1、Chapter 1(1)函数及其图形函数及其图形第1页 同时创同时创造了微积分，微积分研究主要对象造了微积分，微积分研究主要对象就是函数。就是函数。微积分微积分(Calculus)是一门以变是一门以变量为研究对象、以量为研究对象、以极限极限方法作为研方法作为研究工具数学学科，应用极限方法研究工具数学学科，应用极限方法研究各类改变率问题和几何学中曲线究各类改变率问题和几何学中曲线切线问题，就产生了切线问题，就产生了微分学微分学；应用；应用极限方法研究诸如曲边梯形面积等极限方法研究诸如曲边梯形面积等包括到微小量无穷积累问题，就产包括到微小量无穷积累问题，就产生了生了积分学积分学。英国数学家。英国数
2、学家牛顿牛顿和德国数学家和德国数学家莱布尼兹莱布尼兹第2页教学要求：教学要求：1.了解函数概念，掌握函数表示法了解函数概念，掌握函数表示法;2.了解函数有界性、单调性、奇偶性和周期性了解函数有界性、单调性、奇偶性和周期性;3.了解复合函数概念，了解反函数概念了解复合函数概念，了解反函数概念;4.掌握基本初等函数性质及其图形掌握基本初等函数性质及其图形;5.会建立简单应用问题中函数关系式会建立简单应用问题中函数关系式.重点：重点：掌握函数定义，搞清楚函数关系与数学解析式掌握函数定义，搞清楚函数关系与数学解析式 关系，分段函数是否是初等函数关系，分段函数是否是初等函数.第3页第4页1.定义定义设设
3、x与与y是两个变量，分别在实数集合是两个变量，分别在实数集合A与与B中取值中取值.对每一个值对每一个值x A，按照某一法则，按照某一法则，y存在着唯一确定存在着唯一确定值值y B与之对应，记为与之对应，记为f(x)(xf(x),则称则称y是是x函函数，或称这种对应关系数，或称这种对应关系 f 为函数，记作为函数，记作因变量因变量自变量自变量 数集数集A叫做这个函数叫做这个函数定义域定义域注意注意(1)定义域和对应法则是函数两要素定义域和对应法则是函数两要素.要判断两函数是要判断两函数是 否为同一函数也得从两要素入手否为同一函数也得从两要素入手.第5页(3)单值函数与多值函数单值函数与多值函数
4、假如自变量在定义域内任取一个数值时，对应函数假如自变量在定义域内任取一个数值时，对应函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数；不然叫做值总是只有一个，这种函数叫做单值函数；不然叫做多值函数多值函数(4)只有一个自变量函数，称为一元函数只有一个自变量函数，称为一元函数.2.定义域定义域(1)由实际问题决定由实际问题决定.第6页(2)自然定义域自然定义域.当函数由公式（表示式）给出时，使公当函数由公式（表示式）给出时，使公 式有意义自变量取值范围式有意义自变量取值范围.如：如：分式分母不为分式分母不为0；(3)定义域表示法：定义域表示法：不等式法，集正当，区间法，叙述法与图示法不等式法，集正当，区
5、间法，叙述法与图示法.第7页区间区间:是指介于某两个实数之间全体实数是指介于某两个实数之间全体实数.这这两个实数叫做区间端点两个实数叫做区间端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,第8页称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度定义区间长度定义:两端点间距离两端点间距离(线段长度线段长度)称为区间长度称为区间长度.第9页邻域邻域:第10页ex1.求函数定义域求函数定义域Solution.所以函数定义域为所以函数定义域为(1,2.Solution.第11页ex3.函数函数 f 与与 g 是否是同一函数？是否是同一函数？3.函数图形函数图
6、形第12页4.分段函数分段函数对于自变量不一样值（或在不一样区间上），函数表对于自变量不一样值（或在不一样区间上），函数表达式不一样，这种函数称为分段函数达式不一样，这种函数称为分段函数.(1)绝对值函数绝对值函数(2)符号函数符号函数11xyo第13页(3)取整函数取整函数 y=xx表示不超出表示不超出x最大整数最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo(4)(Dirichlet)狄利克雷函数狄利克雷函数有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo第14页(5)取最值函数取最值函数yxoyxo(6)整标函数整标函数以自然数为自变量函数以自然数为自变量函
7、数:图形为一些离散点组成图形为一些离散点组成.第15页1.函数单调性函数单调性则称则称 f(x)在在I上严格单调上升或严格单调增（严格单调上严格单调上升或严格单调增（严格单调降下或严格单调减）降下或严格单调减）.则称则称 f(x)在在I上单调上升或单调增上单调上升或单调增(单调降下或单调减单调降下或单调减).第16页以上函数统称为单调函数，以上函数统称为单调函数，I称为单调区间称为单调区间.由有限个单调函数组成函数，称为分段单调函数由有限个单调函数组成函数，称为分段单调函数.如如 2.函数有界性函数有界性通常函数有界性与区间相关，通常函数有界性与区间相关，第17页3.函数奇偶性函数奇偶性偶函数
8、图形关于偶函数图形关于y轴对称轴对称yxox-x奇函数图形关于原点对称奇函数图形关于原点对称yxox-x第18页注意：注意：(1)若若f(x)定义域关于原点不对称，则定义域关于原点不对称，则f(x)一定不是奇一定不是奇 函数或偶函数函数或偶函数.即即f(x)可表示为一个偶函数与一个奇函数之和可表示为一个偶函数与一个奇函数之和.(3)奇偶函数性质奇偶函数性质 偶函数和与差仍是偶函数，偶函数和与差仍是偶函数，奇函数和与差仍是奇函数；奇函数和与差仍是奇函数；第19页两个奇（或偶）函数商是偶函数；两个奇（或偶）函数商是偶函数；奇函数与偶函数积（或商）是奇函数；奇函数与偶函数积（或商）是奇函数；有限个偶
9、函数积仍是偶函数；有限个偶函数积仍是偶函数；偶数个奇函数积是偶函数偶数个奇函数积是偶函数.4.函数周期性函数周期性任一周期函数都有没有穷多个周期任一周期函数都有没有穷多个周期.若在无穷多个周期若在无穷多个周期中，存在一个最小正数，则这个正数称为最小周中，存在一个最小正数，则这个正数称为最小周期，简称周期期，简称周期.第20页1.四则运算四则运算 2.复合函数复合函数 定义：定义：注意：注意：(2)复合函数能够由两个以上函数经过复合组成复合函数能够由两个以上函数经过复合组成.即不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数即不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数.第21页复合函数求法：复合函数求法：
10、(1)对于非分段函数惯用直接代入方法；对于非分段函数惯用直接代入方法；(2)对于分段函数惯用讨论方法对于分段函数惯用讨论方法.3.反函数反函数 定义：定义：这么对应关系所决定这么对应关系所决定Y到到X函数，称为函数，称为y=f(x)反函数，记为反函数，记为注意：注意：(1)反函数定义域和值域恰好是原来函数反函数定义域和值域恰好是原来函数 值域和定义域值域和定义域.第22页DWDW(2)直接函数与反函数直接函数与反函数 图形关于图形关于y=x对称对称.第23页反函数求法：反函数求法：(1)普通先从方程普通先从方程y=f(x)中解出中解出x,然后再将所得结果中然后再将所得结果中 x与与y交换位置即
11、可交换位置即可;(2)对分段函数对分段函数,只要分段求出反函数便得只要分段求出反函数便得.1.基本初等函数基本初等函数(1)常数函数常数函数(2)幂函数幂函数第24页(3)指数函数指数函数(4)对数函对数函数数(5)三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数(6)反三角函数反三角函数第25页 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.2.初等函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有
12、限次函数复合步骤所组成并可用函数复合步骤所组成并可用一个式子表示一个式子表示函数函数,称为称为初等函数初等函数.并非全部函数都是初等函数并非全部函数都是初等函数,分段函数普通不是初等函数分段函数普通不是初等函数.但也有例外但也有例外!3.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数-都是初等函数都是初等函数.第26页Solution.Solution.由此可求得由此可求得x取值范围，即为定义域取值范围，即为定义域.第27页Solution.易知该函数定义域为：易知该函数定义域为：Solution.第28页Solution.因为因为所以所以第29页Proof.两式联立可求得，两式联立可求得，第30页Proof.由单调性及已知不等式有，由单调性及已知不等式有，第31页Solution.故所求反函数为故所求反函数为第32页Solution.The end 第33页大学数学大学数学一元函数微积分与无穷级数一元函数微积分与无穷级数线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何多元函数微积分与常微分方程多元函数微积分与常微分方程概率论与数理统计概率论与数理统计第34页购置购置练习册练习册与与经典习题解答经典习题解答通知通知时间时间:9月月28日日(星期四星期四)下午下午2:306:00地点地点:二教二教 216(二楼西二楼西)价格价格:40元元/套套第35页
