1、第七章 随机变量数字特征1/771第一节第一节第一节第一节 数学期望数学期望数学期望数学期望2/772一、数学期望引入例例1 1分赌本问题分赌本问题甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注5050法朗，每局法朗，每局无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100100法法朗朗。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博，问这赌博，问这100100法朗赌本应怎样分配才合理？法朗赌本应怎样分配才合理？分析：假设赌博继续下去，情况以下：分析：假设赌博继续下去，情况以下：乙胜乙胜甲胜甲胜乙胜乙胜甲胜甲胜
2、甲胜概率为：甲胜概率为：.3/773例例1 1分赌本问题分赌本问题甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注5050法朗，每局法朗，每局无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100100法法朗。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌朗。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博，问这博，问这100100法朗赌本应怎样分配才合理？法朗赌本应怎样分配才合理？设甲得到赌本为设甲得到赌本为X，则，则X分布为分布为甲胜概率为：甲胜概率为：.甲应该取得赌本甲应该取得赌本3/4.3/4.说明：该问题包括随机变量分布，说明：该问题包括随机变量分布，
3、且含有均值意义且含有均值意义.4/774例例2 2 在在10001000次重复试验中，离散型随机变量次重复试验中，离散型随机变量X X取值为取值为100100有有300300次，取值为次，取值为200200有有700700次。问次。问X X取值平均值取值平均值是多少？是多少？X分布为：分布为：5/775加权平均数计算：加权平均数计算：随机变量平均值：随机变量平均值：概率替换频率概率替换频率6/776二、数学期望定义二、数学期望定义 为随机变量为随机变量X数学期望数学期望.7/777补充说明：补充说明：加权平均数：加权平均数：离散随机变量期望：离散随机变量期望：连续随机变量期望：连续随机变量期望
4、：频率频率概率概率概率概率注：注：1)1)期望是均值推广或更普通形式。期望是均值推广或更普通形式。2)2)连续随机变量期望公式可由离散随机连续随机变量期望公式可由离散随机 变量期望公式和定积分定义推出。变量期望公式和定积分定义推出。8/7789/77910/7710三、一维随机变量函数数学期望三、一维随机变量函数数学期望 11/7711例例4 4 设随机变量设随机变量X分布为分布为解：解：12/771213/771314/7714数学期望在处理实际问题中有着非常主要应用，数学期望在处理实际问题中有着非常主要应用，见下面例子见下面例子.15/7715例例8 8 某企业生产机器无故障工作时间某企业
5、生产机器无故障工作时间X有密度函数有密度函数企业每售出一台机器可赢利企业每售出一台机器可赢利16001600元，若机器在售出元，若机器在售出1.21.2万小时之内出现故障，则给予更换，这时每台亏万小时之内出现故障，则给予更换，这时每台亏损损12001200元；若在元；若在1.21.2到到2 2万小时之内出现故障，则给予万小时之内出现故障，则给予维修，由企业负担维修费维修，由企业负担维修费400400元；若在使用元；若在使用2 2万小时以万小时以上出现故障，则用户自己负责。求该企业售出每台机上出现故障，则用户自己负责。求该企业售出每台机器平均赢利。器平均赢利。16/7716处理方法：处理方法：求
6、随机变量函数数学期望求随机变量函数数学期望.关键：关键：17/7717企业每售出一台机器可赢利企业每售出一台机器可赢利16001600元元,若机器在售出若机器在售出1.21.2万小时之内出现故障，则给予更换，每台亏损万小时之内出现故障，则给予更换，每台亏损12001200元；若在元；若在1.21.2到到2 2万小时之内出现故障，则给予万小时之内出现故障，则给予维修，由企业负担维修费维修，由企业负担维修费400400元；若在使用元；若在使用2 2万小时万小时以上出现故障，则用户自己负责。以上出现故障，则用户自己负责。18/771819/7719四、多维随机变量函数数学期望四、多维随机变量函数数学
7、期望20/772021/77211 1x2 2y0 022/7722五、数学期望运算性质线性性质线性性质23/772324/7724例例11 11 将将n个球随机放入个球随机放入M个盒子中去个盒子中去,设每个球放设每个球放入每个盒子是等可能，求有球盒子数入每个盒子是等可能，求有球盒子数X期望。期望。这种方法称为分解随机变量法，是概率统计这种方法称为分解随机变量法，是概率统计中经典、主要一个解题方法。中经典、主要一个解题方法。25/7725例例11 11 将将n个球随机放入个球随机放入M个盒子中去个盒子中去,设每个球放设每个球放入每个盒子是等可能，求有球盒子数入每个盒子是等可能，求有球盒子数X期
8、望。期望。古典概型古典概型26/7726例例12 12 某企业经销某种原料某企业经销某种原料,依据历史资料表明依据历史资料表明:这种原料市场需求量这种原料市场需求量X(单位：吨单位：吨)服从服从(300(300，500)500)上均匀分布上均匀分布.每售出每售出1 1吨该原料吨该原料,企业可赢利企业可赢利1 1.5 5千元；千元；若积压若积压1 1吨吨,则企业损失则企业损失0.50.5千元。问企业应该组织多少千元。问企业应该组织多少货源货源,能够使平均收益最大？能够使平均收益最大？27/7727例例12 12 某企业经销某种原料某企业经销某种原料,依据历史资料表明依据历史资料表明:这种原料市场
9、需求量这种原料市场需求量X(单位：吨单位：吨)服从服从(300(300，500)500)上均匀分布上均匀分布.每售出每售出1 1吨该原料吨该原料,企业可赢利企业可赢利1 1.5 5千元；千元；若积压若积压1 1吨吨,则企业损失则企业损失0.50.5千元。问企业应该组织多少千元。问企业应该组织多少货源货源,能够使平均收益最大？能够使平均收益最大？28/772829/7729第二节第二节第二节第二节 方差与标准差方差与标准差方差与标准差方差与标准差30/7730引例引例 比较随机变量比较随机变量X、Y 期望期望 尽管有相同期望尽管有相同期望尽管有相同期望尽管有相同期望EXEX=EYEY,但但但但
10、Y Y 取值比取值比取值比取值比 X X 要分散，要分散，要分散，要分散，这表明仅有期望不足以完整地描述离散型随机变量这表明仅有期望不足以完整地描述离散型随机变量这表明仅有期望不足以完整地描述离散型随机变量这表明仅有期望不足以完整地描述离散型随机变量分布特征，还须深入研究它离散程度分布特征，还须深入研究它离散程度分布特征，还须深入研究它离散程度分布特征，还须深入研究它离散程度.注：注：注：注：X X、Y Y期望相同，但误差取值波动性不一样。期望相同，但误差取值波动性不一样。期望相同，但误差取值波动性不一样。期望相同，但误差取值波动性不一样。对产品质量稳定性对产品质量稳定性对产品质量稳定性对产品
11、质量稳定性,市场波动性，投资市场波动性，投资市场波动性，投资市场波动性，投资风险等问题研究，都包括到对随机变风险等问题研究，都包括到对随机变风险等问题研究，都包括到对随机变风险等问题研究，都包括到对随机变量分布分散程度研究。量分布分散程度研究。量分布分散程度研究。量分布分散程度研究。31/7731 我们最直接想法是用我们最直接想法是用我们最直接想法是用我们最直接想法是用X Xi i-E E(X X)表示离散程度表示离散程度表示离散程度表示离散程度,X Xi i-E E(X X)称为离差，它取值可正可负，且它数学称为离差，它取值可正可负，且它数学称为离差，它取值可正可负，且它数学称为离差，它取值
12、可正可负，且它数学期望为期望为期望为期望为0 0，因而不能用它均值来衡量，因而不能用它均值来衡量，因而不能用它均值来衡量，因而不能用它均值来衡量X X对对对对E E(X X)离离离离散程度，为了消除离差取值符号影响，我们采取散程度，为了消除离差取值符号影响，我们采取散程度，为了消除离差取值符号影响，我们采取散程度，为了消除离差取值符号影响，我们采取离差平方离差平方离差平方离差平方 X X-E E(X X)2 2均值来衡量均值来衡量均值来衡量均值来衡量X X对对对对E E(X X)离散离散离散离散程度，由此引入程度，由此引入程度，由此引入程度，由此引入“方差方差方差方差”概念：概念：概念：概念：
13、32/7732一、方差与标准差定义一、方差与标准差定义33/7733方差惯用计算公式：方差惯用计算公式：方差定义式：方差定义式：34/7734离散型和连续型随机变量方差计算公式35/7735离散型和连续型随机变量方差计算公式36/7736分布列与方差大小关系：结论结论1 1：取值分布集中，方差较小；：取值分布集中，方差较小；反之方差较大反之方差较大.37/7737密度函数与方差大小关系：结论结论2 2：密度函数图形较陡峭方差较小；：密度函数图形较陡峭方差较小；反之方差较大反之方差较大.38/7738例例2 2 计算泊松分布方差。计算泊松分布方差。解解:泊松分布分布律为泊松分布分布律为39/77
14、39例例3 3 正态分布方差。正态分布方差。40/7740例例4 4 计算指数分布方差。计算指数分布方差。41/7741二、方差性质二、方差性质方差不具备方差不具备线性性质线性性质.42/7742例例5 5 计算二项分布方差。计算二项分布方差。二项分布二项分布可加性可加性注：直接利用二项分布律和级数运算也能注：直接利用二项分布律和级数运算也能够求出二项分布期望和方差。够求出二项分布期望和方差。43/7743注：本例是数理统计惯用一个主要结果，它注：本例是数理统计惯用一个主要结果，它表达了平均值稳定性。表达了平均值稳定性。44/7744例例7 某人有一笔资金某人有一笔资金,可投入两个项目可投入两
15、个项目:房产和商房产和商业业,其收益都与市场相关。若把未来市场划分为好、其收益都与市场相关。若把未来市场划分为好、中、差三个等级中、差三个等级,其发生概率分别是其发生概率分别是0.2,0.7和和0.1。经过调查经过调查,该投资者认为投资房产收益该投资者认为投资房产收益X(万元万元)和投资商业收益和投资商业收益Y(万元万元)分布分别为分布分别为请问：该投资者怎样投资为好？请问：该投资者怎样投资为好？45/7745第三节第三节第三节第三节 协方差和相关系数协方差和相关系数协方差和相关系数协方差和相关系数46/7746一、协方差一、协方差协方差也称为相关中心矩。协方差也称为相关中心矩。联合分布中分量
16、间关系联合分布中分量间关系47/774748/7748协方差惯用性质协方差惯用性质:注注:以上性质可利用定义及期望性质来证实以上性质可利用定义及期望性质来证实.49/774950/7750补充说明：补充说明：51/775152/775253/775354/7754二、相关系数二、相关系数 在表示随机变量关系时在表示随机变量关系时,为了消除量纲影响，为了消除量纲影响，引入了相关系数概念。引入了相关系数概念。55/7755相关系数性质：相关系数性质：56/775657/7757补充说明 相关系数相关系数相关系数相关系数(X X,Y Y)刻画了随机变量刻画了随机变量刻画了随机变量刻画了随机变量X X
17、、Y Y间线性相间线性相间线性相间线性相关程度。关程度。关程度。关程度。=1=1=1=1时，表示时，表示时，表示时，表示X X、Y Y几乎处处含有线性关几乎处处含有线性关几乎处处含有线性关几乎处处含有线性关系；系；系；系；=0=0=0=0时，表示时，表示时，表示时，表示X X、Y Y不含有线性关系，但能够含不含有线性关系，但能够含不含有线性关系，但能够含不含有线性关系，但能够含有其它（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量有其它（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量有其它（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量有其它（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量不含有任何关系。对二元正态分布来说，独立性与
18、不含有任何关系。对二元正态分布来说，独立性与不含有任何关系。对二元正态分布来说，独立性与不含有任何关系。对二元正态分布来说，独立性与不相关不相关不相关不相关=0=0=0=0是等价。是等价。是等价。是等价。与协方差相比较，相关系数是一个不带单位与协方差相比较，相关系数是一个不带单位与协方差相比较，相关系数是一个不带单位与协方差相比较，相关系数是一个不带单位系数，消除了量纲影响，能够更准确地反应随机系数，消除了量纲影响，能够更准确地反应随机系数，消除了量纲影响，能够更准确地反应随机系数，消除了量纲影响，能够更准确地反应随机变量间关系；同时，也方便不一样类型随机变量变量间关系；同时，也方便不一样类型
19、随机变量变量间关系；同时，也方便不一样类型随机变量变量间关系；同时，也方便不一样类型随机变量比较。比较。比较。比较。58/775800.511y y=x x59/7759注注:协方差即使很小协方差即使很小,但相关系数却比较大但相关系数却比较大.所以协所以协方差反应随机变量相关程度不是很准确。方差反应随机变量相关程度不是很准确。60/7760第四节第四节第四节第四节 大数定律与大数定律与大数定律与大数定律与中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理61/7761 事件发生频率含有稳定性，即伴随试验次数增多，事件发生频率含有稳定性，即伴随试验次数增多，事件发生频率逐步稳定于某个常数。这就充分
20、说明事事件发生频率逐步稳定于某个常数。这就充分说明事件概率是客观存在。频率稳定性，便是这一客观存在件概率是客观存在。频率稳定性，便是这一客观存在反应。人们还认识到大量测量值算术平均值也含有稳反应。人们还认识到大量测量值算术平均值也含有稳定性。这种稳定性就是本节所要讨论大数定律客观背定性。这种稳定性就是本节所要讨论大数定律客观背景。景。在概率论中在概率论中,用来说明大量平均结果稳定性一系列用来说明大量平均结果稳定性一系列定理统称为大数定律定理统称为大数定律.由大数定律由大数定律,大量随机原因总和，大量随机原因总和，必定造成某种不依赖于个别随机事件结果。必定造成某种不依赖于个别随机事件结果。62/
21、7762一、大数定律63/7763补充说明64/7764依概率收敛普通形式：依概率收敛普通形式：65/77652 2、切比雪夫大数定律、切比雪夫大数定律66/77663、贝努里大数定律注注:贝努里定理是切比雪夫定理特例贝努里定理是切比雪夫定理特例,它从理论上证它从理论上证明了频率稳定性明了频率稳定性.只要试验次数只要试验次数 n 足够大足够大,事件事件 A 出现出现频率与事件频率与事件 A 概率有较大偏差可能性很小概率有较大偏差可能性很小.即能够用即能够用事件发生频率来代替事件发生概率。事件发生频率来代替事件发生概率。67/77674、马尔可夫大数定律马尔可夫大数定律没有任何独立、不相关、同分
22、布马尔可夫大数定律没有任何独立、不相关、同分布假设，是适用范围最广大数定律，也是用来证假设，是适用范围最广大数定律，也是用来证明其它大数定律主要依据。明其它大数定律主要依据。68/77685、辛钦大数定律注：辛钦大数定律给出了求期望近似值方法注：辛钦大数定律给出了求期望近似值方法观察值平均观察值平均，即，即且这种方法不需要考虑分布详细形式。且这种方法不需要考虑分布详细形式。69/7769二、独立同分布下中心极限定理70/7770二项分布正态近似定理定理定理定理2 2 2 2棣莫弗拉普拉斯棣莫弗拉普拉斯棣莫弗拉普拉斯棣莫弗拉普拉斯 中心中心中心中心极限定理极限定理极限定理极限定理71/7771例
23、例1 1 设一个车间里有设一个车间里有400400台同类型机器，每台机器需台同类型机器，每台机器需要用电为要用电为Q Q瓦。因为工艺关系，每台机器不连续开动，瓦。因为工艺关系，每台机器不连续开动，开动时间只占总工作时间开动时间只占总工作时间3/43/4。问应该供给多少瓦电。问应该供给多少瓦电力才能以力才能以9999概率确保该车间机器正常工作？概率确保该车间机器正常工作？设各设各机器开、停是相互独立机器开、停是相互独立分析：正常工作即是要求开动机器所需要总电力不超分析：正常工作即是要求开动机器所需要总电力不超出所供给电力，这与开动机器台数相关。出所供给电力，这与开动机器台数相关。因为每台机器开、
24、停是否相互独立，且开动概率都因为每台机器开、停是否相互独立，且开动概率都是相同，故开动机器台数服从二项分布。是相同，故开动机器台数服从二项分布。即认为是相同试验独立重复做了即认为是相同试验独立重复做了400400次。次。因为试验次数因为试验次数400400较大，其概率计算能够近似用正态较大，其概率计算能够近似用正态分布来替换分布来替换棣莫佛拉普拉斯中心极限定律棣莫佛拉普拉斯中心极限定律,进进而转化为标准正态分布。而转化为标准正态分布。72/7772解：令解：令X表示表示400400台机器中同时开动台数，则有台机器中同时开动台数，则有73/7773例例2 2 为了测量一台机床质量为了测量一台机床
25、质量,把它分成把它分成7575个部件个部件来称量。假定每个部件称量误差服从区间来称量。假定每个部件称量误差服从区间 (-(-1,1)1,1)上均匀分布，且各个部件称量误差是相互独上均匀分布，且各个部件称量误差是相互独立，求机床质量总误差绝对值不超出立，求机床质量总误差绝对值不超出10kg10kg概率。概率。解：记各个部件称量误差为解：记各个部件称量误差为Xi，则总称量误差为则总称量误差为74/7774所求概率为所求概率为总称量误差总称量误差例例2 2 为了测量一台机床质量为了测量一台机床质量,把它分成把它分成7575个部件个部件来称量。假定每个部件称量误差服从区间来称量。假定每个部件称量误差服从区间 (-(-1,1)1,1)上均匀分布，且各个部件称量误差是相互独上均匀分布，且各个部件称量误差是相互独立，求机床质量总误差绝对值不超出立，求机床质量总误差绝对值不超出10kg10kg概率。概率。75/7775作业：作业：76/7776The End！Thank You！Department of Mathematics77/7777
