1、2-1第二章第二章第二章第二章 参数预计参数预计第1页2-1经过子样经过子样对总体未对总体未知参数进知参数进行预计行预计内内 容容参数点预计参数点预计参数区间预计参数区间预计点预计评判标准点预计评判标准第2页什么是参数预计？什么是参数预计？参数是刻画总体某方面概率特征数量参数是刻画总体某方面概率特征数量.当此数量未知时当此数量未知时,从总体抽出一个子样，从总体抽出一个子样，用某种方法对这个未知参数进行预计就用某种方法对这个未知参数进行预计就是参数预计是参数预计.比如，比如，X N(,2),点预计点预计区间预计区间预计若若,2未知未知,经过结构样本函数经过结构样本函数,给出给出它们预计值或取值范
2、围就是参数预计它们预计值或取值范围就是参数预计内容内容.第3页参数预计类型参数预计类型点预计点预计 预计未知参数值预计未知参数值区间预计区间预计 预计未知参数取值范围，预计未知参数取值范围，并使此范围包含未知参数并使此范围包含未知参数 真值概率为给定值真值概率为给定值.第4页2.1 点预计方法点预计方法2-52.1点预计点预计惯用点预计方法介绍惯用点预计方法介绍q 频率替换法频率替换法利用事件A 在 n 次试验中发生频率作为事件A 发生概率 p 预计量第5页例例1 1 设总体X N(,2),在对其作28 次 独立观察中,事件“X 4”出现了21 次,试用频率替换法求参数 预计值.解解 由查表得
3、于是 预计值为2-8例例1 1第6页方方法法用子样 k 阶原点矩作为总体 k 阶原 点矩预计量,建立含有待估参数 方程,从而解出待估参数2-9普通,不论总体服从什么分布,总体期望 与方差 2 存在,则它们矩预计量分别为q 矩法矩法 矩法矩法第7页2-10实际上，按矩法原理，令第8页例例2 2 设从某灯泡厂某天生产灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050,1100,1080,1120,1200 1250,1040,1130,1300,1200试用矩法预计该天生产灯泡平均寿命及寿命分布方差.解解7-14例例2 2第9页例例3 3 设总体 X E(),X1,X2,Xn为总体 样本
4、,求 矩法预计量.解解令7-13故例例3434例例4 4 设总体 X U(a,b),a,b 未知,求参数 a,b 矩法预计量.解解因为第10页令解得第11页例例5 5 设总体 X 解解7-15例例5 5,其密度函数为求 和 矩预计量.令令第12页令7-16解得第13页2-11普通,设待预计参数为总体 r 阶矩记为子样 X1,X2,Xn r 阶矩为令解上述方程组,得 k 个统计量：未知参数 1,k 矩预计量矩法小结矩法小结第14页q 最大似然预计法大似然预计法 思想方法思想方法：一次试验就出现 事件有较大概率 比如:有两外形相同箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球
5、 99个红球现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得球是白球.答答:第一箱.7-17问问:所取球来自哪一箱？最大似然法最大似然法第15页例例6 6 设总体 X 服从0-1分布,且P(X=1)=p,用最大似然法求 p 预计值.解解总体 X 概率分布为 设 x1,x2,xn为总体样本X1,X2,Xn样本值,则7-18例例6 6第16页对于不一样 p,L(p)不一样,见右下列图现经过一次试验，发生了，事件则 p 取值应使这个事件发生概率最大.7-19第17页在允许范围内选择 p，使L(p)最大 注意到，ln L(p)是 L 单调增函数,故若某个p 使ln L(p)最大,则这个p 必使L(p)
6、最大。7-20所以为所求 p 预计值.第18页普通,设 X 为离散型随机变量,其分布律为则样本 X1,X2,Xn概率分布为7-21或称 L()为样本似然函数第19页称这么得到 为参数 极大似然预计值极大似然预计值称统计量为参数 极大似然预计量极大似然预计量7-22MLE简记mle简记L()选择适当=,使 取最大值,即最大似然法思想第20页若 X 连续,取 f(xi,)为Xi 密度函数似然函数为7-23注注1 1注注2 2未知参数能够不止一个,如1,k 设X 密度(或分布)为则定义似然函数为第21页若关于1,k可微,则称为似然方程组若对于某组给定样本值 x1,x2,xn，参数 使似然函数取得最大
7、值,即则称为1,k 极大似然预计值7-24第22页例例7 7 设总体 X N(,2),x1,x2,xn 是 X 样本值,求,2 极大似然预计.解解7-26例例7 7第23页,2 最大似然预计量分别为似然方程组为7-27第24页最大似然预计步骤最大似然预计步骤1）写出似然函数 L2）求出,使得7-28可得未知参数最大似然预计值若 L可微,解似然方程组若 L不可微,需用其它方法求最大似然预计值.请看下例：步骤步骤第25页例例8 8 设 X U(a,b),x1,x2,xn 是 X 一个样本值,求 a,b 极大似然预计值与极大似然预计量.解解 X 密度函数为似然函数为7-30例例8 8第26页似然函数
8、只有当 a xi b,i=1,2,n 时才能取得最大值,且 a 越大,b 越小,L 越大.令xmin=min x1,x2,xnxmax=max x1,x2,xn取则对满足一切 a b,7-31都有第27页故是 a,b 极大似然预计值.分别是 a,b 极大似然预计量.7-32 问问 题题1)待估参数极大似然预计是否一定存在?2)若存在,是否惟一?第28页 设 X U(a ,a+),x1,x2,xn 是 X一个样本,求 a 极大似然预计值.解解 由上例可知,当时,L 取最大值 1,即显然,a 极大似然预计值可能不存在,也可能不惟一.7-33例例9 9例例9 9第29页不但如此,任何一个统计量若满足
9、都能够作为 a 预计量.7-34第30页极大似然预计不变性极大似然预计不变性设设 是是 极大似然预计值极大似然预计值,u()()是是 函数函数,且有单值反函数且有单值反函数 =(u),u U 则则 是是 u()极大似然预计值极大似然预计值.7-35不变性不变性第31页如如 在正态总体N(,2)中,2极大 似然预计值为是 2单值函数,且含有单值反函数，故 极大似然预计值为lg 极大似然预计值为7-36第32页q 特殊方法特殊方法 （对正态总体参数特殊预计）（对正态总体参数特殊预计）用子样中位数作为总体期望预计用子样极差函数作为总体均方差预计特殊法特殊法值查表2-1（P.41）第33页设若是中位数
10、,则对任意有近似近似即当 较大时，近似近似所以，当 较大时可取定理第34页设总体设总体为子样极差，则为子样极差，则由上可见：由上可见：预计预计产生平均平方产生平均平方误差为误差为用用标准差为标准差为其其系数系数可查表可查表 2-1（P.41）第35页当当时时,将子样数据等分成若干组将子样数据等分成若干组,每每组数据不超出组数据不超出10个个,取各组极差平均取各组极差平均然后用然后用预计预计查查 时，时，取每一组中数据个数取每一组中数据个数.第36页例例1010 设一批机器零件毛坯重量服从正态分布,随机抽取10件,得子样(单位kg):210,243,185,240,215,228,196,235
11、,200,199解解 将子样由小到大重排例10用不一样方法预计总体参数值.第37页其中其中误差误差误差误差查表查表 2-1第38页例11 某班某班50名学生概率考试成绩以下名学生概率考试成绩以下：75 65 80 81 92 63 77 79 54 9885 72 66 84 83 60 82 78 64 9081 78 76 86 68 76 73 71 88 8765 57 46 89 78 66 87 79 84 7896 88 67 38 67 75 83 82 68 85例例1111若认为学生成绩总体若认为学生成绩总体试用试用特殊方法预计总体参数值特殊方法预计总体参数值.第39页解解1 75 65 80 81 92 63 77 79 54 982 85 72 66 84 83 60 82 78 64 903 81 78 76 86 68 76 73 71 88 874 65 57 46 89 78 66 87 79 84 785 96 88 67 38 67 75 83 82 68 854430204358组组成成 绩绩将数据等分为将数据等分为5 5组组.第40页 结结 论论 普通矩法普通矩法 与最大似与最大似 然法优于然法优于 特殊方法特殊方法 第41页7-39习题习题作业 P.76 第二章2 4 6 38 10 第42页
