的展开 函数展开为泰勒级数主要的工作是计算级数系数：函数展开为泰勒级数主要的工作是计算级数系数：另外
17、：函数展开为泰勒级数是唯一的。另外：函数展开为泰勒级数是唯一的。展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例例例1：在：在 的邻域上把的邻域上把 展开。展开。解：解：展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例所以有：所以有：4）计算收敛半径：）计算收敛半径：即取任何有限值级数即取任何有限值级数 都是收敛的。都是收敛的。5）确定级数展开恒等式：）确定级数展开恒等式：跳展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例例例2在在 的邻域
18、上将的邻域上将 展开。展开。解：解：展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例所以：所以：所以有：所以有：展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例4）计算收敛半径）计算收敛半径5）确定级数展开恒等式：）确定级数展开恒等式：展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例例例3在在 的邻域上将的邻域上将 展开。展开。解：解：展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例所以：
19、所以：所以有：所以有：展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例4）计算收敛半径）计算收敛半径5）确定级数展开恒等式：）确定级数展开恒等式：展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例跳展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例展开（展开（m不是整数）不是整数）例例4在在 的邻域上把的邻域上把 解：解：展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例 展开定理证明级数展开实
20、例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例所以得：所以得：4）计算收敛半径）计算收敛半径 展开定理证明级数展开实例级数 展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）3、泰勒级数展开实例5）确定级数展开恒等式：）确定级数展开恒等式：展开定理证明级数展开实例级数展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）BABCD提交4.3.1泰勒级数展开4.3.2洛朗级数展开4.3解析函数的幂级数展开1、双边级数2、洛朗级数定理3、洛朗级数证明4、洛朗级数实例4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）展开定理证明级数展开实例级数展开定理4.3解析函数的幂级数展开（
21、泰勒级数展开）1.双边级数定义双边级数定义含有正，负幂项的幂级数称为含有正，负幂项的幂级数称为双边级数双边级数。-（1）设它的正幂部分有收敛半径为设它的正幂部分有收敛半径为 同时，引进同时，引进 可将负幂部分写为可将负幂部分写为-（2）1 1、双边级数、双边级数4.3.2 4.3.2 洛朗级数的展开洛朗级数的展开 展开定理证明级数展开实例级数展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）设（设（2）式级数有收敛半径为）式级数有收敛半径为 的收敛圆，即在圆的收敛圆，即在圆 的内部收敛，即的内部收敛，即 的外部收敛。的外部收敛。如果如果，含有正负幂项的级数：，含有正负幂项的级数：在在 的环内收
22、敛，且绝对一致收敛。的环内收敛，且绝对一致收敛。如果如果，级数：，级数：处处发散。处处发散。1 1、双边级数、双边级数展开定理证明级数展开实例级数展开定理4.3解析函数的幂级数展开（泰勒级数展开）1.双边级数定义双边级数定义含有正，负幂项的幂级数称为含有正，负幂项的幂级数称为双边级数双边级数。-（1）1 1、双边级数、双边级数洛朗级数级数证明双边级数级数展开2 洛朗级数展开定理4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）洛朗级数定理：洛朗级数定理：跳洛朗级数级数证明双边级数级数展开3、洛朗级数证明4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）证明：为避免涉及边界上的函数的解析性及级数的收敛性问题，作
23、如图的区域：证明：为避免涉及边界上的函数的解析性及级数的收敛性问题，作如图的区域：在在 的区域上应用的区域上应用 柯西积分公式：柯西积分公式：（3）和前面泰勒级数展开的证明类似，在和前面泰勒级数展开的证明类似，在 展开展开 为：为：在在 上展开为：上展开为：洛朗级数级数证明双边级数级数展开3、洛朗级数证明4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）将上面两种情况带入（将上面两种情况带入（3）式：）式：(3)得：得：洛朗级数级数证明双边级数级数展开3、洛朗级数证明4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）将上式中第二部分求和令将上式中第二部分求和令 得：得：将将 变为变为 的积分为：的积分为：洛朗
24、级数级数证明双边级数级数展开3、洛朗级数证明4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）所以有：所以有：其中：其中：为环内任一闭合曲线。为环内任一闭合曲线。证明完成。证明完成。洛朗级数级数证明双边级数级数展开3、洛朗级数证明4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）1.因为因为的负幂项的存在，而负幂项在的负幂项的存在，而负幂项在奇异，但奇异，但可能不是可能不是的奇点，所以级数奇点可能不是的奇点，所以级数奇点可能不是的奇点。的奇点。关于洛朗级数：关于洛朗级数：2.系数系数与泰勒级数的与泰勒级数的相似，但有区别。相似，但有区别。3.当只有环心当只有环心 为为 奇点时，称其为孤立奇点。奇点时，称其为孤
25、立奇点。洛朗级数级数证明双边级数级数展开4、洛朗级数展开例题4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）例例1在在 的邻域上把的邻域上把 展开。展开。解：解：洛朗级数级数证明双边级数级数展开4、洛朗级数展开例题4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）洛朗级数级数证明双边级数级数展开4、洛朗级数展开例题4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）例例2在在 的邻域上将函数的邻域上将函数 展开为洛朗展开为洛朗级数。级数。先把先把 分解为分项公式：分解为分项公式：解：解：洛朗级数级数证明双边级数级数展开4、洛朗级数展开例题4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）第一项：第一项：第二项：第二项：在在的
26、邻域是解析的，可展开为的邻域是解析的，可展开为泰勒级数：泰勒级数：所以：所以：跳跳洛朗级数级数证明双边级数级数展开4、洛朗级数展开例题4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）例例3在在 的邻域上把的邻域上把 展开。展开。因为：因为：洛朗级数级数证明双边级数级数展开4、洛朗级数展开例题4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）是是 的奇点，凑出洛朗级数的结果可得：的奇点，凑出洛朗级数的结果可得：洛朗级数级数证明双边级数级数展开4、洛朗级数展开例题4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开），应将：，应将：要得到正幂项要得到正幂项 的全部乘以的全部乘以 式中式中 的项，的项，上式中是逐项相乘的，相
27、乘中有上式中是逐项相乘的，相乘中有 的正幂项，的正幂项，也有也有 的负幂项，的负幂项，洛朗级数级数证明双边级数级数展开4、洛朗级数展开例题4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）相应相应 的系数为：的系数为：要得到负幂项要得到负幂项，应取：，应取：的全部乘以：的全部乘以：的的 的项，的项，洛朗级数级数证明双边级数级数展开4、洛朗级数展开例题4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）相应相应 项的系数为：项的系数为：所以：所以：洛朗级数级数证明双边级数级数展开4、洛朗级数展开例题4.3解析函数的幂级数展开（洛朗级数展开）将上式第二项中将上式第二项中 改为改为，则：，则：改作改作 上式中的系数正
28、是数学物理中常用到的上式中的系数正是数学物理中常用到的 阶的贝塞尔函数阶的贝塞尔函数，即：，即：，这在，这在Bessel函数的生成函数中将提到。函数的生成函数中将提到。孤立奇点(孤立奇点的定义与分类)4.44.4.1函数奇点定义4.4.2级数奇点定义4.4.3函数奇点分类4.4奇点（函数奇点定义及其分类）级数奇点奇点分类函数奇点4.4奇点（函数奇点定义及其分类）4.4.1 函数奇点定义函数奇点定义级数奇点奇点分类函数奇点4.4奇点（函数奇点定义及其分类）4.4.2 双边级数奇点定义双边级数奇点定义级数奇点奇点分类函数奇点4.4奇点（函数奇点定义及其分类）4.4.3 函数奇点分类函数奇点分类主要部分主要部分：洛朗级数洛朗级数 负幂部分（无限部分）。负幂部分（无限部分）。解析部分解析部分：洛朗级数：洛朗级数 正幂部分。正幂部分。留留 数数：洛朗级数洛朗级数 （-1）次幂的系数。）次幂的系数。级数奇点奇点分类函数奇点4.4奇点（函数奇点定义及其分类）分类分类特点特点可去奇点可去奇点极点极点本性奇点本性奇点级数奇点奇点分类函数奇点4.4奇点（函数奇点定义及其分类）BABCD感谢欣赏主讲人：肖世发部门：物理学院时间：2024年6月27日
