1、 在前面课程中，我们讨论了随机变量及在前面课程中，我们讨论了随机变量及其分布，假如知道了随机变量其分布，假如知道了随机变量X概率分布，概率分布，那么那么X全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布普通然而，在实际问题中，概率分布普通是较难确定是较难确定.而在一些实际应用中，人们而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量一切概率性质，只并不需要知道随机变量一切概率性质，只要知道它一些数字特征就够了要知道它一些数字特征就够了.第1页 评定某企业经营能力时，只要知道该企业评定某企业经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；人均赢利水平；研究水稻品种优劣时，我们关心是稻
2、穗研究水稻品种优劣时，我们关心是稻穗平均粒数及每粒平均重量；平均粒数及每粒平均重量；检验棉花质量时，既要注意纤维平均长检验棉花质量时，既要注意纤维平均长度，又要注意度，又要注意 纤维长度与平均长度偏离程度，纤维长度与平均长度偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;考查一射手水平，既要看他平均环数考查一射手水平，既要看他平均环数是否高，还要看他弹着点范围是否小，即数是否高，还要看他弹着点范围是否小，即数据波动是否小据波动是否小.第2页 所以，在对随机变量研究中，确定一些所以，在对随机变量研究中，确定一些数字特征是主要数字特征是主要.在这些数字特征中
3、，最惯用是在这些数字特征中，最惯用是期望、方差和协方差期望、方差和协方差第3页第四章第四章 随机变量数字特征随机变量数字特征u数学期望数学期望u方差方差u协方差与相关系数协方差与相关系数第4页数学期望引例数学期望引例比如比如：某：某7人高数成绩为人高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们平均成绩为，则他们平均成绩为以频率为权重加权平均以频率为权重加权平均 第5页数学期望数学期望EXu离散型随机变量离散型随机变量设离散型随机变量设离散型随机变量X 分布律为分布律为若无穷级数若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量绝对收敛，则称其和为随机变量X 数学期望数学期望定义定义4.1.14
4、.1.1记为记为第6页XP41/451/261/4已知随机变量已知随机变量X分布律分布律：例例1 求数学期望求数学期望EX 解解 第7页u连续型随机变量连续型随机变量 设连续型随机变量设连续型随机变量X 概率密度为概率密度为 若积分若积分绝对收敛绝对收敛,则称此积分值为随机变量则称此积分值为随机变量X 数学期望数学期望记为记为第8页例例2第9页数学期望意义 试验次数较大时，试验次数较大时，X观察值算术平均值观察值算术平均值 在在EX附近摆动附近摆动数学期望又能够称为数学期望又能够称为期望值期望值(Expected Value)，均值均值(Mean)EX反应了随机变量反应了随机变量X取值取值“概
5、率平均概率平均”,是是X可能值以其对应概率加权平均。可能值以其对应概率加权平均。第10页4.1.1 4.1.1 数学期望性质数学期望性质第11页性质性质 4 逆命题不成立，即逆命题不成立，即若若E(X Y)=EX EY，X,Y 不一定相互独立不一定相互独立反例反例 X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi注注第12页X Y P-1 0 1但但第13页0-1分布数学期望分布数学期望X服从服从0-1分布分布，其概率分布为，其概率分布为P(X=1)=pP(X=0)=1-pXP0 11-p p若若X 服从参数为服从参数为 p 0-1分布，分布，则则EX=p分布律分布律数学期望数学期望第14页
6、若若 XB(n,p),那么那么 EX=np二项分布数学期望二项分布数学期望分布律分布律X X服从服从二项分布，二项分布，其概率分布为其概率分布为数学期望数学期望二项分布可表示为二项分布可表示为个分布和个分布和其中其中 则则 第15页泊松分布数学期望泊松分布数学期望If ,then 分布律分布律数学期望数学期望第16页均匀分布期望均匀分布期望分布密度分布密度数学期望数学期望第17页 X N(，2）正态分布期望正态分布期望分布密度分布密度数学期望数学期望第18页指数分布期望指数分布期望分布密度分布密度数学期望数学期望第19页常见随机变量数学期望常见随机变量数学期望分布分布期望期望概率分布概率分布参
7、数为参数为p 0-1分布分布pB(n,p)npP()第20页分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)上上均匀分布均匀分布E()N(,2)第21页注意：不是全部随机变量都有数学期望不是全部随机变量都有数学期望比如：比如：Cauchy分布密度函数为分布密度函数为但但发散发散它数学期望它数学期望不存在不存在第22页例例3 第23页解解:第24页第25页4.1.2 随机变量函数数学期望随机变量函数数学期望 1.问题提出：问题提出：设已知随机变量设已知随机变量X分布，我们需要计算分布，我们需要计算不是不是X期望，而是期望，而是X某个函数期望，比如说某个函数期望，比如说g(X)期望期望.那么应该
8、怎样计算呢？那么应该怎样计算呢？第26页怎样计算随机变量函数数学期望怎样计算随机变量函数数学期望?一个方法是，因为一个方法是，因为g(X)也是随机变量，也是随机变量，故应有概率分布，它分布能够由已知故应有概率分布，它分布能够由已知X分布分布求出来求出来.一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)分布，就能够按分布，就能够按照期望定义把照期望定义把Eg(X)计算出来计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)分布，普通是比较复杂分布，普通是比较复杂.第27页 那么是否能够不先求那么是否能够不先求g(X)分布而只依分布而只依据据X分布求得分布求得Eg(X)呢？呢
9、？下面基本公式指出，答案是必定下面基本公式指出，答案是必定.第28页定理定理第29页第30页 该定理主要性在于该定理主要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,无须知道无须知道g(X)分布，而只需知道分布，而只需知道X分布就能分布就能够了够了.这给求随机变量函数期望带来很大这给求随机变量函数期望带来很大方便方便.第31页服从服从 已知已知上均匀分布，求上均匀分布，求数学期望。数学期望。因为因为 所以所以 例例5解解第32页1 15 5例例6 设相互独立随机变量设相互独立随机变量X X，Y Y密度函数分别为密度函数分别为 求求E（XY）解解 第33页X 1 3P 3/4 1/4Y 0 1 2 3
10、P 1/8 3/8 3/8 1/8X1 0 3/8 3/8 03 1/8 0 0 1/8Y 0 1 2 3解解:例例7 第34页4.1.3 4.1.3 数学期望简单应用数学期望简单应用例例8 市场上对某种产品每年需求量为市场上对某种产品每年需求量为X 吨吨 ，X U ,4000,每出售一吨可赚每出售一吨可赚3 3万元万元,售不出去，则售不出去，则每吨需仓库保管费每吨需仓库保管费1 1万元万元,问应该生产这种商品多少吨问应该生产这种商品多少吨,才能使平均利润最大？才能使平均利润最大？解解:设每年生产设每年生产y 吨利润为吨利润为Y,y 4000第35页故故 y=3500 时，时，EY 最大，最大，EY=8250万元万元第36页例例9 独立地操作两台仪器，他们发生故障概率分别独立地操作两台仪器，他们发生故障概率分别为为p p1 1和和p p2 2.证实：产生故障仪器数目标数学期望为证实：产生故障仪器数目标数学期望为 p p1 1+p p2 2设产生故障仪器数目为设产生故障仪器数目为X X则则X X全部可能取值为全部可能取值为0 0，1 1，2 2解解所以所以 第37页课堂练习课堂练习 (2)设二维连续随机变量设二维连续随机变量 概率密度为概率密度为第38页解解:第39页第40页
