1、微积分入门精华微积分入门精华第1页abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形面积）（求曲边梯形面积）一、问题提出第2页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越靠近显然，小矩形越多，矩形总面积越靠近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）第3页曲边梯形如图所表示，曲边梯形如图所表示，第4页曲边梯形面积近似值为曲边梯形面积近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为第5页实例实例2 2 （求变速直线运动旅程）（求变速直线运动旅程）思绪思绪：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，
2、每小段上速度看作不变，求出各小段旅程再相加，便得速度看作不变，求出各小段旅程再相加，便得到旅程近似值，最终经过对时间无限细分过程到旅程近似值，最终经过对时间无限细分过程求得旅程准确值求得旅程准确值第6页（1）分割）分割部分旅程值部分旅程值某时刻速度某时刻速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限旅程准确值旅程准确值第7页二、定积分定义定义定义第8页被被积积函函数数被被积积表表示示式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和第9页注意：注意：第10页定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理第11页曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积负曲边梯形面积负值值四、定积分几何意义
3、第12页几何意义：几何意义：第13页例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解第14页第15页五、定积分 性质第16页证证（此性质能够推广到有限多个函数作和情况）（此性质能够推广到有限多个函数作和情况）性质性质1 1第17页证证性质性质2 2第18页补充补充：不论：不论 相对位置怎样相对位置怎样,上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间含有可加性）（定积分对于积分区间含有可加性）则则性质性质3 3第19页证证性质性质4 4性质性质5 5第20页解解令令于是于是能够直接作出答案能够直接作出答案第21页性质性质5 5推论：推论：证证（1）第22页证证说明：说明：可积性是显然可
4、积性是显然.性质性质5 5推论：推论：（2）第23页证证（此性质可用于预计积分值大致范围）（此性质可用于预计积分值大致范围）性质性质6 6曲边梯形面积曲边梯形面积 夹在两个矩形之间夹在两个矩形之间第24页解解例例2 不计算定积分不计算定积分 预计预计 大小大小第25页证证由闭区间上连续函数介值定理知由闭区间上连续函数介值定理知性质性质7 7（Th5.1 Th5.1 定积分第一中值定理）定积分第一中值定理）积分中值公式积分中值公式第26页使使即即积分中值公式几何解释：积分中值公式几何解释：第27页Th5.2(Th5.2(推广积分第一中值定理）推广积分第一中值定理）第28页考查定积分考查定积分记记
5、积分上限函数积分上限函数六、积分上限函数及其导数第29页证证第30页由积分中值定理得由积分中值定理得第31页计算以下导数计算以下导数第32页补充补充证证第33页例例1 1 求求解解分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.第34页定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理主要意义：定理主要意义：（1）必定了连续函数原函数是存在）必定了连续函数原函数是存在.（2）初步揭示了积分学中定积分与原函数之间）初步揭示了积分学中定积分与原函数之间联络联络.第35页定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证七 牛顿莱布尼茨公式第36页令令令令牛顿牛顿莱
6、布尼茨公式莱布尼茨公式第37页微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数问题求定积分问题转化为求原函数问题.第38页例例4 4 求求 原式原式例例5 5 设设 ,求求 .解解解解第39页例例6 6 求求 解解由图形可知由图形可知第40页则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼茨公式第41页定理定理八、换元公式第42页证证第43页第44页应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）第45页例例1 1 计算计算例例2 2 计算计算第46页例例1 1 计算计算解凑微分是第一类换元积分法，特点是不要显著地换元，也就不要更换积分上下限。第47页
7、例例2 2 计算计算解解原式原式第48页例例3 3 计算计算解解第49页三角代换和根式代换第50页例例4 4 计算计算解解令令原式原式显著换元第51页证证第52页第53页奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆面积单位圆面积第54页总结：总结：1、定积分公式、定积分公式2、定积分计算方法（直接代入，凑微分，、定积分计算方法（直接代入，凑微分，根式代换，三角代换）根式代换，三角代换）3、根式和三角代换为显著代换，所以换元、根式和三角代换为显著代换，所以换元要换上下限要换上下限4、介绍了积分上限函数介绍了积分上限函数5、积分上限函数是原函数、积分上限函数是原函数6、计算上限函
8、数导数、计算上限函数导数第55页证证（1）设）设第56页第57页（2）由此计算由此计算设设第58页第59页定积分分部积分公式定积分分部积分公式推导推导九、分部积分公式第60页例例 计算计算解解第61页例例2 2 计算计算解解令令则则第62页例例3 3 计算计算解解例例4 4 计算计算第63页例例5 5 计算计算解解第64页第四节 广义积分一、无穷限广义积分第65页第66页第67页例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解简记为第68页例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解第69页证证第70页第71页第72页第73页第74页第75页第76页回顾回顾 曲边梯形求面积问题曲边梯形求面积问题第五节、定
9、积分应用ab xyo第77页1、几何上应用第78页面积第79页ab xyo面面积积元元素素第80页一、平面图形面积一、平面图形面积1.直角坐标情形直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A,右图所表示图形，面积元素为第81页曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积第82页c有时也会选 y 为积分变量第83页解解（1）作图）作图（2）求出两曲线交点）求出两曲线交点（3）选选 为积分变量为积分变量（4）代公式）代公式第84页解解两曲线交点两曲线交点选选 为积分变量为积分变量第85页解题步骤：解题步骤：(2)求出交点；(3)选择适当积分变量，确定积分区间，计算。(1)画出草图
10、；第86页例例3.求椭圆解解:利用对称性,所围图形面积.有利用椭圆参数方程应用定积分换元法得当 a=b 时得圆面积公式第87页二、立体体积二、立体体积设所给立体垂直于x 轴截面面积为A(x),则对应于小区间体积元素为所以所求立体体积为上连续,1.已知平行截面面积函数立体体积已知平行截面面积函数立体体积第88页例例1.一平面经过半径为R 圆柱体底圆中心,并与底面交成 角,解解:如图所表示取坐标系,则圆方程为垂直于x 轴 截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体体积.第89页思索思索:可否选择 y 作积分变量?此时截面面积函数是什么?怎样用定积分表示体积?提醒提醒:第90页 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成立体这直线叫做一条直线旋转一周而成立体这直线叫做旋旋转轴转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体体积第91页当考虑连续曲线段轴旋转一周围成立体体积时,有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成立体体积时,有2.旋转体体积旋转体体积第92页xyo旋转体体积为旋转体体积为第93页第94页第95页例例1.计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成椭球体体积.解解:利用直角坐标方程则(利用对称性)第96页解解第98页
