1、直线位置关系（5）-直线系问题第1页直线系方程分类直线系方程分类直线系方程定义直线系方程定义直线系方程应用直线系方程应用课堂结构第2页一、直线系方程定义一、直线系方程定义直线系直线系：含有某种共同性质全部直线集含有某种共同性质全部直线集合合.它方程叫直线系方程它方程叫直线系方程。第3页二、直线系方程种类二、直线系方程种类1 1:1 1:与直线与直线L L：Ax+By+C=0Ax+By+C=0平行直线系方程为：平行直线系方程为：Ax+By+m=0 Ax+By+m=0 （其中（其中mCmC，m m为待定系数）为待定系数）；yox第4页直线系方程种类直线系方程种类2 2:2:与直线与直线L L：Ax
2、+By+C=0Ax+By+C=0垂直直线系方程为垂直直线系方程为:Bx-Ay+m=0 Bx-Ay+m=0 （m m为待定系数）为待定系数）.yxo第5页直线系方程种类直线系方程种类3 3:3.过定点过定点P P（x x0 0，y y0 0）直线系方程为：）直线系方程为：A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0)0 0 设直线斜率为设直线斜率为 A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0)0(1)0(1)y-yy-y0 0k(x-xk(x-x0 0)(2)(2)说明说明:(2)比比(1)少一条直少一条直线线即即:(2)应考虑应考虑k不存在情况不存在情况yxo
3、第6页问题：问题：若直线若直线L L1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与直线与直线L L2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交，交点为相交，交点为P P（x x0 0，y y0 0），则），则过两直线交点直线系方程为：过两直线交点直线系方程为：m(Am(A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1)+n(A)+n(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0)=0 其中其中m m、n n为待定系数为待定系数.证实：证实：所以所以m(Am(A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1)+n(A)+n(A2 2x x
4、0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0直线直线m(A A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1)+n(A)+n(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0经过点（经过点（x0，y0）第7页直线系方程种类直线系方程种类4 4:4.若直线若直线L L1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与直线与直线L L2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交，交点为相交，交点为P P（x x0 0，y y0 0），则过两直线交点），则过两直线交点直线系方程为直线系方程为:m(A:m(A1
5、1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1)+n(A)+n(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(1),)=0(1),其中其中m m、n n为待定系数为待定系数.A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+k(A+k(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(2)=0(2)其中其中k k为待定系为待定系数数.方程方程(2)(2)比比(1)(1)少一条直线。少一条直线。yox第8页例例.求证：不论求证：不论m m取何实数时，直线取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，恒过定点，并求出定点坐标。并求
6、出定点坐标。解法解法2：令令m=1，m=-3代入方程，得：代入方程，得：解得：解得：解得：解得：所以直线恒过定点所以直线恒过定点又因为又因为:3.5(m-1)-(m-1)-2.5(m+3)-(m-11)=0(m+3)-(m-11)=0第9页三、直线系方程应用三、直线系方程应用:例例1.求证：不论求证：不论m m取何实数时，直线取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，恒过定点，并求出定点坐标。并求出定点坐标。解法解法1：将方程变为：将方程变为：解得：即：故直线恒过故直线恒过第10页若证实一条直线恒过定点或求一条直线必若证实
7、一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常有两种方法：过定点，通常有两种方法：方法小结：方法小结：法二：从特殊到普通，先由其中两条特法二：从特殊到普通，先由其中两条特殊直线求出交点，再证实其余直线均过此殊直线求出交点，再证实其余直线均过此交点。交点。法一法一:分离系数法，即将原方程改变成：分离系数法，即将原方程改变成：f(x,y)+mg(x,y)=0f(x,y)+mg(x,y)=0形式，此式成立与形式，此式成立与m m取值无关，故从而解出定点。取值无关，故从而解出定点。第11页例例2:求过两直线求过两直线x-2y+4=0 x-2y+4=0和和x+y-2=0 x+y-2=0交点，交点，且满足以下
8、条件直线且满足以下条件直线L L方程。方程。(1)(1)过点过点(2,1)(2,1)(2)(2)和直线和直线3x-4y+5=03x-4y+5=0垂直。垂直。代（代（2，1）入方程，得：）入方程，得：所以直线方程为：所以直线方程为：x+2y-4=0解（解（1）：设经二直线交点直线方程为：）：设经二直线交点直线方程为：第12页例例2:求过两直线求过两直线x-2y+4=0 x-2y+4=0和和x+y-2=0 x+y-2=0交点，交点，且满足以下条件直线且满足以下条件直线L L方程。方程。(1)(1)过点过点(2,1)(2,1)(2)(2)和直线和直线3x-4y+5=03x-4y+5=0垂直。垂直。解
9、得：解得：由已知：由已知：故所求得方程是：故所求得方程是：4x+3y-6=0解（解（2）：将（）：将（1）中所设方程变为：）中所设方程变为：第13页本题采取先用直线系方程表示所本题采取先用直线系方程表示所利用待定系数法来求解利用待定系数法来求解.函数或曲线类型问题中函数或曲线类型问题中,我们都能够我们都能够这种方法称之为待定系数法这种方法称之为待定系数法,在已知在已知待定常数待定常数,从而最终求得问题解从而最终求得问题解.求直线方程求直线方程,然后再列式然后再列式,求出方程求出方程方法小结：方法小结：第14页练练 习习 1 1一一.已知直线分别满足以下条件，求直线方程：已知直线分别满足以下条件
10、，求直线方程：y=x2x+3y-2=04x-3y-6=0 x+2y-11=0第15页5 5若直线方程为若直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0 求证：不论求证：不论m m为何值时，所给直线恒过定点。为何值时，所给直线恒过定点。得:解得:所以不论所以不论m为何值为何值,直线均经过定点直线均经过定点(4,9/2)解解:将方程化为将方程化为:第16页 两条直线方程相乘能够组成一个二元二次方程两条直线方程相乘能够组成一个二元二次方程,如如:L1:x+2y-1=0,L2:x-y=0,相乘后就得相乘后就得:x2+xy-2y2-x+y=0那么那
11、么,反过来反过来,假如已知一个二元二次方程是由假如已知一个二元二次方程是由两条直线方程相乘所得两条直线方程相乘所得,我们也能够先设出这我们也能够先设出这两条直线方程两条直线方程,再利用待定系数法求出它们再利用待定系数法求出它们.请看下面例子请看下面例子:四、一个二次方程表示四、一个二次方程表示 两条直线问题两条直线问题:第17页例例3:问问k k为何值时，方程为何值时，方程3x3x2 2+2xy-y+2xy-y2 2+7x-5y+k=0+7x-5y+k=0表示两条直线？表示两条直线？解（待定系数法）：将方程化作：解（待定系数法）：将方程化作：设：设：则则所以：所以：解得：解得：即：即：k=-6 时方程表示两条直线。时方程表示两条直线。第18页1方程方程x x2 2-y-y2 2=0=0表示图形是：表示图形是：2直线系直线系6x-4y+m=06x-4y+m=0中任一条直线与直线中任一条直线与直线系系2x+3y+n=02x+3y+n=0中任一条直线位置关系是中任一条直线位置关系是_._.练习2 2垂直第19页3.3.方程方程 表示两条直线，表示两条直线，求求m m取值范围。取值范围。方程应有非负根方程应有非负根,故设故设:t=所以所以0m3解解:第20页
