1、数学危机数学危机理学院理学院 基础数学基础数学第1页v 普通来讲，危机是一个激化、非处理不可矛普通来讲，危机是一个激化、非处理不可矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在、不可防止，盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在、不可防止，即便以确定无疑著称数学也不例外。矛盾消除，即便以确定无疑著称数学也不例外。矛盾消除，危机处理，往往给数学带来新内容，新进展，甚危机处理，往往给数学带来新内容，新进展，甚至引发革命性变革，这也反应出矛盾斗争是事物至引发革命性变革，这也反应出矛盾斗争是事物发展历史动力这一基本原理。整个数学发展史就发展历史动力这一基本原理。整个数学发展史就是矛盾斗争历史，斗争结果就是数学领域发展。是
2、矛盾斗争历史，斗争结果就是数学领域发展。第2页 历史上，数学发展有顺利也有波折。历史上，数学发展有顺利也有波折。大挫折也能够叫做危机，危机也意味着挑大挫折也能够叫做危机，危机也意味着挑战，危机处理就意味着进步。所以，危机战，危机处理就意味着进步。所以，危机往往是数学发展先导。数学发展史上有三往往是数学发展先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学次数学危机。每一次数学危机，都是数学基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上三次思想解放，三次危机，引发了数学上三次思想解放，大大推进了数学科学发展。大大推进了数学科学发展。第3页目
3、录目录v一一 第一次数学危机第一次数学危机v二二 第二次数学危机第二次数学危机v三三 第三次数学危机第三次数学危机v四四 总结对比总结对比第4页一一 第一次数学危机第一次数学危机11?第5页背景背景v 大约公元前大约公元前5世纪，不可通约量（不能表示世纪，不可通约量（不能表示成整数或整数之比）发觉造成了毕达哥拉斯悖论。成整数或整数之比）发觉造成了毕达哥拉斯悖论。当初毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变原因当初毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变原因研究，把几何、算术、天文、音乐称为研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺四艺”，在其中追求宇宙友好规律性。他们认为：宇宙，在其中追求宇宙友好规律性。他
4、们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派一项重大贡献是证实了勾股定理，但由拉斯学派一项重大贡献是证实了勾股定理，但由此也发觉了一些直角三角形斜边不可通约情形，此也发觉了一些直角三角形斜边不可通约情形，如直角边长均为如直角边长均为1等腰直角三角形就是如此。这等腰直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派根本信条，造成了当一悖论直接触犯了毕氏学派根本信条，造成了当初认识上初认识上危机危机，从而产生了第一次数学危机。，从而产生了第一次数学危机。第6页v 到了公元前到了公元前370370年，这个矛盾被毕氏学派欧年，这个矛盾被毕氏学派欧
5、多克斯经过给百分比下新定义方法处理了。欧多多克斯经过给百分比下新定义方法处理了。欧多克斯和狄德金于克斯和狄德金于18721872年给出无理数解释与当代解年给出无理数解释与当代解释基本一致。今天中学几何书本中对相同三角形释基本一致。今天中学几何书本中对相同三角形处理，依然反应出由不可通约量而带来一些困难处理，依然反应出由不可通约量而带来一些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊数学观点和微妙之处。第一次数学危机对古希腊数学观点有极大冲击。这表明，几何学一些真理与算术无有极大冲击。这表明，几何学一些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却能
6、够由几何量来表示出来，整数权威地位开始却能够由几何量来表示出来，整数权威地位开始动摇，而几何学身份升高了。危机也表明，直觉动摇，而几何学身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证实才是可靠，从此和经验不一定靠得住，推理证实才是可靠，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命！理体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命！第7页二二 第二次数学危机第二次数学危机无穷小是零吗？无穷小是零吗？牛顿牛顿莱布尼兹莱布尼兹第8页背景背景v 第二次数学危机发生在牛顿创建微积第二次数学危机发生在牛顿创建微积v分十
7、七世纪。第一次数学危机是由毕达分十七世纪。第一次数学危机是由毕达v哥拉斯学派内部提出，第二次数学危机哥拉斯学派内部提出，第二次数学危机v则是由牛顿学派外部、贝克莱大主教提则是由牛顿学派外部、贝克莱大主教提v出，是对牛顿出，是对牛顿“无穷小量无穷小量”说法质疑说法质疑v引发。引发。第9页v 十七世纪下半叶，在前人工作基础上，英国十七世纪下半叶，在前人工作基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己国度里独自研究和完成了微积分创建工作，即使这度里独自研究和完成了微积分创建工作，即使这只是十分初步工作。牛顿和莱布尼茨建立微积分只是十分初步工作。牛顿和
8、莱布尼茨建立微积分出发点是直观无穷小量。但贝克莱讽刺讽刺说：出发点是直观无穷小量。但贝克莱讽刺讽刺说：无穷小作为一个量，既不是无穷小作为一个量，既不是0 0，又不是非，又不是非0 0，那它，那它一定是一定是“量鬼魂量鬼魂”了。这就是著名了。这就是著名“贝克莱悖论贝克莱悖论”。第10页v 对牛顿微积分这一责难并不是由数学家提出，对牛顿微积分这一责难并不是由数学家提出，不过，牛顿及他以后一百年间数学家，都不能有不过，牛顿及他以后一百年间数学家，都不能有力地还击贝克莱这种攻击。到力地还击贝克莱这种攻击。到1919世纪，一批出色世纪，一批出色数学家辛勤、天才工作，终于逐步建立了严格极数学家辛勤、天才工
9、作，终于逐步建立了严格极限理论，并把它作为微积分基础。应该指出，严限理论，并把它作为微积分基础。应该指出，严格极限理论建立是逐步、漫长。从波尔查诺、阿格极限理论建立是逐步、漫长。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人工作开始，到威尔斯贝尔、柯西、狄里赫利等人工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托工作结束，中间经历了半特拉斯、戴德金和康托工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上处理了矛盾，为数学分析奠定个多世纪，基本上处理了矛盾，为数学分析奠定了严格基础。了严格基础。第11页 假如说第一次数学危机实质是假如说第一次数学危机实质是“不是不是 有理数，而是无理数有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机
10、。那么第二次数学危机 实质是什么？由实质是什么？由“无穷小无穷小”引发第二次数学危机，引发第二次数学危机，实质上是缺乏严密极限概念和极限理论作为微积实质上是缺乏严密极限概念和极限理论作为微积分学基础。分学基础。第12页三三 第三次数学危机第三次数学危机v 到到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何出现使几何理论愈加扩展和完善；实数理论几何出现使几何理论愈加扩展和完善；实数理论（和极限理论）出现使微积分有了牢靠基础；群（和极限理论）出现使微积分有了牢靠基础；群理论、算术公理出现使算术、代数逻辑基础更为理论、算术公理出现使算术、代数逻辑基础更为明晰，等等。人们水到
11、渠成地思索：整个数学基明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学基础在哪里？正在这时，础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学基了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学基础。础。第13页v 正当很多人认为完全严格数学已经建立起来正当很多人认为完全严格数学已经建立起来时候，罗素悖论出现了。集合论中竟然有逻辑上时候，罗素悖论出现了。集合论中竟然有逻辑上矛盾！罗素悖论引发危机，就称为第三次数学危矛盾！罗素悖论引发危机，就称为第三次数学危机。机。第14页v 罗素悖论是：以罗素悖论是：以M M表示表示“是其本身组员全部是其本身组员全部集合集合集合
12、集合”，而以，而以N N表示表示“不是它本身组员全部不是它本身组员全部集合集合集合集合”，于是任一集合或者属于，于是任一集合或者属于M M，或者属，或者属于于N N，二者必居其一，且只居其一。然后问：集，二者必居其一，且只居其一。然后问：集合合 N N是否是它本身组员？生活中有个形象例子是否是它本身组员？生活中有个形象例子:剪发师宣告了这么一条标准：他给全部不给自己剪发师宣告了这么一条标准：他给全部不给自己剪发人剪发，而且，只给村里这么人剪发。那么剪发人剪发，而且，只给村里这么人剪发。那么剪发师是否自己给自己剪发？剪发师是否自己给自己剪发？第15页v 为了消除悖论，数学家们要将康托为了消除悖论
13、，数学家们要将康托“朴素集朴素集合论合论”加以公理化；而且要求结构集合标准，比加以公理化；而且要求结构集合标准，比如，不允许出现如，不允许出现“全部集合集合全部集合集合”、“一切属于一切属于本身集合本身集合”这么集合。这么，大致完成了由朴素这么集合。这么，大致完成了由朴素集合论到公理集合论发展过程，悖论消除了。不集合论到公理集合论发展过程，悖论消除了。不过，新系统相容性还未证实。这就是说，第三次过，新系统相容性还未证实。这就是说，第三次数学危机处理，并不是完全令人满意。数学危机处理，并不是完全令人满意。第16页四四 总结对比总结对比时间时间起因起因代表人物代表人物结果结果第一次第一次 危危机机v公元前公元前4 无理数无理数毕达哥拉毕达哥拉斯学派斯学派古典逻辑古典逻辑与欧氏几与欧氏几何学何学 第二次第二次 危危机机十七世纪十七世纪无穷小无穷小牛顿牛顿贝克莱贝克莱 v严严格格实实数理数理论论 第三次第三次 危危机机十九世纪十九世纪末末悖论悖论 罗素罗素v集合集合论论完善完善第17页Thank You!第18页
