1、第1章 数字逻辑基础1.1 数字信号与数字电路1.2 数制与编码1.3 逻辑代数的基本定律与规则1.4 逻辑函数的卡诺图化简第第1章章 数字逻辑基础数字逻辑基础第1章 数字逻辑基础1.1.1 模拟量与数字量模拟量与数字量自然界中存在的物理量千变万化，但就其变化规律而言，可以分为模拟量和数字量两大类。模拟量是指在时间上和幅度上都连续变化的物理量。图1-1(a)所示为某电路电压随时间变化的曲线。很显然，电压是随着时间的增加而连续变化的。再如一天中温度的变化也是连续的，所以，温度和电压等都属于模拟量。1.1 1.1 数字信号与数字电路数字信号与数字电路第1章 数字逻辑基础数字量是指在时间上和幅度上都
2、是不连续变化的物理量，或者说是离散的物理量，如开关的状态、生产线上产品的件数、人口统计时人口的数量等。图1-1（b）所示为某学校近几年的招生人数变化图，从图中可以看到，每年招生人数是跳跃式变化的，而非连续变化。模拟量的数字化是对模拟量分离取值的过程。如对气温的统计，每间隔一定时间记录一次，只按整度数记录，最小的表示单位是“度”，而实际气温变化是连续的。所以，记录气温的过程实际上是对模拟量数字化的结果。第1章 数字逻辑基础图1-1 模拟量与数字量(a)电压随时间变化曲线；(b)学校招生人数变化图第1章 数字逻辑基础1.1.2 数字信号和数字电路数字信号和数字电路表示数字量的信号称为数字信号，以数
3、字信号方式工作的电路称为数字电路。一位数字信号只有0和1两个数码，用电路状态表示这两个数非常方便。相对模拟电路而言，数字电路具有误差小、抗干扰能力强、精度高等优点。在数字电路中，我们将研究脉冲信号的产生与变换电路、分析与设计数字电路的数学工具逻辑代数、组合电路和时序电路的分析与设计等。图1-2所示为一个数字频率计，它用来测量输入正弦信号的频率，其中包含了许多数字电路。第1章 数字逻辑基础图1-2 数字频率计组成框图第1章 数字逻辑基础1.2.1 数制数制1.十进制十进制十进制是日常生活和工作中最常用的进位计数制。在十进制数中，每一位可以是09这10个数码中的一个。我们把十进制数中每一位可能出现
4、的数码的个数称之为十进制计数的基数，所以，十进制数的基数是10。低位和相邻高位间的进位关系为“逢十进一”。1.2 1.2 数数 制制 与与 编编 码码第1章 数字逻辑基础例如，任意一个十进制数，如(25)10(本书中用下脚注表示括号里的数的进制数。下脚注10表示括号里的数为十进制数)，都可以写成下面的表达式：(25)10=2101+5100从上式可以看出，十进制数中的每一位数码都乘上了10的幂次方。我们把102、101、100分别称为十进制数各位对应的权值，其大小为基数的幂次方。第1章 数字逻辑基础2.二进制二进制在数字电路中应用最广的计数进制是二进制。在二进制数中，每一位仅有0和1两个可能的
5、数码，所以二进制数的基数为2。低位和相邻高位间的进位关系为“逢二进一”，故称二进制。二进制数各位的权为2i。例如，二进制数(1011)2可以展开为(1011)2=123+022+121+120=(11)10上式表明，二进制数(1011)2代表的十进制数的大小为11。第1章 数字逻辑基础3.八进制八进制八进制数的每一位有07共8个可能的数码，所以计数基数为8。低位和相邻高位间的进位关系为“逢八进一”。例如，八进制数(372)8可以展开为(372)8=382+781+280=(250)10所以，八进制数(372)8代表的十进制数的大小为250。第1章 数字逻辑基础4.十六进制十六进制十六进制数的每
6、一位有16个可能的数码，分别用09、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)表示，字母AF分别表示十六进制数的1015。十六进制数的基数为16，进位规律为“逢十六进一”。例如，十六进制数(D7)16可以展开为(D7)16=13161+7160=(215)10所以，十六进制数(D7)16表示的十进制数的大小为215。第1章 数字逻辑基础1.2.2 数制间的转换数制间的转换 1.二二十转换十转换把二进制数转换为等值的十进制数称为二十转换。转换时只要将二进制数按多项展开式展开，求出系数与位权之积，然后把各项乘积相加，即可得到等值的十进制数了。【例例1.1】把二进制数(1
7、01111)2转换为十进制数。(101111)2=125+024+123+122+121+120=(47)10第1章 数字逻辑基础【例例1.2】把(21)10转换为二进制数。转换方法采用“除2取余法”，即将十进制数的整数部分除以2，得到商和余数，该余数即为二进制数整数部分的最低位K0；将除以2所得的商再次除以2，则所得余数为K1；依次类推，直到商等于0为止，即可求得二进制整数的每一位了。其整数部分的除法算式如下：第1章 数字逻辑基础【例例1.3】将(53)10转换为八进制数。其整数除法算式如下：所以,(53)10=(65)8。第1章 数字逻辑基础3.二二八、八、十六转换十六转换二进制转换为八进
8、制或十六进制时，其整数部分从低位向高位每三位或四位为一组，最高一组不够时，用0补足，然后把每三位一组或四位一组的二进制数用相应的八进制或十六进制数表示。【例例1.4】将(11011100)2分别转换为八进制数和十六进制数。分别将二进制数三位、四位一组可得：(11011100)2=(11,011,100)2=(334)8(11011100)2=(1101,1100)2=(DC)16第1章 数字逻辑基础4.八、八、十六十六二转换二转换转换时只需将八、十六进制数的每一位用等值的三位、四位二进制数替代就行了。【例例1.5】将(54)8、(A8)16转换为二进制数。(54)8=(101,100)2(A8
9、)16=(1010,1000)2第1章 数字逻辑基础1.2.3 编码编码用特定的数码来表示不同的事物的过程称为编码。日常生活中关于编码的例子有很多，如电视机的遥控器、电脑、手机、计算器的输入设备键盘等，都是通过编码的原理将输入要求转换为电视、电脑、手机能够识别的二进制代码。通常，经过编码后得到的特定数码已没有表示数量大小的含义，只是表示不同事物的代号而已，这些数码常称为代码。例如在举行体育比赛时，为便于识别运动员，通常给每个运动员编一个号。显然，这些号码仅仅表示不同的运动员，已失去了数量大小的含义。第1章 数字逻辑基础1.二二十进制码十进制码(BCD码码)二十进制码是指用四位二进制代码表示一位
10、十进制数的编码方式，简称BCD码。由于四位二进制数共有16种组合，从中取出10个来表示一位十进制数，可以有很多种方案，即有多种不同的编码。表1-1列出了几种常见的BCD码。第1章 数字逻辑基础表表1-1 几种常见的几种常见的BCD码码 第1章 数字逻辑基础8421BCD码是BCD代码中最常用的一种。由于代码中从左到右每一位的1分别表示8、4、2、1，所以把这种码叫作8421码。每一位的1代表的十进制数称为这一位的权。所以，8421码为一种有权码，即把每一位的1代表的十进制数相加，得到的结果就是它所表示的十进制数码。如(1001)8421BCD=18+04+02+11=(9)10。5421码、2
11、421码是另外两种有权码，只是权值和8421码不同。如(1001)5421BCD=15+11=(6)10。余3码的编码规则和8421码、5421码、2421码不同。如果把每一个余3码看作四位二进制数，则它所对应的十进制数值要比它表示的十进制数多3，所以称这种码为余3码。余3码中，每一个余3码和它所表示的十进制数之间没有数值对应关系，所以，余3码属于无权码。第1章 数字逻辑基础表示一个十进制数可以有很多种编码形式。例如，十进制数75可以表示为(75)10=(01110101)8421BCD=(10101000)5421BCD=(10101000)余3码*2.格雷码格雷码格雷码是一种无权码，其特点
12、是任意两个相邻码组之间只有一位代码不同。表1-2给出了四位格雷码的编码顺序。格雷码在传输过程中引起的误差较小，所以是一种高可靠性编码。第1章 数字逻辑基础表表1-2 四四 位位 格格 雷雷 码码 第1章 数字逻辑基础1.3.1 逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数1.逻辑变量逻辑变量和初等代数中变量用字母表示一样，逻辑代数中的变量也用字母A、B、C等表示，这种变量称为逻辑变量。逻辑变量虽然也用字母表示，但其表示的含义以及取值都发生了变化。逻辑变量只有“1”和“0”两种可能的取值。这里“1”和“0”已不再表示数值的大小，而是代表完全对立的两种状态。例如，如果用“1”表示开关闭合，“0”则表示开关
13、断开；用“1”表示高电位，“0”则表示低电位。1.3 1.3 逻辑代数的基本定律与规则逻辑代数的基本定律与规则 第1章 数字逻辑基础2.逻辑函数逻辑函数逻辑变量按照一定的逻辑运算规则构成的运算关系称为逻辑函数，用F=f(A,B,C,)表示，式中，A、B、C称为输入逻辑变量(简称输入变量)，F称为逻辑函数。实际上，逻辑函数F也只有“0”和“1”两种取值，所以F也是一个逻辑变量。第1章 数字逻辑基础3.逻辑函数的描述逻辑函数的描述 同一逻辑函数可有多种描述方法：逻辑表达式、真值表、卡诺图、逻辑图、波形图等。(1)逻辑表达式。用逻辑代数的基本运算表示逻辑变量之间关系的代数式叫作逻辑表达式。逻辑表达式
14、的形式很多，基本的逻辑表达式有两种：与或式和或与式。(2)真值表。逻辑函数的真值表是一张用来描述输入变量与输出函数对应取值关系的表格。在真值表中，输入变量的各种取值组合和函数取值一一对应。第1章 数字逻辑基础(3)卡诺图。卡诺图是图形化的真值表，如果把各种输入变量取值组合下的输出函数值填入一种特殊的方格图中，即可得到逻辑函数的卡诺图。(4)逻辑图。用代表逻辑关系的逻辑符号所构成的逻辑函数关系图形叫作逻辑电路图，简称逻辑图。(5)波形图。根据输入变量的波形画出与之相对应的输出函数波形，即得到逻辑函数的工作波形图。以上各种描述方法将在后面逐一介绍。第1章 数字逻辑基础1.3.2 基本逻辑运算基本逻
15、辑运算 1.与逻辑与逻辑为了便于理解与逻辑的含义，我们来看一个简单的开关电路。图1-3中，只要、两个开关中有一个是断开的，指示灯F就不会发亮，而只有当、两个开关同时闭合时，指示灯F才会发亮。也就是说，指示灯能否发亮取决于开关A、B的状态。如果把灯亮作为结果，决定灯亮时开关A、B的状态作为条件，我们称这种条件与结果之间的关系叫作与逻辑关系，简称与逻辑，也叫作逻辑乘。第1章 数字逻辑基础图1-3 与逻辑开关电路第1章 数字逻辑基础在逻辑代数中，把与逻辑关系看作变量A、B之间的一种基本逻辑运算，简称与运算。描述与逻辑关系的表达式称为与逻辑表达式。与逻辑表达式为F=AB=AB=AB其中，“”、“”均表
16、示与逻辑的运算符，读做“与”或“逻辑乘”。若以A、B表示开关的状态，并用1表示开关闭合，用0表示开关断开；以F表示指示灯的状态，并用1表示灯亮，用0表示灯灭，则可列出用0、1表示的与逻辑关系的图表，如表1-3所示。这种图表叫作逻辑真值表，简称真值表。可见，所谓真值表是指把逻辑变量取值的所有可能组合及其对应的结果列成表格的形式。第1章 数字逻辑基础表表1-3 与逻辑真值表与逻辑真值表 第1章 数字逻辑基础由真值表可知，与运算的运算规则是：输入全1，输出才为1，即00=0 10=01=0 11=1第1章 数字逻辑基础2.或逻辑或逻辑或逻辑可以用图1-4所示的开关电路来帮助理解。图1-4中A、B两个
17、开关只要有一个或一个以上是闭合的，指示灯F就会发亮。这种条件与结果之间的关系叫作或逻辑关系，简称或逻辑，也叫作逻辑加。或逻辑表达式为F=A+B其中，“+”为或逻辑的运算符，读做“或”或“逻辑加”。第1章 数字逻辑基础图1-4 或逻辑开关电路第1章 数字逻辑基础和描述与逻辑一样，若以A、B表示开关的状态，并用1表示开关闭合，用0表示开关断开；以F表示指示灯的状态，并用1表示灯亮，用0表示灯灭，则可列出或逻辑关系的真值表，如表1-4所示。由或逻辑的真值表可以得到或运算的运算规则是：输入有1，输出就为1，即0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=1 第1章 数字逻辑基础表表1-4 或逻辑真值表或逻辑
18、真值表 第1章 数字逻辑基础3.非逻辑非逻辑图1-5中开关A闭合时，指示灯不亮；开关断开时，指示灯反而发亮。这种条件与结果之间的关系叫作非逻辑关系，简称非逻辑，也叫作逻辑求反。非逻辑的真值表如表1-5所示。第1章 数字逻辑基础图1-5 非逻辑开关电路 第1章 数字逻辑基础表表1-5 非逻辑真值表非逻辑真值表 第1章 数字逻辑基础非逻辑的运算关系表达式为其中，变量A上的短横线代表逻辑非，读作“A非”或“非A”。非运算的运算规则是：输出与输入相反，即第1章 数字逻辑基础4.复合逻辑关系复合逻辑关系与、或、非是逻辑代数中最基本的逻辑运算，而复杂的逻辑问题往往需要用与、或、非的复合逻辑运算来实现。比较
19、常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或和同或等。第1章 数字逻辑基础表1-6给出了这些关系的真值表。()与非逻辑。把与逻辑运算和非逻辑运算相结合可实现与非逻辑。其逻辑关系式为运算顺序为：先进行与运算，然后进行非运算。由真值表1-6可知，只有、全部为时，输出才为。与非运算规则是：输入全1，输出才为0。第1章 数字逻辑基础表表1-6 复合逻辑关系真值表复合逻辑关系真值表 第1章 数字逻辑基础(2)或非逻辑。把或逻辑运算和非逻辑运算相结合可实现或非逻辑。其逻辑关系式为运算顺序为：先进行或运算，然后进行非运算。由真值表1-6可知，只要、中有1，则输出为0。或非运算规则是：输入有1，输出就为0。(
20、3)与或非逻辑。与或非逻辑关系式为运算顺序为：先进行与运算，然后进行或运算，最后进行非运算。只有、全为或、全为时，输出为，否则为。请读者自己列出其真值表。第1章 数字逻辑基础(4)异或逻辑。异或逻辑是只有两个输入逻辑变量参与运算的逻辑函数。它表示这样一种逻辑关系：当两个输入不同时，输出为；而当两个输入相同时，输出为。其逻辑关系式为(5)同或逻辑。同或逻辑也是只有两个输入逻辑变量参与运算的逻辑函数。它表示这样一种逻辑关系：当两个输入相同时，输出为；而当两个输入不同时，输出为。其逻辑关系式为由真值表1-6可知，异或和同或互为非运算。第1章 数字逻辑基础1.3.3 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定
21、律熟悉和掌握逻辑代数的基本定律和规则，将为分析和设计数字电路提供许多方便。逻辑代数的基本定律有：(1)交换律：AB=BA；A+B=B+A(2)结合律：(AB)C=A(BC)；(A+B)+C=A+(B+C)(3)分配律：A(B+C)=AB+AC；A+BC=(A+B)(A+C)(4)0-1律：1A=A；0+A=A0A=0；1+A=1第1章 数字逻辑基础(5)互补律：(6)重叠律：AA=A；A+A=A(7)还原律：(8)反演律(德摩根定律)：(9)吸收律：(10)冗余项定理：第1章 数字逻辑基础【例例1.6】证明：证证：列出等式两边的真值表，如表1-7所示，在逻辑变量A、B的所有可能取值中，与A+B
22、的函数值均相等，所以等式成立。第1章 数字逻辑基础表表1-7 例例1.6真值表真值表 第1章 数字逻辑基础值得注意的是，虽然逻辑代数的基本定律与初等代数有某些相同或相近的形式，但是它们毕竟是两种完全不同的运算(初等代数为数值运算，而逻辑代数是逻辑变量之间的运算)。因此，不应把一些初等代数的定理错误地用到逻辑代数中。例如在逻辑代数中，只有与、或、非运算，不存在减法运算，即不能把等式两边相同的项消去。例如等式：经过证明是正确的，但是若消去两边相同的AB项，则等式不成立,即第1章 数字逻辑基础1.3.4 逻辑代数的三个基本规则逻辑代数的三个基本规则1.代入规则代入规则在任何逻辑代数等式中，如果等式两
23、边所有出现某一变量的位置都代以一个逻辑函数，则等式仍然成立。例如：已知，若用Z=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍成立，即运用代入规则，可以把上述基本定律进行推广。如依据吸收律，有A+AB=A，运用代入规则，则有第1章 数字逻辑基础2.对偶规则对偶规则对任何一个逻辑函数F，如果将F中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，“1”换成“0”，“0”换成“1”，而变量保持不变，那么就可得到一个新的函数，该函数称为F的对偶函数，用F表示。【例例1.7】已知，求该函数的对偶函数。解解：利用对偶规则，可得函数F的对偶函数为如果两个逻辑表达式相等，即F=G，那么它们的对偶式也相等，即F=G。同时，对一
24、个函数求两次对偶仍等于原函数，即(F)=F。因此，在证明逻辑等式时，当直接证明不太容易时，不妨试一试证明其对偶函数相等。第1章 数字逻辑基础3.反演规则反演规则将逻辑函数F中的“”、“+”互换，“0”、“1”互换，原变量变反变量，反变量变原变量，即可得到一个新的函数，这个函数称为函数F的反演式(或叫做反函数)，用表示。利用反演规则可方便地求出一个逻辑函数的反函数。在运用反演规则、对偶规则时需要注意逻辑运算的优先顺序，即先变换与运算，然后再变换或运算。第1章 数字逻辑基础【例例1.8】利用反演规则求下列函数的反函数。(1)(2)(3)F=A+BC解解：(1)该函数的反函数(2)该函数的反函数(3
25、)该函数的反函数第1章 数字逻辑基础1.3.5 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法在数字电路中，同一逻辑函数表达式可以有多种不同的表达形式。即使是同一种函数形式，有时也有多种不同的表示。如：第1章 数字逻辑基础求最简表达式的过程就是逻辑函数化简的过程。在各种逻辑函数表达式中，最常用的是与或表达式。因为它很容易推导出其它形式的表达式，所以在此重点讨论与或式的化简。那么，什么样的逻辑函数的与或式是最简与或式呢，我们可以从以下两个方面进行判断：(1)与或式中乘积项(与项)的个数是否最少；(2)与或式中每个乘积项包含的变量个数是否最少。第1章 数字逻辑基础如果化简后的逻辑函数的与或式符合上面两个
26、最少，则该函数即为最简与或式。公式化简法就是用逻辑代数的公式、定律与规则等进行逻辑函数化简的方法，化简的过程就是不断地用等式变换的方法消去函数式中多余的乘积项和因子，使函数式变的最简单。常用的方法有：并项法、吸收法、利用冗余项定理化简等。第1章 数字逻辑基础1.并项法并项法利用互补律将两项合并为一项，合并时消去一个变量。【例例1.9】利用互补律化简下列函数。解解：第1章 数字逻辑基础2.吸收法吸收法利用吸收律A+AB=A吸收掉多余的项。【例例1.10】利用吸收法化简下列函数。第1章 数字逻辑基础3.利用冗余项定理化简利用冗余项定理化简冗余项定理可表示为。在冗余项定理中，等式左边的项BC去掉或保
27、留时，等式均成立，这样的项叫冗余项。冗余项是逻辑函数化简中非常有用的项。它的构成原则是：在一个与或表达式中，一个与项包含了一个变量的原变量(AB中含变量A)，而另一个与项包含了这个变量的反变量(中含反变量)，则这两项其余因子的乘积构成了新的一项(BC)，称为添加项或称冗余项。冗余项的引入或者消去对逻辑函数的结果不产生影响，如反复引用冗余项可使函数式简化。第1章 数字逻辑基础【例例1.11】利用冗余项定理化简下列函数。第1章 数字逻辑基础第1章 数字逻辑基础实际上，在化简逻辑函数时，往往需要综合运用以上各种方法。例如：第1章 数字逻辑基础1.4.1 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式1
28、.最小项最小项最小项是这样一些“与”项(通常称为乘积项)：它包含了所有的输入变量；每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，这样的乘积项称为最小项，用m表示。1.4 1.4 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简 第1章 数字逻辑基础三变量最小项真值表如表1-8所示。表表1-8 三变量最小项真值表三变量最小项真值表 第1章 数字逻辑基础2.最小项的性质最小项的性质从表1-8中可看出最小项具有下列性质：(1)对于任一最小项，只有一组变量取值使其值为1，在其它变量取值下，其值均为0；(2)任意两个最小项的乘积恒为0；(3)所有最小项之和恒为1。3.最小项表达式最小项表达式每个与项都是
29、最小项的与或表达式，称为标准与或表达式，也称最小项表达式。如何把一个一般的逻辑表达式化成标准与或式呢？我们来看一个例子。第1章 数字逻辑基础【例例1.12】写出F=AB+BC+AC的标准与或表达式。解解：该函数表达式有三个输入变量，故标准与或式中的每个乘积项都应该含有三个变量。利用逻辑代数的基本定理对函数进行如下变换：第1章 数字逻辑基础如果已知了逻辑函数的真值表，如何从真值表写标准与或表达式呢？依据最小项的性质，具体方法是：(1)找出使逻辑函数F为1的变量取值组合;(2)写出使F为1的变量取值组合所对应的最小项;(3)将这些最小项相或，即得到标准与或表达式。第1章 数字逻辑基础【例例1.13
30、】三变量逻辑函数真值表如表1-9所示，写出其标准与或表达式。根据上述介绍的方法，可写出其标准与或表达式为或写成F(A,B,C)=m3+m5+m6+m7=m(3,5,6,7)第1章 数字逻辑基础表表1-9 三变量函数真值表三变量函数真值表 第1章 数字逻辑基础1.4.2 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法1.卡诺图卡诺图卡诺图是美国工程师卡诺首先提出的，它是一种用来描述逻辑函数的特殊方格图。在这个方格图中，每一个小方格代表变量的一个最小项，由于n个变量有2n个最小项，所以，n变量的卡诺图一定包含2n个小方格。第1章 数字逻辑基础(1)二变量卡诺图的构成。两个变量A和B有4个最小项，即。
31、在图1-6(a)中用4个小方格分别表示这4个最小项。方格图的行和列分别表示变量A、B的取值。变量A、B分别可以取0和1。由A=0的行和B=0的列共同决定的小方格即为最小项m0，由A=0的行和B=1的列共同决定的小方格即为最小项m1，同理可以确定其它最小项的位置。为此，我们把最小项的编号标注在最小项对应的小方格里，即最小项m0的位置标注0。第1章 数字逻辑基础图1-6 二、三、四变量的卡诺图 第1章 数字逻辑基础(2)三变量卡诺图的构成。三个变量A、B、C共有8个最小项，故其卡诺图中有8个小方格，如图1-6(b)所示。卡诺图的行表示变量A，列表示变量B、C的组合。需要注意的是，变量B、C的取值顺
32、序是按00，01，11，10顺序排列的。这样排列的目的是为了保证卡诺图中几何位置上相邻的最小项在逻辑上也是相邻的(我们称之为相邻项)。相邻项是指只有一个变量不同的最小项。图1-6(b)中，m1与m3从几何位置看是相邻的，且，m1与m3只有变量B不同，属于逻辑相邻项。相邻项是卡诺图化简函数中一个很重要的概念。用类似的方法可分别画出四变量卡诺图，如图1-6(c)所示。第1章 数字逻辑基础2.卡诺图的特点卡诺图的特点了解卡诺图的特点，有利于我们利用卡诺图化简函数。卡诺图具有以下特点：(1)卡诺图中的小方格数等于最小项总数，若变量数为n，则小方格数为2n个;(2)卡诺图行列两侧标注的0和1表示使对应方
33、格内最小项为1的变量取值;(3)卡诺图是一个上下、左右闭合的图形，不但几何位置上相邻的方格在逻辑上是相邻的，而且上下、左右相对应的方格在逻辑上也是相邻的。图1-6(c)中m0与m2，m8与m10都属于相邻项。第1章 数字逻辑基础3.用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数要想用卡诺图化简逻辑函数，首先必须把函数填入卡诺图，即用卡诺图表示逻辑函数。(1)已知逻辑函数的真值表，填写卡诺图。【例例1.14】将表1-10填入卡诺图。解解：由真值表1-10可知，当变量A、B、C取001，011，111时，逻辑函数F的值为1，而变量A、B、C取其它值时，逻辑函数F的值为0。填函数F的卡诺图时，只需在最小项
34、m1、m3、m7的小方格中填入1，其余小方格填入0即可。也就是说，只要将真值表中每组变量取值所对应的函数值填入相应的最小项方格中即可得到函数F的卡诺图。函数F的卡诺图如图1-7所示。第1章 数字逻辑基础(2)已知逻辑函数表达式，填写卡诺图。如果已知的逻辑函数不是标准与或式，可先把函数化成最小项之和的形式，然后再在逻辑函数所包含的最小项的位置上填入1，在其余位置上填入0即可。第1章 数字逻辑基础表表1-10 函数函数F的真值表的真值表 第1章 数字逻辑基础图1-7 函数F的卡诺图第1章 数字逻辑基础【例例1.15】用卡诺图表示函数F=AB+BC+AC。解法一：将函数F化成最小项之和表达式，再填卡
35、诺图。由函数F的逻辑表达式可知，逻辑函数包含四个最小项m3、m5、m6、m7。首先画出三变量ABC的卡诺图，在变量ABC的最小项3、5、6、7的位置上填1，其余位置填0，便可得到如图1-8所示的函数F的卡诺图。通常，为了使卡诺图看起来更简洁，卡诺图中的0可不填。第1章 数字逻辑基础解法二：直接根据逻辑函数表达式填卡诺图。因为F=AB+BC+AC，且当AB=11，或BC=11，或AC=11时，函数F均等于1，所以，在卡诺图中找到AB=11、BC=11、AC=11对应的小方格，分别在各个对应小方格中填入1，即可得到逻辑函数F的卡诺图，如图1-8所示。第1章 数字逻辑基础图1-8 函数F的卡诺图第1
36、章 数字逻辑基础1.4.3 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1.化简的依据化简的依据卡诺图化简逻辑函数的依据是合并相邻项。相邻项的特点保证了逻辑相邻的两方格所代表的最小项只有一个变量不同。因此，当相邻方格为1时，对应的最小项就可以加以合并，合并所得的那个与项可以消去其变化的变量，只保留不变的变量，这就是图形化简法的依据。(1)卡诺图中两个相邻1格的最小项逻辑加，可以合并成一个与项，并消去一个变量。消去的变量为在这两个相邻1格中取值发生变化的变量。第1章 数字逻辑基础图1-9所示为两个相邻1格合并时，消去一个变量的例子。图1-9 两个相邻1格合并消去一个变量第1章 数字逻辑基础(2)
37、卡诺图中4个相邻1格排列成一个矩形组，则这4个相邻项可以合并成一个与项，并消去两个变量。消去的两个变量是在这4个相邻1格中取值发生变化的变量。如图1-10(a)中，m1、m3、m5、m7为4个相邻1格，可把它们圈在一起合并为一项。第1章 数字逻辑基础图1-10 4个相邻1格合并消去两个变量第1章 数字逻辑基础(3)卡诺图中8个相邻的1格排列成一个矩形组，则这8个相邻项可以合并成一个与项，并消去3个变量。消去的3个变量是在这8个相邻1格中取值发生变化的变量。图1-11所示为8个相邻1格合并消去3个变量的例子，请自行分析。第1章 数字逻辑基础图1-11 8个相邻1格合并消去3个变量第1章 数字逻辑
38、基础2.用图形化简法求最简与或表达式用图形化简法求最简与或表达式用卡诺图求最简与或表达式的步骤是：(1)画出变量卡诺图，并用卡诺图表示函数；(2)圈卡诺图，合并相邻项；(3)将每个圈对应的乘积项相加，得到最简与或表达式。第1章 数字逻辑基础【例例1.16】用图形化简法求F(A,B,C,D)=m(1,2,4,9,10,11,13,15)的最简与或表达式。解解：(1)将函数F填入卡诺图，如图1-12所示。(2)圈卡诺图，合并最小项。把图中所有1格都用圈圈起来。先圈孤立的单个1格，图中m4没有可以合并的相邻项，所以把它单独圈起来，结果为 。m1只有一个逻辑值为1的相邻项m9，m2只有一个逻辑值为1的
39、相邻项m10，所以把m1和m9，m2和m10圈起来，合并后的乘积项为 。m9、m11、m13、m15为4个逻辑值为1的相邻项，可以合并成一项，合并后的乘积项为AD。第1章 数字逻辑基础图1-12 例1.16卡诺图第1章 数字逻辑基础(3)将每个圈对应的乘积项相加，得到最简与或表达式：该函数即为化简以后的与或逻辑表达式。图1-12中圈卡诺图时，m9被圈了两次，这在逻辑代数中是允许的，因为A+A=A。第1章 数字逻辑基础【例例1.17】用图形法化简函数：解解：函数F中共出现了4个变量，所以先画一个4变量卡诺图。乘积项含有3个变量，而变量D消去了，所以，该乘积项一定是两个相邻项相加后得到的。由于乘积
40、项中A、B、C取反变量，故其取值为000，然后在卡诺图中找到A、B取值为00的行，再找到C取值为0的列，则行和列交叉的位置即为该乘积项所对应的最小项的位置(m0、m1)，在这两个小方格中填入1。按同样方法填剩余的几个乘积项，得图1-13所示卡诺图，化简后的与或表达式为第1章 数字逻辑基础图1-13 例1.17卡诺图第1章 数字逻辑基础在用卡诺图化简逻辑函数的过程中，圈卡诺图这一步很关键。为了得到正确的最简与或式，圈卡诺图时应注意以下几个问题：(1)“1”格一个也不能漏圈，否则最后得到的表达式就会与所给函数不等。(2)“1”格允许被一个以上的圈所包围，因为A+A=A。(3)圈的个数应尽可能少，即
41、在“1”格一个也不漏圈的前提下，圈的个数越少越好。这是因为一个圈与一个与项相对应，圈数越少，与或表达式的与项就越少。第1章 数字逻辑基础(4)圈的面积尽可能大，但必须为2K个方格。这是因为圈越大，消去的变量就越多，与项中的变量数就越少。(5)每个圈中至少应包含一个未被别的圈圈过的“1”格，否则这个圈是多余的。最后还要说明一点，圈卡诺图时所画的圈并不一定是唯一的，所以卡诺图化简得到的最简与或式也不一定是唯一的。第1章 数字逻辑基础*3.用图形化简法求最简或与表达式用图形化简法求最简或与表达式由逻辑函数的基本特性可知，在函数F的卡诺图中为1的项，在反函数的卡诺图中一定为0；在函数F的卡诺图中为0的
42、项，在反函数的卡诺图中一定为1。在卡诺图中圈1可以得到与或式。要想得到函数的最简或与式，可以采用下面的步骤：(1)画出函数F的卡诺图。(2)在F卡诺图中圈0，相当于在反函数AKF-的卡诺图中圈1，按照合并相邻项的原则，写出反函数的最简与或表达式。(3)利用反演规则，求反函数的反函数，即可得到函数的最简或与式。第1章 数字逻辑基础图1-14 例1.18卡诺图第1章 数字逻辑基础【例例1.18】用卡诺图化简法，求函数F(A，B，C，D)=m(0,1,2,5,8,9,10)的最简或与式。解解：函数F的卡诺图如图1-14所示，合并0方格得反函数的与或表达式为对函数利用反演规则，得函数F的最简或与式为
43、第1章 数字逻辑基础1.4.4 包含任意项的逻辑函数的化简包含任意项的逻辑函数的化简在实际的逻辑设计中，常常会遇到这样的情况：在真值表中，某些最小项的取值是不允许的、不可能出现的或不确定的。我们把这些最小项称为任意最小项(简称任意项)，任意项的值用或X表示。例如，8421BCD码中，10101111这6种组合是不会出现的，这6组取值对应的最小项在8421BCD码中即为任意项。既然任意项是不会出现的一种输入组合，或者说，即使出现，人们对其函数值是不关心的，那么任意项的取值可以视为“0”，也可以视为“1”。对于含有任意项的逻辑函数，合理地利用任意项，往往能使逻辑函数的表达式进一步简化。第1章 数字逻辑基础在逻辑函数表达式中常用表示逻辑函数所包含的所有任意项。【例例1.19】化简函数F(A，B，C，D)=m(0,1,7,8,11,14)+(3,9,12,15)。解解：该函数共包含6个最小项，4个任意项，其卡诺图如图1-15所示。任意项3、9、15对化简函数有利，我们可以认为它取值为“1”，而任意项12对化简函数没有帮助，可以认为它取值为“0”。最后可得最简与或式为从圈卡诺图可以看出，利用任意项后得到的逻辑函数比没有利用任意项时简单了。第1章 数字逻辑基础图1-15 例1.19卡诺图
