1、第四章第四章 地球椭球及其地球椭球及其数学投影变换基本理论数学投影变换基本理论第1页第四章 第一讲主要内容一、地球椭球几何、物理参数二、地球椭球参数间相互关系三、旋转椭球面上几个坐标系四、各坐标系间关系第2页上一讲应掌握内容上一讲应掌握内容1、垂线偏差公式、垂线偏差公式和和拉普拉斯方程拉普拉斯方程2、测定垂线偏差方法测定垂线偏差方法 天文大地测量方法、天文大地测量方法、重力测量方法重力测量方法、天文重力测、天文重力测量方法量方法 、GPSGPS测量方法测量方法 (维宁.曼尼兹公式)3、测定大地水准面差距方法、测定大地水准面差距方法 地球重力场模型法、地球重力场模型法、斯托克司方法斯托克司方法、
2、卫星无线电卫星无线电测高方法、测高方法、GPS GPS高程拟正当、高程拟正当、最小二乘配置法最小二乘配置法等等 第3页上一讲应掌握内容（续）上一讲应掌握内容（续）4.4.实现椭球定位方法实现椭球定位方法 一点定位一点定位 多点定位多点定位5.5.确定地球形状基本概念确定地球形状基本概念 天文大地测量方法：天文大地测量方法：弧线法；面积法弧线法；面积法 重力测量方法重力测量方法 第4页一、一、旋转椭球基本几何参数旋转椭球基本几何参数旋转椭球形状和大小惯用子午椭圆五个基本几何参数(或称元素)表示:长半轴长半轴 a 短半轴短半轴 b 椭圆扁率椭圆扁率 椭圆第一偏心率椭圆第一偏心率 椭圆第二偏心率椭圆
3、第二偏心率b平平行行圈圈赤赤道道K.午午子子圈圈OXYZANSaae和和e是子午椭圆焦点离开中心距离与椭圆半径之比。是子午椭圆焦点离开中心距离与椭圆半径之比。第5页它们之间几个关系式：它们之间几个关系式：b平平行行圈圈赤赤道道K.午午子子圈圈OXYZANSaa用两个几何元素即可椭球形状和大小，但最少一个长度元素。通惯用:a,或旋转椭球直角坐标方程旋转椭球直角坐标方程黑板画图第6页二、地球椭球（正常椭球）二、地球椭球（正常椭球）4个基本参数及关系个基本参数及关系地球椭球（正常椭球）仅用几何元素不能反应其物理意义，通称用4个基本参数来反应几何物理特征。依据4个基本参数可求得椭球扁率：近似公式：精密
4、公式：式中：第7页三、旋转椭球计算惯用符号及相互关系三、旋转椭球计算惯用符号及相互关系为简化书写，在旋转椭球计算中常引入以下符号将：a、b、c、e、e、t、2、W、V写在黑板第8页四、经线和纬线曲线方程四、经线和纬线曲线方程起始子午线曲线方程：起始子午线曲线方程：经度为经度为L经线方程：经线方程：两个面截线纬度为纬度为B纬线方程：纬线方程：第9页五、经线、纬线、法线特征五、经线、纬线、法线特征BM经线与纬线相互垂直除赤道、两极上法线外，法线不经过椭球中心纬度较高点，其法线与旋转轴交点就较低同一点经线切线经线切线与纬线切线纬线切线垂直，也与法线法线垂直，三者可组成三维直角坐标系平行圈主法线主法线
5、、副法线副法线及切线切线亦可组成三维直角坐标系RSTPONZ第10页六、表示旋转椭球面上点几个坐标系六、表示旋转椭球面上点几个坐标系1.1.子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设椭球面上P点大地经度为L，在过P点子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y平面直角坐标系。(L,x,y)2.2.地心纬度坐标系地心纬度坐标系 设椭球面上P点大地经度为L，在此子午面上以椭圆中心O为原点，以地心纬度地心纬度，向经为参数建立坐标系。点位置用（L L，）表示。3.3.归化纬度坐标系归化纬度坐标系 设椭球面上P点大地经度为L，在此子午面上以椭圆中心O为圆心，以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长与辅助圆相交点，则
6、OP与X轴夹角称为P点归化纬度归化纬度u，以归化纬度u 为参数建立坐标系。点位置用（L L，u）表示。第11页图图4.4.大地极坐标系大地极坐标系yxoPP2xyyxoPPP1P2yxouNPMAS第12页七、各坐标系间关系七、各坐标系间关系（一）（一）子午平面坐标系与大地坐标系关系 第13页N子午平面坐标系与大地坐标系关系(续)第14页L（二）空间直角坐标与子午面直角坐标系关系yxx第15页（三）空间直角坐标系与大地坐标系关系 在椭球面上点：在椭球面上点：不在椭球面上点：不在椭球面上点：第16页由空间直角坐标计算对应大地坐标由空间直角坐标计算对应大地坐标书上错第17页xy（四）（四）空间直角
7、坐标系与归化纬度坐标系关系B始子午线参数方程始子午线参数方程空间直角坐标系空间直角坐标系同归化纬度坐标系关系同归化纬度坐标系关系对于经度为任意值椭球面上有ba第18页yM0 xO（五）（五）空间直角坐标系与地心纬度坐标系关系第19页（六）（六）B、u、之间关系之间关系在赤道圈上：B=u=0在两极处:B=u=90在其它处:Buu Bn 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间差异很小，经过大地纬度、地心纬度、归化纬度之间差异很小，经过计算，当计算，当B=45时时第20页八、旋转椭球面几何性质八、旋转椭球面几何性质对称性对称性：对于三个坐标面、三个坐标轴、坐标原点都是对称。有界性有界性：正则性正则性：旋转
8、椭球面是一个连续、封闭正则曲面，即每个曲面点都有唯一确定非零法向量。不可展性不可展性：（柱面、锥面是可展曲面）地图投影须顾及旋转椭球面不可展性。第21页结束谢谢谢谢!第22页天文大地测量方法天文大地测量方法弧线法：弧线法：按子午圈弧长或平行圈弧长弧度测量法。按子午圈弧长或平行圈弧长弧度测量法。在子午圈上测量纬度差，在平行圈上测量经度差。在子午圈上测量纬度差，在平行圈上测量经度差。面积法：面积法：当代推求新椭球元素是在原有旧椭球元素当代推求新椭球元素是在原有旧椭球元素基础上，综合利用天文、大地、重力及空间测量等基础上，综合利用天文、大地、重力及空间测量等资料，同椭球定向、定位等一起实现。资料，同
9、椭球定向、定位等一起实现。第23页广义弧度测量方程式广义弧度测量方程式第24页广义弧度测量方程式广义弧度测量方程式其未知数是三个平移参数：其未知数是三个平移参数：X0，Y0，Z0，三个旋转参数：，三个旋转参数：x，y，z，一个尺度比参数，一个尺度比参数m，及椭球大小和形，及椭球大小和形状参数状参数a，。通常，在实用上舍。通常，在实用上舍去旋转和尺度比参数。去旋转和尺度比参数。在每个天文大地点上都能够列出如上弧度方程式，在每个天文大地点上都能够列出如上弧度方程式，依据依据条件下求出椭球元素、定位元素、定向元素等条件下求出椭球元素、定位元素、定向元素等第25页 多点定位方法过程多点定位方法过程（对
10、于我国）（对于我国）1)由由广义弧度测量方程广义弧度测量方程采取最小二乘法求椭球定位参数采取最小二乘法求椭球定位参数采取采取IUGG 75椭球参数。椭球参数。2)由广义弧度测量方程计算得到大地原点上由广义弧度测量方程计算得到大地原点上:大地原点处大地原点处80椭球垂线偏差椭球垂线偏差K=-1.9及及K=-1.6，高程异，高程异常值差常值差K=-14.2m。忽略两种椭球坐标轴指向不平行影响。忽略两种椭球坐标轴指向不平行影响。3)再由大地原点上测得再由大地原点上测得 ，按垂线偏差公式，按垂线偏差公式与拉普拉斯方程计算大地原点起算数据。与拉普拉斯方程计算大地原点起算数据。利用拉普拉斯点结果和以有椭球参数求解第26页重力测量方法重力测量方法应用克莱罗定理确定椭球大小和形状参数。在地面上最少测定二个点重力，并把它们归算到平均海水面上，并用天文方法测定这两点大地纬度及地球自转角速度，用几何方法确定椭球长半轴a，就可用克莱罗定理求解椭球扁率。第27页
