1、临泉县汇英临泉县汇英中学中学 闫东闫东 .12.31 第第15章章 轴对称图形与等腰三角形轴对称图形与等腰三角形 （复习题教材（复习题教材P149-153）第1页沪科版八年级数学第沪科版八年级数学第15章轴对称图形与等腰三角形复习题章轴对称图形与等腰三角形复习题1.已知：点已知：点A(a，b)与点与点B(c,d).（1）假如点）假如点A,B关于关于y轴对称，那么轴对称，那么a,b,c,d应满足什么应满足什么条件？条件？（2）假如点）假如点A,B关于关于x轴对称，那么轴对称，那么a,b,c,d应满足什么应满足什么条件？条件？答：（答：（1）a=-c,b=d.（2）a=c,b=-d.2.直线直线
2、与直线与直线y=2x关于关于y轴对称，写出直线轴对称，写出直线 所表所表示函数表示式示函数表示式.答：答：y=-2x第2页3.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，BAC=90，AC=2AB,点点D是是AC中点中点.EAD为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，AED=90.试猜试猜测线段测线段BE和和EC关系，并证实你猜测关系，并证实你猜测.CBDAE猜测：猜测：BE=EC,BEEC.证实：证实：AC=2AB,点点D是是AC中点，中点，AB=DC,又又EAD为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，AE=DE,EAD=EDA=45，CDE=135BAC=90，BAE=BAC+EAD=135，BAE
3、=CDE,在在ABE和和DCE中中 AB=DC BAE=CDE AE=DEABE DCEBE=EC,AEB=DEC,AED=90,BEC=90,BEEC.第3页4.已知：已知：ABC中，中，AB=AC,AD是是BC边上中线，边上中线，AB垂垂直平分线交直平分线交AD于点于点O,B平分线交平分线交AD于点于点.求证：（求证：（1）OA=OB=OC;（2）点）点到到BC,CA,AB距离相等距离相等.ODCBAEGF证实：（证实：（1）OG是是AB垂直平分线，垂直平分线，OA=OB,又又AB=AC,AD是是BC边上中线，边上中线，AD是是BC边垂直平分线，边垂直平分线，点点O在在AD上，上，OB=O
4、C,OA=OB=OC.（2）AB=AC,AD是是BC边上中线，边上中线，AD是是BAC平分线，又是平分线，又是BC边上高，边上高，OB平分平分ABC,EAB,FAC,E=F=D,即：即：点到点到BC,CA,AB距离相等距离相等.第4页5.已知：如图，已知：如图，AD是是ABC角平分线，角平分线，DEAB,DFAC,点点E,F为垂足为垂足.求证：求证：AD垂直平分垂直平分EF.BCDFEA证实：证实：AD是是BAC角平分线，角平分线，DEAB,DFAC,EAD=FAD,AED=AFD=90，在在AED和和AFD中，中，EAD=FAD,AED=AFD，AD=AD,AED AFD,AE=AF,DE=
5、DF,点点A,D都在都在EF垂直平分线上，垂直平分线上，AD垂直平分垂直平分EF.O第5页6.已知：如图，已知：如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，BD是中线是中线.点点E在在BC延长线上，使延长线上，使CE=CD.求证：求证：DB=DE.ECBDA证实：证实：ABC是等边三角形，是等边三角形，ABC=ACB=60，BD是中线是中线.BD又是又是ABC平分线，平分线，DBC=30，CE=CD,E=CDE,又又ACB=E+CDE=60，E=30，DBC=E,DB=DE.第6页7.求证：有两条高相等三角形是等腰三角形求证：有两条高相等三角形是等腰三角形.已知：如图，已知：如图，ABC中，中，B
6、D,CE分别是分别是AC,AB边上高，边上高，且且BD=CE.求证：求证：ABC是等腰三角形是等腰三角形.DECBA证实：证实：BD,CE分别是分别是AC,AB边上高，边上高，ADB=AEC=90，在在ABD和和ACE中，中，A=A,ADB=AEC,BD=CE,ABD ACE,AB=AC,ABC是等腰三角形是等腰三角形.第7页8.已知：如图，已知：如图，ABC中，中，AD是是BC边上高，边上高，AB=AC,BAC=120，垂足分别是垂足分别是E,F.求证：求证：DE+DF=BC.FEBCDA证实：证实：AB=AC,B=C,BAC=120，B=C=30，又又DEAB,DFAC,DE=BD,DF=
7、DC,DE+DF=BD+DC=BC.第8页 9.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC,A=120，AC垂垂直平分线直平分线EF交交AC于点于点E,交交BC于点于点F.求证：求证：BF=2CF.FEBCA证实：连接证实：连接AF,AB=AC,B=C,A=120，B=C=30，EF是是AC垂直平分线，垂直平分线，AF=CF,FAC=C=30，BAF=90，BF=2AF,BF=2CF.第9页10.已知：如图，已知：如图，ADDE,BEDE,AC,BC分别平分分别平分DAB,ABE,点点C在线段在线段DE上上.求证：求证：AB=AD+BE.DBECAF证实：过证实：过C作作CFAB,垂
8、足为垂足为F,又又AD,CEBE,AC平分平分DAB,BC平分平分ABE,CD=CF=CE,在在RtACD和和RtACF中，中，AC=AC,CD=CF,RtACD RtACF,AF=AD,在在RtBCE和和RtBCF中，中，BC=BC,CE=CF,RtBCE RtBCF,BF=BE,AB=AF+BF=AD+BE.第10页11.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，A=90，AB=AC,点点D在在BC上，上，BD=AB,作作DEBC,点点E在边在边AC上上.求证：（求证：（1）BE平分平分ABC;（2）AE=ED=DC.CDEAB证实：证实：(1)在在RtABE和和RtDBE中，中，BE=B
9、E,AB=DB,RtABE RtDBE,ABE=DBE,BE平分平分ABC;(2)A=90，AB=AC,C=45，又又DEBC,DEC=C=45，ED=DC,RtABE RtDBE,AE=ED,AE=ED=DC.第11页12.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，以它边中，以它边AB,AC为边，分为边，分别在形外作等边三角形别在形外作等边三角形ABD,ACE,连接连接BE,DC.求证：求证：BE=DC.EDCBA证实：证实：ABD和和ACE都是等边都是等边三角形，三角形，AB=AD,AE=AC,BAD=CAE=60，BAE=DAC,在在ABE和和ADC中，中，AB=AD,BAE=DAC,AE=
10、AC,ABE ADC,BE=DC.第12页13.已知：如图，线段已知：如图，线段CD与与AOB,经过作图求一点经过作图求一点P,使使PC=PD,而且点而且点P到到AOB两边距离相等两边距离相等.OBDCA第13页14.已知：如图，已知：如图，RtABC中，中，C=90，沿过点，沿过点B一条一条直线直线BE折叠这个三角形，使点折叠这个三角形，使点C与边与边AB上点上点D重合重合.要要使使D恰好为恰好为AB中点，问还需增加一个什么条件？说明中点，问还需增加一个什么条件？说明你增加条件及依据你增加条件及依据.ABDEC能够增加：能够增加：A=30或或BC=AB,或或ABC=60，或，或ABC=2A.
11、理由：理由：C=90，A=30，BC=AB,由折叠可知由折叠可知BC=BD=AB,D为为AB中点中点.第14页1.依据以下点坐标改变，判断它们进行了怎样变换？依据以下点坐标改变，判断它们进行了怎样变换？（1）（-3，-1）（3，-1）；）；（2）（-5,6）（-5，1）；）；（3）（4，3）（4，-3）；）；（4）（2，-3）（3，-2）.答答;：(1)关于关于y轴轴对称（或沿对称（或沿x轴轴方向向右平移方向向右平移6个单位）个单位）.(2)沿沿y轴轴方向向下平移方向向下平移5个单位个单位(或或关于直线关于直线y=3.5x对称对称).(3)关于关于x轴轴对称（或沿对称（或沿y轴轴方向向下平移方
12、向向下平移6个单位）个单位）.(4)关于直线关于直线y=-x对称（或先沿对称（或先沿x轴轴方向向右平移方向向右平移1个单位，个单位，再沿再沿y轴轴方向向上平移方向向上平移1个单位）个单位）.第15页2.BD是是ABC角平分线，角平分线，BD垂直平分线交垂直平分线交CA延长线延长线于点于点E.求证：求证：EAB=EBC.EDCBA证实：证实：E在在BD垂直平分线上，垂直平分线上，EB=ED,EBD=EDB,BD平分平分ABC,ABD=DBC,又又EAB=EDB+ABD,EBC=EBD+DBC,EAB=EBC第16页3.已知：已知：O是线段是线段AB中点，直线中点，直线MN经过点经过点O,点点C,
13、D在直在直线线MN上，上，1=2=45.（1）若点）若点C与点与点O重合重合图图(1),请直接写出请直接写出AC与与BD数数量关系和位置关系；量关系和位置关系；（2）若点）若点C,D不重合不重合图图(2),求证：求证：AC=BD,ACBD.CONANMDO(C)BAMDB2112（1）AC=BD,ACBD.第17页3.已知：已知：O是线段是线段AB中点，直线中点，直线MN经过点经过点O,点点C,D在直在直线线MN上，上，1=2=45.（2）若点）若点C,D不重合不重合图图(2),求证：求证：AC=BD,ACBD.CONAMDB21E证实：过证实：过B作作BE/AC,交交MN于点于点E,A=OB
14、E,又又O是线段是线段AB中点，中点，OA=OB,在在OAC和和OBE中，中，A=OBE,AOC=BOE,OA=OB,OAC OBE,AC=BE,OCA=OEB,1=BEDBED=21=2=45，2=BED=45，BE=BD,DBE=90，AC=BD,BEBDBE/AC,ACBD第18页4.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，ACB=90，D,E是边是边AB上两点，且上两点，且AD=AC,BE=BC.求证：求证：DCE=45.ACEDB证实：证实：AD=AC,BE=BC,ACD=ADC,BEC=BCE,又又A+ACD+ADC=180，B+BEC+BCE=180，A+2ACD=180，B+
15、2BCE=180，A+B+2ACD+2BCE=360，A+B+2ACD+2BCD+2DCE=360，A+B+2ACB+2DCE=360，又又ACB=90,A+B+ACB=180，2DCE=90，DCE=45.第19页5.已知：如图，点已知：如图，点D在等边三角形在等边三角形ABC边边AC上，点上，点E在在边边AB延长线上，使延长线上，使BE=CD,DE交交BC于点于点P.求证求证:PD=PE.ABEPDCF证实：过证实：过D作作DF/AB交交BC于于F,CDF=A,CFD=CBA,FDP=E,又又ABC是等边三角形，是等边三角形，A=CBA=C=60，C=CDF=CFD,CDF是等边三角形，是
16、等边三角形，CD=FD,BE=CD,FD=BE,在在FDP和和BEP中，中，FDP=E,DPF=EPB,FD=BE,FDP BEP,PD=PE.第20页6.（1）已知：如图（）已知：如图（1），在），在ABC中，中，ABC,ACB平分线交于点平分线交于点O,过点过点O直线直线DE/BC,DE分别与分别与AB,AC交于点交于点D,E.求证：求证：BD+CE=DE.CBEODA(1)证实：证实：DE/BC,DOB=OBC,EOC=OCB,又又OB平分平分ABC,OC平分平分ACB,OBD=OBC,OCE=OCB,DOB=OBD,EOC=OCE,BD=DO,CE=OE,BD+CE=DO+OE,BD+
17、CE=DE.第21页（2）将（）将（1）题条件）题条件“ACB平分线平分线”改为改为“ACB外角平分线外角平分线”，如图（，如图（2）所表示）所表示.原来关系式原来关系式BD+CE=DE还成立吗？假如不成立，你能推断出还成立吗？假如不成立，你能推断出BD,CE,DE存存在数量关系式吗？请证实你推断在数量关系式吗？请证实你推断.CBOEDA答：答：不成立不成立.BD-CE=DE.证实：证实：DE/BC,DOB=OBC,EOC=OCF,OB平分平分ABC,OC平分平分ACF,OBD=OBC,OCE=OCF,DOB=OBD,EOC=OCE,BD=DO,CE=OE,BD-CE=DO-OE,BD-CE=
18、DE.F第22页1.已知：等腰三角形已知：等腰三角形ABC中，中，AB=AC.（1）P为底边为底边BC上任一点，自点上任一点，自点P向两腰作垂线向两腰作垂线PE,PF,点点E,F为垂足为垂足.求证：求证：PE+PF等于定值；等于定值；（2）若点）若点P在底边在底边BC延长线上时，情况怎样？延长线上时，情况怎样？FEPBAC证实：连接证实：连接AP,设腰上高为设腰上高为h1,由由SABC=SPAB+SPAC,得得 ABPE+ACPF=ABh1.又又AB=AC,PE+PF=h1.故，故，PE+PF等于定值等于定值.第23页1.已知：等腰三角形已知：等腰三角形ABC中，中，AB=AC.（1）P为底边
19、为底边BC上任一点，自点上任一点，自点P向两腰作垂线向两腰作垂线PE,PF,点点E,F为垂足为垂足.求证：求证：PE+PF等于定值；等于定值；（2）若点）若点P在底边在底边BC延长线上时，情况怎样？延长线上时，情况怎样？FEPCBA证实：连接证实：连接AP,设腰上高为设腰上高为h1,由由SABC=SPAB-SPAC,得得 ABPE-ACPF=ABh1.又又AB=AC,PE-PF=h1.故，故，PE-PF等于定值等于定值.假如，假如，点点P在底边在底边CB延长线上时，延长线上时，有有PF-PE=h1.第24页2.已知：等边三角形已知：等边三角形ABC.（1）P为为ABC内任一点，自点内任一点，自
20、点P向三边作垂线向三边作垂线PD,PE,PF,点点D,E,F为垂足为垂足.求证：求证：PD+PE+PF等于定值；等于定值；（2）若点）若点P在在ABC外时，情况怎样？外时，情况怎样？PDFECBA证实：连接证实：连接PA,PB,PC,设等边设等边ABC高为高为h,由由SABC=SPAB+SPBC+SPAC，得得ABPD+BCPE+ACPF=BCh.又又AB=BC=AC,PD+PE+PF=h,故：故：PD+PE+PF等于定值等于定值.第25页EDFPCBA当当P在在BA与与CA延长线所围成区域内时，延长线所围成区域内时，证实：连接证实：连接PA,PB,PC,设等边设等边ABC高为高为h,由由SA
21、BC=SPBC-SPAB-SPAC，得得BCPE-ABPD-ACPF=BCh.又又AB=BC=AC,PE-PD-PF=h,第26页FEDPCBA当当P在在BA与与BC延长线所围成区域内延长线所围成区域内时时，证实：连接证实：连接PA,PB,PC,设等边设等边ABC高为高为h,由由SABC=SPBC+SPAB-SPAC，得得BCPE+ABPD-ACPF=BCh.又又AB=BC=AC,PE+PD-PF=h,当当P在在AC与与BC延长线所围成区域内时，延长线所围成区域内时，当当P在在AB与与AC延长线所围成区域内时，延长线所围成区域内时，当当P在在AB与与CB延长线所围成区域内时，延长线所围成区域内时，当当P在在CB与与CA延长线所围成区域内时，延长线所围成区域内时，能够用类似方法计算能够用类似方法计算.第27页
