1、常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函数及其导数方程叫做含未知函数及其导数方程叫做微分方程微分方程.方程中所含方程中所含未知函数导数最高阶数未知函数导数最高阶数叫做微分方程叫做微分方程(本章内容本章内容)(n 阶显式微分方程)微分方程基本概念微分方程基本概念普通地普通地,n 阶常微分方程形式是阶常微分方程形式是阶阶.分类分类或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页引例2 使方程成为恒等式函数.通解通解 解中所含独立任意常数个数与方程 确定通解中任意常数条件.n 阶方程初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):阶数相同.特解特解引例引例1通解:特解:微分方程解解 不含任意常数解,
2、定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页定定定定义义义义3 32.2.微分方程解（几何意义）：微分方程解（几何意义）：微分方程解（几何意义）：微分方程解（几何意义）：第3页转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 第七章 第4页分离变量方程解法分离变量方程解法:设 y(x)是方程解,两边积分,得 则有恒等式 当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定隐函数 y(x)是解.则有称为方程隐式通解隐式通解,或通积分通积分.一样,当F(x)=f(x)
3、0 时,上述过程可逆,由确定隐函数 x(y)也是解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页形如方程叫做齐次方程齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程通解通解.解法解法:分离变量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 齐次方程 第6页内容小结内容小结1.微分方程概念微分方程概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程求解方法可分离变量方程求解方法:说明说明:通解不一定是方程全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.比如,方程分离变量后积分;依据定解条件定常数.解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.齐次方程求解方法齐次方
4、程求解方法:令第7页(1)找出事物共性及可贯通于全过程规律列方程.惯用方法惯用方法:1)依据几何关系列方程(如:P263,5(2)2)依据物理规律列方程(如:例4,例 5)3)依据微量分析平衡关系列方程(如:例6)(2)利用反应事物个性特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并依据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题方法和步骤解微分方程应用题方法和步骤机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x)0,若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程;机动 目录 上页 下
5、页 返回 结束 第9页对应齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程通解即即作变换两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 该定理易让我们想起该定理易让我们想起该定理易让我们想起该定理易让我们想起线性代数线性代数线性代数线性代数中中中中一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程组解结构定理。组解结构定理。组解结构定理。组解结构定理。第10页二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方方程程 伯努利方程伯努利方程标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程伯努利方程通
6、解.解法解法:(线性方程线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 第11页内容小结内容小结1.一阶线性方程方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.方法2 用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页思索与练习思索与练习判别以下方程类型:提醒提醒:可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、一、型微分方程型微分方程 二、二、型微分方程型微分方程 三、三、型微分方程型微分方程 第七章 解法：降阶第14页一、一、令所以即同理可得依次经过 n
7、 次积分,可得含 n 个任意常数通解.型微分方程型微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 既不含未知函数既不含未知函数既不含未知函数既不含未知函数y,y,也也也也不含未知函数导数不含未知函数导数不含未知函数导数不含未知函数导数 解法解法解法解法:连续积分连续积分连续积分连续积分n次次，便得通解。，便得通解。，便得通解。，便得通解。第15页型微分方程型微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程通解二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 即含自变量即含自变量即含自变量即含自变量x x,不含未知函数不含未知函数不含未知函数不含未知函数y y第16页三、三、型微分方程型
8、微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即即即含有含有含有含有未知函数未知函数未知函数未知函数y y,不含不含不含不含自自自自变量变量变量变量x x第17页内容小结内容小结可降阶微分方程解法可降阶微分方程解法 降阶法降阶法逐次积分令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页思索与练习思索与练习1.方程怎样代换求解?答答:令或普通说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.比如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答答:(1)普通情况,边解边定常数计算简便.(2)碰到开平方时,要依据题意确定正负号.例例6例例7机动 目录
9、上页 下页 返回 结束 第19页n 阶线性微分方程阶线性微分方程普通形式为方程共性共性 为二阶线性微分方程.例例1例例2 可归结为同一形式同一形式:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Y机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页证毕二、线性齐次方程解结构二、线性齐次方程解结构是二阶线性齐次方程两个解,也是该方程解.证证:代入方程左边,得(叠加原理叠加原理)定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 是不是所给二阶方程通解？是不是所给二阶方程通解？问题：问题：第21页说明说明:不一定是所给二阶方程通解.比如比
10、如,是某二阶齐次方程解,也是齐次方程解 并不是通解！并不是通解！不过不过则为处理通解判别问题为处理通解判别问题,下面引入函数下面引入函数线性相关线性相关与与 线性无关线性无关概念概念.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页定义定义:是定义在区间 I 上 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,不然称为线性无关线性无关.比如比如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则依据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23
11、页两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关充要条件充要条件:线性相关存在不全为 0 使(无妨设线性无关常数思索思索:中有一个恒为 0,则必线性相关相关(证实略)线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页定理定理 2.是二阶线性齐次方程两个线性无关特解,则数)是该方程通解.比如比如,方程有特解且常数,故方程通解为(自证)推论推论.是 n 阶齐次方程 n 个线性无关解,则方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页三、线性非齐次方程解结构三、线性非齐次方程解结构 是二阶非齐次方程一个特解特解,Y(x)是对应齐次齐次方程通解通解,定理定理 3.则是非齐次方程通解非齐次方程通解.证
12、证:将代入方程左端,得复习 目录 上页 下页 返回 结束 第26页是非齐次方程解,又Y 中含有两个独立任意常数,比如比如,方程有特解对应齐次方程有通解所以该方程通解为证毕因而 也是通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页定理定理 4.分别是方程特解,是方程特解.(非齐次方程之解叠加原理非齐次方程之解叠加原理)定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页定理定理 5.是对应齐次方程 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程特解,则非齐次方程通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页
13、 返回 结束 第29页*四、常数变易法四、常数变易法复习:常数变易法:对应齐次方程通解:设非齐次方程解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形情形1.已知对应齐次方程通解:设解为 因为有两个待定函数,所以要建立两个方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页令于是将以上结果代入方程:得故,系数行列式是对应齐次方程解P10 目录 上页 下页 返回 结束 第31页积分得:代入 即得非齐次方程通解:于是得 说明说明:将解设为 只有一个必须满足条件即方程,所以必需再附加一 个条件,方程引入是为了简化计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页情形情形2.仅知齐次方程一个非零特解 代入 化
14、简得设其通解为 积分得(一阶线性方程)由此得原方程通解:代入 目录 上页 下页 返回 结束 第33页常系数常系数 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七节第七节齐次线性微分方程齐次线性微分方程 基本思绪基本思绪:求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化 第七章第七章 第34页二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:和它导数只差常数因子和它导数只差常数因子,代入代入得得称称为微分方程为微分方程特征方程特征方程,1.当当时时,有有两个相异实根两个相异实根方程有两个线性无关特解方程有两个线性
15、无关特解:所以方程所以方程通解通解为为(r 为待定常数为待定常数),所以令所以令解为解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第35页2.当当时时,特征方程有特征方程有两个相等实根两个相等实根则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解设另一特解设另一特解(u(x)待定待定)代入方程得代入方程得:是特征方程重根是特征方程重根取取 u=x,则得则得所以原方程所以原方程通解通解为为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页3.当当时时,特征方程有特征方程有一对共轭复根一对共轭复根 利用解利用解叠加原理叠加原理,得原方程得原方程线性无关
16、特解线性无关特解:所以原方程所以原方程通解通解为为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解（欧拉公式欧拉公式 )第37页小结小结:特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第38页若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r,则其通解中必则其通解中必含对应项含对应项则其通解中必则其通解中必含含对应项对应项特征方程特征方程:推广推广:n n阶
17、常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第39页内容小结内容小结特征根特征根:(1)当当时时,通解为通解为(2)当当时时,通解为通解为(3)当当时时,通解为通解为可推广可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解到高阶常系数线性齐次方程求通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第41页思索与练习思索与练习 求方程求方程通解通解.答案答案:通解为通解为通解为通解为通解为通解为作业作业 P310 1(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3第九节 目录 上页 下页 返回 结束 第42页常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页
18、返回 结束 第八节一、一、二、二、第七章 第43页二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程:依据解结构定理依据解结构定理,其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解方法求特解方法待定形式待定形式,代入原方程比较两端表示式以确定代入原方程比较两端表示式以确定待定系数待定系数.待定系数法待定系数法:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 依据依据 f(x)两种两种两种两种特殊形式特殊形式,第44页一、一、为实数为实数,设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式,代入原方程代入原方程,得得(1)若若 不是特征方程根不是特征方
19、程根,则取则取从而得到特解从而得到特解形式为形式为为为 m 次多项式次多项式.Q(x)为为 m 次待定系数多项次待定系数多项式式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第45页(2)若若 是特征方程是特征方程单根单根,为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为(3)若若 是特征方程是特征方程重根重根,是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为小结小结 对方程对方程,此结论此结论可推广可推广到高阶常系数线性微分方程到高阶常系数线性微分方程.即即即即当当 是特征方程是特征方程 k 重根重根 时时,可设可设特解特解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回
20、 结束结束 第46页简例简例简例简例第47页二、二、第二步第二步 求出以下两个方程特解求出以下两个方程特解分析思绪分析思绪:第一步第一步 将将 f(x)转化为转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程特解利用叠加原理求出原方程特解第四步第四步 分析原方程特解特点分析原方程特解特点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第48页第一步第一步利用欧拉公式将利用欧拉公式将 f(x)变形变形机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第49页 第二步第二步 求以下两方程特解求以下两方程特解 是特征方程是特征方程 k 重根重根(k =0,1),故故等式两边取共轭等式两
21、边取共轭:为方程为方程 特解特解.设设则则 有有特解特解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第50页第三步第三步 求原方程特解求原方程特解 利用第二步结果利用第二步结果,依据依据叠加原理叠加原理,原方程有原方程有特解特解:原方程原方程 均为均为 m 次多项式次多项式.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第51页第四步第四步 分析分析因因均为均为 m 次实次实多项式多项式.本质上为本质上为实函数实函数,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第52页小小 结结:对非齐次方程对非齐次方程则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程
22、为特征方程 k 重根重根(k =0,1),上述结论也上述结论也可推广可推广到高阶方程情形到高阶方程情形.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第53页内容小结内容小结 为特征方程为特征方程 k(0,1,2)重根重根,则设特解为则设特解为为特征方程为特征方程 k(0,1)重根重根,则设特解为则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程情形上述结论也可推广到高阶方程情形.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第54页思索与练习思索与练习时可设特解为时可设特解为 时可设特解为时可设特解为 提醒提醒:1.(填空填空)设设机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返
23、回返回 结束结束 第55页2.求微分方程求微分方程通解通解 (其中其中为实数为实数).解解:特征方程特征方程特征根特征根:对应对应齐齐次方程次方程通通解解:时时,代入原方程得代入原方程得故原方程通解为故原方程通解为时时,代入原方程得代入原方程得故原方程通解为故原方程通解为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第56页3.已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有有特解特解求微分方程求微分方程通解通解.解解:将将特解特解代入方程得恒等式代入方程得恒等式比较系数得比较系数得故原方程为故原方程为对应对应齐齐次方程次方程通通解解:原方程通解为原方程通解为机动机动 目录目录 上页上页
24、下页下页 返回返回 结束结束 第57页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节欧拉方程 欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程 第十二章 第58页欧拉方程算子解法欧拉方程算子解法:则计算繁计算繁!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第59页则由上述计算可知:用归纳法可证 于是欧拉方程欧拉方程 转化为常系数线性方程转化为常系数线性方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第60页思索思索:怎样解下述微分方程提醒提醒:原方程直接令 作业作业 P319 2;6;8 第11节 目录 上页 下页 返回 结束 第61页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一节微分方程幂级数解法 一、一、一阶微分方程问题
25、一阶微分方程问题 二、二、二阶齐次线性微分方程问题二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法:积分法 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 本节介绍 数值解法 计算数学内容本节内容本节内容:第十二章 第62页一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 幂级数解法:将其代入原方程,比较同次幂系数可定常数 由此确定级数即为定解问题在收敛区间内解.设所求解为本质上是待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第63页常系数线性微分方程组 机动 目录 上页 下页 返回 结束*第十二节解法举例解方程组解方程组 高阶方程求解高阶方程求解 消元消元代入法 算子法 第十一章 第64页常系数线性微分方程组解法步骤解法步骤
26、:第一步 用消元法消去其它未知函数,得到只含一个 函数高阶方程;第二步 求出此高阶方程未知函数 ;第三步 把求出函数代入原方程组,注意注意:一阶线性方程组通解中,任意常数个数=未知函数个数普通经过求导求导得其它未知函数.假如经过积分求其它未知函数,则需要讨论任意常数关系.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第65页例例1.解微分方程组 解解:由得代入,化简得特征方程:通解:将代入,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第66页原方程通解:注意:1)不能由式求 y,因为那将引入新任意常数,(它们受式制约).3)若求方程组满足初始条件特解,只需代入通解确定即可.2)由通解表示式可见,其中任意常数间
27、有确定关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第67页全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、全微分方程一、全微分方程二、积分因子法二、积分因子法 第十二章第十二章 第68页判别判别:P,Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:方法方法1 凑微分法凑微分法;方法方法2 利用积分与路径无关条件利用积分与路径无关条件.1.求原函数求原函数 u(x,y)2.由由 d u=0 知通解为知通解为 u(x,y)=C.一、全微分方程一、全微分方程则称则称为为全微分方程全微分方程(又叫做又叫做恰当方程恰当方程).机
28、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第69页二、积分因子法二、积分因子法思索思索:怎样解方程怎样解方程这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程,就化成例就化成例2 方程方程.使使为全微分方程为全微分方程,在简单情况下在简单情况下,可凭观察和经验依据微分倒推式得可凭观察和经验依据微分倒推式得到到为原方程为原方程积分因子积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.例例2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第70页惯用微分倒推公式惯用微分倒推公式:积分因子积分因子不一定唯一不一定唯一.比如比如,对对可取可取机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第71页
