1、3 LU分解法Gauss消去法的变形知识预备：1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积 2矩阵的乘法 3上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积 4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆一、Gauss消去法的矩阵解释Gauss消去法实质上是将矩阵A分解为两个三角矩阵相乘。我们知道，矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。第一轮消元：相当于对A（1）左乘矩阵L1，即其中第二轮消元：对应于一般地 （1）其中 整个消元过程为（2）从而其中L是单位下三角矩阵，即（3）【注】消元过程等价于A分解成LU的过程回代过程是解上三角方程组的过程。二、矩阵的三角分解1、若将A分解成LU，即A=LU，其中L为单位下三
2、角矩阵,U为非奇异上三角矩阵,则称之为对A的Doolittle分解。当A的顺序主子式都不为零时，消元运算可进行，从而A存在唯一的Doolittle分解。证明：若有两种分解，A=L1U1，A=L2U2，则必有L1=L2，U1=U2。因为L1U1=L2U2，而且L1，L2都是单位下三角矩阵，U1,U2都是可逆上三角矩阵,所以有因此 即L1=L2，U1=U2、2、若L是非奇异下三角矩阵，U是单位上三角矩阵时，A存在唯一的三角分解，A=LU，称其为A的Crout分解（对应于用列变换实施消元）三、直接分解（LU分解）算法LU分解算法公式按矩阵乘法第一步：利用A中第一行、第一列元素确定U的第一行、L的第一
3、列元素。由 得 u1j=a1j ) li1=ai1/u11)第r步:利用A中第r行、第r列剩下的元素确定U的第r行、L的第r列元素（r=2，3，n）.由得U的第r行元素为由得(4)直接分解的紧凑格式： u11 u12 u13 u1n 1 l21 u22 u23 u2n 2 l31 l32 ln1 ln2 unn n方程组的三角分解算法（LU分解）对于方程组Ax=b，设A=LU (Doolittle分解)。由于 1、求解Ly=b： （5）2、求解Ux=y：（6）LU分解算法步1，输入A，b；步2，对j=1,2,n 求 对i=2,3,n 求步3,对r=2,3,n 做（3.1）-(3.2):（3.1
4、）（3.2）步4，步5，步6，输出结束。例子与程序：【例】用LU分解求解方程组解：对系数矩阵A进行LU分解因此先解。再解程序：LU_factorization%Not Select Column LU_factorizationclear alln=3;a=2 2 3;4 7 7;-2 4 5;b=3;1;-7;%n=3;a=1 4 7;2 5 8;3 6 11;b=1;1;1;%LU_factorazationfor i=2:n a(i,1)=a(i,1)/a(1,1);endafor r=2:n for j=r:n s=0.; for k=1:r-1 s=s+a(r,k)*a(k,j);
5、end a(r,j)=a(r,j)-s; end for i=r+1:n s=0.; for k=1:r-1 s=s+a(i,k)*a(k,r); end a(i,r)=(a(i,r)-s)/a(r,r); end a end%Extract Lower/Upper Triangular Partl=tril(a);for i=1:n l(i,i)=1;endu=triu(a);lu%Linear Lower Triangular Equation Solution y=lb%Linear Upper Triangular Equation Solutionx=uy 四、列主元LU分解 当用L
6、U分解法解方程组时，从第r(r=1,2,n)步分解计算公式可知 当很小时，可能引起舍入误差的累积、扩大。因此，可采用与列主元消去法类似方法，将直接三角分解法修改为列主元三角分解法（与列主元消去法在理论上是等价的），它通过交换A的行实现三角分解PA=LU，其中P为置换阵。设第r-1步分解计算己完成，则有第r步计算时为了避免用绝对值很小的数作除数，引进中间量：则有：（1） 选主元：确定（2） 交换两行：交换A的第r行与第行元素（相当于先交换原始矩阵A第r行与第行元素后，再进行分解计算得到的结果，且）（3） 进行分解计算附：列主元LU分解a=2 2 3;4 7 7;-2 4 5;b=3;1;-7;l,u=lu(a)y=lbx=uy%x=inv(u)*inv(v)*b l,u,p=lu(a)y=l(p*b)x=uy 8
