1、2.4.32.4.3 曲线凹凸性与拐点曲线凹凸性与拐点曲线凹凸性与拐点曲线凹凸性与拐点第四节第四节 导数应用导数应用1/13观察以下两图特点：观察以下两图特点：一、曲线凹凸性与拐点一、曲线凹凸性与拐点一、曲线凹凸性与拐点一、曲线凹凸性与拐点2/13.曲线凹凸性定义曲线凹凸性定义定义定义2.6 若在某区间若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处内曲线段总位于其上任意一点处切线上方，则称该曲线段在切线上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹内是凹,(a,b)为曲线凹区间为曲线凹区间；若曲线段总位于其上任一点处切线下方，则称该曲线段在若曲线段总位于其上任一点处切线下方，则称该曲线段在(a,b)内
2、是凸内是凸,(a,b)为曲线凸区间为曲线凸区间.3/13 在我们不知道曲线形状时候在我们不知道曲线形状时候,用曲线凹凸性定义判断曲线凹凸性显然用曲线凹凸性定义判断曲线凹凸性显然是不可能是不可能,怎样方便地判断曲线凹凸性呢怎样方便地判断曲线凹凸性呢?2.曲线凹凸性判定曲线凹凸性判定上图可见：上图可见：切线斜率切线斜率k 凹曲线凹曲线4/13上图可见：上图可见：凸曲凸曲线 切切线斜率斜率k 5/13定理定理2.12 设函数设函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内内二阶导数二阶导数 存在存在(1)若在若在(a,b)内内 f (x)0,则曲线则曲线 y=f(x)在区间在区间(a,b)内是内是凹凹；(
3、2)若在若在(a,b)内内 f (x)0,则曲线则曲线 y=f(x)在区间在区间(a,b)内是内是凸凸。6/13 例例1解解注意到：注意到：7/13注意：注意：拐点一定在曲线上。拐点一定在曲线上。怎怎样判断曲判断曲线拐点呢？拐点呢？定义定义2.7 连续曲线连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧分界点上凹弧与凸弧分界点 称为曲线称为曲线拐点拐点.函数凹凸性函数凹凸性凹凸区间凹凸区间凹凸区间分界点（凹凸区间分界点（拐点拐点）8/13拐点拐点 凹凸性分界点凹凸性分界点 切线斜率切线斜率k凸曲凸曲线 切切线斜率斜率k 凹曲线凹曲线前已述及:所以所以:凸曲凸曲线 凹曲线凹曲线但反向不一定成立9/13据以上分析
4、总结出曲线凹凸区间与拐点判定步骤据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点判定步骤:(1)(1)求函数求函数y=f(x)定义域定义域;(2)(2)求出求出f“(x)，找出定义域内使，找出定义域内使f”(x)=0点和点和f“(x)不存在不存在 点；点；(3)(3)用上述各点按照从小到大次序依次将定义域分成若干用上述各点按照从小到大次序依次将定义域分成若干 个小区间，考查每个小区间上个小区间，考查每个小区间上f“(x)符号；从而判断曲符号；从而判断曲 线在各个子区间上凹凸性线在各个子区间上凹凸性,最终确定拐点最终确定拐点.10/13例例2 求曲线求曲线凹凸区间及拐点凹凸区间及拐点(2)(3)列表考查函数凹凸区间及拐点列表考查函数凹凸区间及拐点:解解 (1)函数定义域为函数定义域为凹凹拐点拐点（2，17）凸凸拐点拐点(，)凹凹f(x)00f(x)(2,+)2(0,2)0(-,0)x11/13例例3 解解因为拐点一定在曲线上，所以因为拐点一定在曲线上，所以从而有从而有即即(1)式和式和(2)式联立解得式联立解得:12/133、小结13/13
