1、1 1、最值概念、最值概念(最大值与最小值最大值与最小值)假如在函数定义域假如在函数定义域I内存在内存在x x0 0,使得对任使得对任意意xxI,总有总有f(x)f(x)f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)在定义域上在定义域上最大值最大值；最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言而言.假如在函数定义域假如在函数定义域I内存在内存在x x0 0,使得对任使得对任意意xxI,总有总有f(x)f(x)f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)在定义域上在定义域上最小值最小值.知识回顾：知识回顾：1/16
2、2024/9/301 (2)(2)将将y=f(x)y=f(x)各各极极值值与与f(a)f(a)、f(b)f(b)比比较较，其其中中最最大大一一个个为为最最大大值值，最最小小一一个个为为最小值最小值 (1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内极值；内极值；(极大值或极小值极大值或极小值)利用导数求函数利用导数求函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上最值步骤上最值步骤:注意：注意：若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内只有一个极大内只有一个极大值值(或极小值或极小值)，则该极大值，则该极大值(或极小值或极小值)即为函数即为函数f(x)f(x)在区间在区间a,
3、ba,b内最大值内最大值(或最小值或最小值)2/162024/9/302导数应用导数应用-求函数最值求函数最值.(2)(2)y=f(x)y=f(x)最最 大大 值值 y ymaxmax=MAXf(a),MAXf(a),f(b),f(b),f(xf(x1 1),f(x),f(x2 2)f(x)f(xn n)y=f(x)y=f(x)最最 大大 值值 y yMINMIN=MINf(a),MINf(a),f(b),f(b),f(xf(x1 1),f(x),f(x2 2)f(x)f(xn n)(1)(1)在区间在区间(a,b)(a,b)上求使上求使f(x)=0f(x)=0解解x x1 1、x x2 2、
4、xxn n利用导数求函数利用导数求函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上最值步骤上最值步骤:3/162024/9/303新课引入新课引入:导数在实际生活中有着广泛应用导数在实际生活中有着广泛应用,利用导数求最值方法利用导数求最值方法,能够求出实际生能够求出实际生活中一些最值问题活中一些最值问题.4/162024/9/304导数在实际生活中应用导数在实际生活中应用5/162024/9/305例：例：在边长为在边长为60 cm60 cm正方形铁片四角正方形铁片四角切去相等正方形，再把它边缘虚线折切去相等正方形，再把它边缘虚线折起起(如图如图)，做成一个无盖方底箱子，做成一个无盖方底箱子，箱
5、底边长是多少时，箱子容积最大？箱底边长是多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？最大容积是多少？6/162024/9/306由由题题意意可可知知，当当x x过过小小（靠靠近近0 0）或或过过大大（靠靠近近6060）时时，箱子容积很小，所以，箱子容积很小，所以，1600016000是最大值。是最大值。答答：当当x=40cmx=40cm时时，箱箱子子容容积积最最大大，最最大大容容积积是是16 16 000cm000cm3 3解法一：设箱底边长为解法一：设箱底边长为x xcmcm，则箱高，则箱高 cmcm，得箱子容积得箱子容积令令 ，解得，解得 x=0 x=0（舍去），（舍去），x=40 x=40，并
6、求得并求得V(40)=16000V(40)=160007/162024/9/307答答：当当x=40cmx=40cm时时，箱箱子子容容积积最最大大，最最大大容容积积是是16 16 000cm000cm3 3解法二：设箱底边长为解法二：设箱底边长为x xcmcm，则箱高，则箱高 cmcm，8/162024/9/308怎样处理最优化应用问题?优化（实际）问题优化（实际）问题优化（实际）问题优化（实际）问题答案答案用函数表示数学问题（注用函数表示数学问题（注意标出自变量范围）意标出自变量范围）用导数（或不等式）处用导数（或不等式）处理数学问题理数学问题在在实实际际问问题题中中，在在定定义义域域中中，
7、是是函函数数导导数数f f(x)=0(x)=0解解只只有有一一个个，假假如如能能够够判判断断函函数数在在这这点点处处有有极极大大（小小）值值，那那么么不不与与端端点点处处函函数数值值比比较较，也也能能够够下下结结论论：这这就就是是该问题最大（小）值该问题最大（小）值9/162024/9/309在在实实际际问问题题中中，当当不不用用导导数数而而是是用用基基本本不不等等式式求求最最大大（小）值是一定要注意：（小）值是一定要注意：当求几个因式积（或和）最值时，经常要利用当求几个因式积（或和）最值时，经常要利用（以上各式中当且仅当（以上各式中当且仅当“a=ba=b或或a=b=c”a=b=c”时取得等号
8、）时取得等号）必须要确保：必须要确保：a)a)每个因式是正数每个因式是正数 b)b)这几个因式和是常数这几个因式和是常数 c)c)不等号中等号能取到不等号中等号能取到10/162024/9/3010解解：设设圆圆柱柱高高为为h h，底底半半径径为为R R，则则表表面积面积例：例：圆柱形金属饮料罐容积一定时，圆柱形金属饮料罐容积一定时，它高与底半径应怎样选取，才能使所它高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？用材料最省？S=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2由由V=RV=R2 2h h，得，得 ，则，则令令解得，解得，从而，从而11/162024/9/3011答：当罐高与底直径相等时，所用材料
9、最省答：当罐高与底直径相等时，所用材料最省即即h=2Rh=2R因为因为S(R)S(R)只有一个极值，所以它是最小值只有一个极值，所以它是最小值解法二：解法二：12/162024/9/3012练习练习（1）把长）把长60cm铁丝围成矩形，长、铁丝围成矩形，长、宽各为多少时，矩形面积最大？宽各为多少时，矩形面积最大？（2）求内接于半径为）求内接于半径为R圆矩形面积最圆矩形面积最大值。大值。13/162024/9/3013高考链接高考链接v请你设计一个帐篷，它下部形状是高为请你设计一个帐篷，它下部形状是高为m正六棱柱，上部形状是侧棱长为正六棱柱，上部形状是侧棱长为m正六棱锥，试问：当帐篷顶点正六棱锥
10、，试问：当帐篷顶点O到底到底面中心面中心O1距离为多少时，帐篷体积最大距离为多少时，帐篷体积最大？OO1O2设OO1为x m14/162024/9/3014帐篷体篷体积为（单位：位：m3）V（x）=解:设OO1为x m，则x1 由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六于是底面正六边形面形面积为（单位：位：m2）15/162024/9/3015求求导数数令令V（x）=0 解得解得 x=-2(不合不合题意意,舍去舍去),x=2当当 1x2 时 V（x）0，V（x）为增函数增函数当当 2x4 时 V（x）0 V（x）为减函数减函数所以所以 当当 x=2时V（x）最大）最大答：当答：当OO1为2m时帐篷体篷体积最大最大16/162024/9/3016
