1、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算 第第1 1页页定义：定义：现有大小又有方向量叫向量现有大小又有方向量叫向量 几何表示法：几何表示法：用有向线段表示用有向线段表示.字母表示法：字母表示法：用字母用字母a a,b b等或者等或者用有向用有向线段段起点与起点与终点字母点字母 表示表示相等向量：相等向量：长度相等且方向相同向量长度相等且方向相同向量 ABCD引入引入 复习平面向量复习平面向量第第2 2页页向量加法：向量加法：平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则(首尾相连首尾相连)平面向量加减法运算平面向量加减法运
2、算第第3 3页页向量减法向量减法三角形法则三角形法则 减向量减向量终点指向终点指向被减向量被减向量终点终点第第4 4页页看下面建筑看下面建筑 这个建筑钢架这个建筑钢架中有很多向量，但中有很多向量，但它们有些并不在同它们有些并不在同一平面内一平面内这就这就是我们今天要学习是我们今天要学习空间向量空间向量.第第5 5页页1.1.经历向量及其运算由平面向空间推广过程经历向量及其运算由平面向空间推广过程.2.2.了解空间向量概念了解空间向量概念.3.3.掌握空间向量加减运算掌握空间向量加减运算.（重点）（重点）第第6 6页页 1.1.空间向量空间向量 在空间，我们把含有大小和方向量叫做在空间，我们把含
3、有大小和方向量叫做空空间向量（间向量（space vector）.向量大小叫做向量向量大小叫做向量长度长度或或模模(modulus).探究点探究点1 1 概念概念第第7 7页页2.2.空间向量表示空间向量表示AB 向量向量 起点是起点是A，终点是，终点是B，则向量，则向量 也能够记作也能够记作AB，其，其模记为模记为|或或|AB|第第8 8页页 （1 1）我们要求，长度为）我们要求，长度为0 0向量叫做零向量向量叫做零向量（zero vectorzero vector），记为），记为 .当有向线段起点当有向线段起点A A与与终点终点B B重合时，重合时，ABAB=.（2 2）模为）模为1 1向
4、量称为单位向量（向量称为单位向量（unit unit vectorvector）.（3 3）两个向量不能比较大小，因为决定向量）两个向量不能比较大小，因为决定向量两个原因是大小和方向，其中方向不能比较大两个原因是大小和方向，其中方向不能比较大小小.提升总结提升总结第第9 9页页 3.3.相反向量相反向量 与向量与向量 长度相等而方向相反向量长度相等而方向相反向量,称为称为 相反向量，记为相反向量，记为 .4.4.相等向量（相等向量（equal vectorequal vector）方向相同且模相等向量称为相等向量方向相同且模相等向量称为相等向量.第第1010页页 （1 1）空间一个平移就是一个
5、向量）空间一个平移就是一个向量.（2 2）向量普通用有向线段表示）向量普通用有向线段表示,同向等长有同向等长有向线段表示同一或相等向量向线段表示同一或相等向量 .（3 3）空间两个向量可用同一平面内）空间两个向量可用同一平面内两条有向线段来表示两条有向线段来表示.提升总结提升总结第第1111页页 结论：结论：空间任意两个向量都是共面向量，空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内两条有向线段表示所以它们可用同一平面内两条有向线段表示.bAOBaba第第1212页页1.1.空间向量加减运算空间向量加减运算 因为任意两个空间向量都能平移到同一因为任意两个空间向量都能平移到同一空间，所以空
6、间向量加减运算与平面向量加空间，所以空间向量加减运算与平面向量加减运算相同减运算相同.AoabB探究点探究点2 2 空间向量加减运算空间向量加减运算第第1313页页a-ba+baboABC加法加法:OB=OA+AB=a+b:OB=OA+AB=a+b，减法：减法：CA=OA-OC=a-b.CA=OA-OC=a-b.第第1414页页2.2.空间向量加法运算律空间向量加法运算律 （1 1）加法交换律加法交换律 a +b =b +a （2 2）加法结合律加法结合律 (a +b)+c=a +(b +c)你能证实你能证实以下性质吗以下性质吗？第第1515页页证实加法交换律证实加法交换律:aa+baboAB
7、Cb因为因为 OA=CB=a，AB=OC=b，所以所以 a +b =b +a.第第1616页页证实加法结合律证实加法结合律:abca+b+c a+b ABCO因为因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),所以所以(a +b)+c=a +(b +c).第第1717页页 (1)(1)空间向量运算就是平面向量运算推广空间向量运算就是平面向量运算推广.(2)(2)两个向量相加平行四边形法则在空间依然成两个向量相加平行四边形法则在空间依然成立立.(3)(3)空间向量加法运算能够推广至若干个向量相空间向量加法运算能够推广至若干个向
8、量相加加.3.3.对空间向量加减法说明对空间向量加减法说明第第1818页页4.4.扩展扩展 （1 1）首尾相接若干向量之和，等于由）首尾相接若干向量之和，等于由起始向量起点指向末尾向量终点量起始向量起点指向末尾向量终点量即：即：第第1919页页 （2 2）首尾相接若干向量组成一个封闭图形，）首尾相接若干向量组成一个封闭图形，则它们和为零向量即：则它们和为零向量即：第第2020页页例例 已知平行六面体已知平行六面体ABCDABCD-A A B B C C D D，化简以下向量，化简以下向量表示式，并标出化简结果向量表示式，并标出化简结果向量.ABCDA B C D 第第2121页页解解解解:AB
9、CDA B C D.第第2222页页提升总结提升总结 始点相同三个不共面向量之和，等于以始点相同三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱平行六面体以公共始点为始这三个向量为棱平行六面体以公共始点为始点体对角线所表示向量点体对角线所表示向量.第第2323页页1.1.给出以下命题：给出以下命题：（1 1）两个空间向量相等，则它们起点、终点相同）两个空间向量相等，则它们起点、终点相同.（2 2）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 .（3 3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 .（4 4）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则则 .（5 5）空间中任意两个单位向量必相等）空间中任意两个单位
10、向量必相等.其中不正确命题个数是（其中不正确命题个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4C C第第2424页页第第2525页页答案：答案：第第2626页页D D第第2727页页提升总结提升总结1.1.两个向量模相等，则它们长度相等，但方向不确两个向量模相等，则它们长度相等，但方向不确定，即两个向量定，即两个向量(非零向量非零向量)模相等是两个向量相等模相等是两个向量相等必要不充分条件必要不充分条件2.2.熟练掌握空间向量相关概念、向量加减法满足运熟练掌握空间向量相关概念、向量加减法满足运算法则及运算律是处理好这类问题关键算法则及运算律是处理好这类问题关键第第28
11、28页页一、回顾本节课你有什么收获？一、回顾本节课你有什么收获？1.1.空间向量概念空间向量概念.在空间，含有大小和方向量在空间，含有大小和方向量.2.2.空间向量加减运算空间向量加减运算.空间向量加减运算应用三角形法则和平行空间向量加减运算应用三角形法则和平行四边形法则四边形法则.第第2929页页3.3.空间向量加法符合交换律，结合律空间向量加法符合交换律，结合律.4.4.平面向量与空间向量平面向量与空间向量.空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内向量成为同一平面内向量.所以凡是包括空间任意两个向量问题，平面向所以凡是包括空间任意两个向
12、量问题，平面向量中相关结论仍适合用于它们量中相关结论仍适合用于它们.第第3030页页 字母表示法字母表示法 向量大小向量大小定义定义表示法表示法向量模平面向量平面向量空间向量空间向量含有大小和方向量含有大小和方向量在空间，含有大小和方在空间，含有大小和方向量向量 几何表示法几何表示法几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法 向量大小向量大小二、空间向量基本概念二、空间向量基本概念第第3131页页相等向量相等向量相反向量相反向量单位向量单位向量零向量零向量平面向量平面向量空间向量空间向量 长度为零向量长度为零向量 长度为零向量长度为零向量模为模为1 1向量向量模为模为1 1向量向量长度相等且方向
13、长度相等且方向相反向量相反向量长度相等且方向长度相等且方向相反向量相反向量方向相同且模相等向方向相同且模相等向量量方向相同且模相等向量方向相同且模相等向量第第3232页页平面向量平面向量空间向量空间向量加法减法加法减法运算运算加法：三角形法则或平加法：三角形法则或平行四边形法则行四边形法则减法：三角形法则减法：三角形法则运算律运算律加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则减法减法:三角形法则三角形法则加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律三、空间向量加法、减法运算三、空间向量加法、减法运算第第3333页页 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行.第第3434页页
