1、第2章确知信号分析2.1 信号和系统的分类 2.2 周期和非周期信号的频谱分析 2.3 傅里叶变换的运算特性 2.4 谱密度和帕塞瓦尔定理 2.5 信号通过线性系统的不失真传输条件 2.6 波形的相关 2.7 基于MATLAB的信号处理 思考题 习题 第第2章章 确知信号分析确知信号分析 第2章确知信号分析2.1 信号和系统的分类信号和系统的分类通信系统中信号的变换和传输是由很多部件共同完成的，可以把整个通信系统称为一个系统，也可以把其中几个部件称为一个系统。信号在系统中的变换和传输可以用图2.1表示，图中假设输入信号为x(t)，通过系统后得到的输出响应为y(t)。在分析x(t)和y(t)的频
2、谱，并研究x(t)通过系统求输出响应y(t)的各种方法之前，先对信号和系统进行简单的分类，以便根据信号和系统不同的性质，来采取不同的分析计算方法。第2章确知信号分析图2.1 系统中的信号的传输与变换第2章确知信号分析2.1.1 信号的分类信号的分类1.确知信号和随机信号确知信号和随机信号可以用明确的数学表达式表示的信号称为确知信号。如果信号没有明确的数学表示式，当给定一个时间值时，信号的数值并不确定，通常只知道它取某个数值的概率，则称这种信号为随机信号。研究随机信号时，应采用统计的观点和方法。第2章确知信号分析实际的信号，不论是模拟的还是数字的，通常都是随机的，此外，通信系统中普遍存在的噪声几
3、乎都是随机的，这就确定了随机信号分析在本课程中的重要性。但随机信号有时也可以当作确知信号加以分析，例如数字信号中常用的二进制代码，虽然二进制代码本身是随机的，但其中单个的1码或0码都可以看做确知信号。另外，随机信号的分析方法与确知信号的分析方法有很多共同的地方。因此，确知信号的分析方法是信号分析的基础。第2章确知信号分析2 周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号如果信号x(t)满足x(t)=x(t+T0)，-t0，则称x(t)为周期信号，T0 称为周期。反之，不能满足上述关系的信号称为非周期信号。第2章确知信号分析3 功率信号和能量信号功率信号和能量信号如果一个电流或电压信号x(t)作用在
4、1 电阻上，瞬时功率为|x(t)|2，则在(-T/2，T/2)时间内消耗的能量为 (2.1)而平均功率为 (2.2)当T时，如果E存在，则x(t)称为能量信号，此时平均功率S=0。第2章确知信号分析反之，如果T，E不存在(无穷大)而S存在，则x(t)称为功率信号。周期信号一定是功率信号，非周期信号可以是功率信号，也可以是能量信号。第2章确知信号分析2.1.2 系统的分类系统的分类图2.1所示的系统输入信号x(t)和输出响应y(t)之间存在着如下的函数关系式:y(t)=fx(t)(2.3)从这个函数关系式的特点出发，可以将系统分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统以及物理可实现系统和物理
5、不可实现系统等三类。一个系统如果是线性的，那么叠加原理一定适用。例如图2.1所示的系统，假设x1(t)的响应为y1(t)，x2(t)的响应为y2(t)，那么当输入为x1(t)+x2(t)时，叠加原理适用时的输出响应为y1(t)+y2(t)。它表明一个激励的存在并不影响另一个激励的响应。第2章确知信号分析凡是不满足叠加原理的系统称为非线性系统。非线性系统内一个激励的存在将影响另一个激励的响应。参数不随时间变化的系统称为时不变系统，而参数随时间变化的系统称为时变系统。如果输入信号x(t)和响应y(t)满足：当y(t)=fx(t)时，y(t-t0)=fx(t-t0)，-t，t0 (2.4)则系统是时
6、不变的，反之，系统是时变的。时变系统也称为变参(随参)系统，时不变系统也称为恒参系统。第2章确知信号分析2.2 周期和非周期信号的频谱分析周期和非周期信号的频谱分析2.2.1 周期信号用傅里叶级数展开的三种表示式周期信号用傅里叶级数展开的三种表示式1.基本表示式基本表示式 任意一个周期为T0的周期函数f(t)，只要满足狄里赫利条件，即：在一个周期内，周期信号f(t)满足：(1)绝对可积；(2)只有有限个极大值和极小值；第2章确知信号分析(3)只有有限个不连续点，并且在这些不连续点上，f(t)的函数值必须是有限值，则f(t)可以展开为傅里叶级数 (2.5)其中:0=2/T0为基波角频率；f0=1
7、/T0为基波频率；(2.6)是f(t)的平均值(直流分量)；第2章确知信号分析 (2.7)是f(t)的第n次余弦波的振幅；(2.8)是f(t)的第n次正弦波的振幅。如果f(t)=f(-t)，函数呈偶对称，则Bn=0，只有余弦项。如果f(t)=-f(-t)，函数呈奇对称，则An=0，只有正弦项。第2章确知信号分析2.余弦函数表示式余弦函数表示式由于An cosn0t+Bnsinn0t=Cn cos(n0t-n)，其中由此得到f(t)的另一种表示式为 (2.9)其中C0=A0。或者第2章确知信号分析3.指数函数表示式指数函数表示式由尤拉公式cosx=(ejx+e-jx)/2，可以得到(2.10)其
8、中,(2.11)并且有 (2.12)第2章确知信号分析4.三种表示式的关系三种表示式的关系基本表示式的各种系数都有相应的计算公式，但是由于一个频率成分要用互相正交的两项表示，使用起来不方便。如果把同频率的两项合并就得到了余弦函数表示式，则这种表示式物理概念清楚，每个频率成分的振幅和相位清楚，但是振幅和相位的计算比较复杂。指数函数表示式是由余弦表示式从数学上推导得到的，一个频率为n0的正弦波变为n0和-n0两个频率成分的指数函数。这种表示式没有什么物理意义，纯属数学上的表示式，但它是傅里叶变换推导的基础;另外，它作为一种中间运算工具很有用处，是本课程中最常用的一种表示式。第2章确知信号分析2.2
9、.2 典型周期信号的频谱分析典型周期信号的频谱分析1.周期矩形脉冲的傅里叶级数展开式周期矩形脉冲的傅里叶级数展开式一个典型的周期矩形脉冲如图2.2所示，脉冲宽度为，幅度为A，周期为T0。图中，函数关于纵坐标轴对称，呈偶函数形式，因此Bn=0。第2章确知信号分析 图2.2 周期矩形脉冲第2章确知信号分析经计算，A0=C0=V0=A/T0是直流成分,(2.13)因此 (2.14)其指数函数表示式为 (2.15)第2章确知信号分析 式(2.15)的展开式中出现了一个重要的函数形式，如果令x=n0/2，则得到sinx/x这样的函数形式，称为抽样函数，用符号Sa(x)表示，即(2.16)函数Sa(x)在
10、频谱分析中经常要用到，如图2.3所示。用罗比塔法则可以求得Sa(0)=1，而当x=，2，k时，Sa(x)=0。第2章确知信号分析 图2.3 抽样函数Sa(x)第2章确知信号分析2.周期矩形脉冲的频谱和频谱图周期矩形脉冲的频谱和频谱图周期信号的傅里叶级数展开式的物理意义是把信号分解成很多频率成分的正弦波。周期信号为T0的信号分解后，包含有直流和0(基波)，20，30，n0等频率分量。周期信号的频谱是离散频谱。将周期信号展开成如式(2.9)所示的傅里叶级数后，每个频率成分的余弦波具有一定的振幅和相位。因此，频谱包含振幅频谱(振幅和频率的关系)和相位频谱(相位和频率的关系)。如果将它们画成图，就称为
11、频谱图。振幅与频率的关系图称为振幅频谱图，相位与频率的关系图称为相位频谱图。第2章确知信号分析由图2.2所示的周期矩形脉冲的指数函数展开式(2.15)可知其复振幅为Vn是离散出现的，当n=0，1，2，3，即=0，0，20，30，时，第2章确知信号分析图 2.4 周期矩形脉冲频谱图第2章确知信号分析 Vn与的关系曲线如图2.4所示，图中画出了不变而T0分别为5和10时的频谱图。频谱图按照Sa(/2)的曲线(虚线)变化，第一个零点出现在|=2/处。图2.4(a)中，从=0到第一个零点之间有4条离散频谱，而图2.4(b)中则增加到9条。周期矩形脉冲频谱有两个特点：一是离散性，即频谱由不连续线条组成；
12、二是谐波性，即谱线条之间的距离相等。谐波频率与基波频率间有简单的整数倍关系。第2章确知信号分析2.2.3 非周期信号的频谱函数非周期信号的频谱函数由式(2.10)和式(2.11)可知，当T0时，周期信号就变成了非周期信号。用积分代替求和运算，可以得到(2.17)其中,(2.18)第2章确知信号分析称为频谱函数。通常用F()=Ff(t)表示 ，称为傅里叶正变换，简称傅里叶变换，而用f(t)=F-1F()表示，称为傅里叶反变换或傅里叶逆变换。在图2.2所示的矩形脉冲中，当不变而T0时，由图2.4可以看出，此时频谱的幅度趋于0，而间隔也趋于0，离散谱变成了连续谱。利用傅里叶变换，可以求出此非周期矩形
13、脉冲的频谱函数为(2.19)第2章确知信号分析当A=1时，有称为门函数，用符号G(t)或D(t)表示，本书统一用D(t)表示门函数。门函数的频谱函数F()=FD(t)=Sa(/2)。第2章确知信号分析2.2.4 周期信号的频谱函数周期信号的频谱函数如前所述，周期信号可以展开为傅里叶级数，而非周期信号具有频谱函数。那么，周期信号有没有频谱函数呢？当引入函数后，答案是肯定的。单位冲激函数用(t)表示，(2.20)且。单位冲激函数的频谱函数为 (2.21)第2章确知信号分析 F(t)=1是一个很重要的概念，表明单位冲激函数所有频率分量的相对振幅都是1。利用傅里叶反变换，有 (2.22)由此得到F1=
14、2(),FA=2A()(2.23)第2章确知信号分析单位矩形脉冲的时，振幅为1，而单位矩形脉冲的频谱函数为Sa(/2)，由此得到(2.24)一个周期信号f(t)可以展开为傅里叶级数其中0=2/T0。第2章确知信号分析要求出f(t)的频谱函数，首先要求出的频谱函数，求解的基本思路是先对截取一段时间(-/2，/2)，求出这段时间内的傅里叶变换，再令/2，即可求出的频谱函数为第2章确知信号分析把式(2.24)代入上式，得(2.25)因此(2.26)式(2.26)就是周期信号的频谱函数。第2章确知信号分析2.2.5 常用信号的频谱函数常用信号的频谱函数本书中常用的信号有矩形脉冲、升余弦脉冲、三角脉冲、
15、冲激函数等;此外，诸如梯形脉冲、余弦脉冲、阶跃函数、指数函数等信号也会遇到;还有些信号在相关课程的学习中会有所涉及。本书收集了一些常用信号，将它们的时间函数f(t)和频谱函数F()列于表2.1中，供今后使用时参考。第2章确知信号分析第2章确知信号分析第2章确知信号分析第2章确知信号分析第2章确知信号分析第2章确知信号分析2.3 傅里叶变换的运算特性傅里叶变换的运算特性通过傅里叶变换关系式，原则上给出一个f(t)就可以求出它的F()，反之，给出一个F()就可以求出它的f(t)。f(t)和F()各自具有不同的适用场合，如果最终需要求出信号的波形，则用时域表示式f(t)；如果最终需要求出信号的频谱带
16、宽，则用频域表示式F()。信号通过通信系统传输的过程中，经常会遇到诸如线性放大、时延、微分、积分、两个信号相乘、滤波等过程，如果对这些常用的变换直接导出一些定理，那么应用起来就比较方便。表2.2给出了常用的傅里叶变换的运算特性，这些变换在“电路、信号与系统”课程中已经学习过。第2章确知信号分析第2章确知信号分析第2章确知信号分析2.4 谱密度和帕塞瓦尔定理谱密度和帕塞瓦尔定理前面两节回顾了信号的时间函数与频谱函数之间的变换关系，以及信号传输过程中输入、输出波形与频谱之间的关系。本节讨论信号的能量谱密度和功率谱密度，并将它们与频谱函数F()或复振幅Vn联系起来，最后由能量谱密度或功率谱密度来确定
17、信号的带宽。第2章确知信号分析2.4.1 功率和能量的一般计算公式功率和能量的一般计算公式设f(t)为电流，当它通过电阻R时，瞬时功率p(t)=f2(t)R，在-T/2T/2时间内消耗的能量为平均功率为第2章确知信号分析如果f(t)为电压，当它作用在电阻R时，则瞬时功率p(t)=f2(t)/R，在-T/2T/2 时间内消耗的能量为平均功率为第2章确知信号分析 为运算方便起见，对上述计算公式进行归一化，即令R=1，此时不论f(t)是电流还是电压，均可以把公式简化为p(t)=f 2(t)(2.27)(2.28)(2.29)第2章确知信号分析1.能量信号能量信号当T时，如果为有限值，则称为能量信号，
18、此时平均功率S=0，因此只能用能量来表示信号，而不能用平均功率来表示信号。能量信号的能量计算公式为(2.30)第2章确知信号分析2.功率信号功率信号当T时，如果，则不能用能量来表示信号，而只能用平均功率来表示信号，因此称能量E不存在而平均功率S存在的信号为功率信号。周期信号的平均功率可以在一个周期T0内求出，即T0为周期(2.31)只要f(t)周期内不出现无穷大的值，S一定存在。周期信号都是功率信号。第2章确知信号分析3.能量信号、功率信号、周期信号、非周期信号之间的能量信号、功率信号、周期信号、非周期信号之间的关系关系一个实用的信号要么是能量信号，要么是功率信号。如果信号是能量信号，则存在，
19、且S=0；如果信号是功率信号，则不存在，而S存在。周期信号必定是功率信号，非周期信号可以是能量信号，也可以是功率信号。当存在且S=0时，非周期信号是能量信号；当时，非周期信号是功率信号，例如阶跃函数f(t)=U(t)就是功率信号。第2章确知信号分析2.4.2 帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理 帕塞瓦尔定理是一个把能量E(或者平均功率S)与频谱函数F()(或复振幅Vn)联系起来的定理，即通过F()(或Vn)来求信号的能量E(或者平均功率S)，它对于确定信号的带宽非常有用。对于能量信号f(t)，设Ff(t)=F()，则 (2.32)第2章确知信号分析对于周期为T0的周期性功率信号f(t)，设 则(2.33
20、)第2章确知信号分析 帕塞瓦尔定理的物理意义在于，它把信号能量E或者平均功率S的计算与频谱函数F()或者复振幅Vn联系起来。这样就有了两种计算E或S的方法，可以在给出信号时间函数的情况下求出E或S，也可以在给出F()或Vn的情况下求出E或S。如果信号的某种表达式计算起来不方便，则可以通过另一种方法计算。帕塞瓦尔定理给出了一个很重要的概念，即能量信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量的积分，而周期性功率信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献出来的平均功率的和。不同频率间的乘积对信号的能量和功率没有任何影响。第2章确知信号分析2.4.3 能量谱密度能量谱密度G()和功率谱密度和功率谱密度P
21、()由 和 可以看出，E和S是由很多频率成分组成的。那么，单位频率的能量和功率又是多大？它们是如何分布的？单位频率的能量称为能量谱密度，用G()表示；单位频率的功率称为功率谱密度，用P()表示。因此有(2.34)(2.35)第2章确知信号分析 G()和P()分别表示信号沿频率轴分布的情况，对于每一个频率f上都有可能存在G()和P()，在某个很小的频率范围df内，存在能量G()df或功率P()df。G()的单位为J/Hz，P()的单位为W/Hz。G()和F()的关系满足G()=|F()|2 (2.36)这也是G()的计算公式。第2章确知信号分析由于|F()|2=|F(-)|2，因此G()是实偶函
22、数，能量计算公式可以简化为(2.37)周期信号的P()的计算公式为(2.38)第2章确知信号分析 周期信号的功率谱密度是离散的，而且都是冲激函数。对于Vn不为零的n0成分，具有一定的功率，这与非周期信号不同。非周期功率信号的P()的表示式为(2.39)由于|FT()|2是实偶函数，因此(2.40)第2章确知信号分析 表2.3列出了各种信号的能量E、平均功率S、能量谱密度G()、功率谱密度P()和帕塞瓦尔定理的表示式。由表中可见，G()和P()都只与振幅频谱有关，而与相位频谱无关，因此，从G()和P()中只能获得信号的振幅信息，而得不到信号的相位信息。第2章确知信号分析2.4.4 信号带宽信号带
23、宽B研究G()和P()的目的，主要是为了研究信号能量或功率在频域内的分布规律，以便合理选择信号的通频带，对传输电路提出恰当的频带要求，尽量做到在信号不失真或少失真的条件下提高信噪功率比。第2章确知信号分析带宽这个名称在通信系统中经常出现，而且常常代表不同的含义，因此在这里先对带宽这个术语做一些说明。从通信系统中信号的传输过程来说，实际上遇到两种不同含义的带宽：一种是信号或者噪声的带宽，这是由信号或者噪声的能量谱密度G()或者功率谱密度P()在频域上的分布规律确定的，也就是本节所要定义的带宽；另一种是信道的带宽，这是由传输电路的传输特性决定的。信号带宽的符号用B表示，单位为Hz；信道带宽的符号一
24、般也用B表示，单位也是Hz。在用到带宽时，将指明是信道带宽还是信号带宽。第2章确知信号分析从理论上讲，除极少数信号外，信号频谱的分布都是无穷宽的。如果把凡是有信号频谱的范围都算作带宽，那么很多信号的带宽就变为无穷大了，显然这样定义带宽是不恰当的。一般信号虽然频谱很宽，但是绝大部分实用信号的主要能量或功率都是集中在某个不太宽的频率范围内的。因此，通常根据信号能量或功率集中分布的情况，恰当地定义信号的带宽。常用的定义信号带宽的方法有以下三种。第2章确知信号分析1.以集中一定百分比的能量或功率来定义以集中一定百分比的能量或功率来定义对于能量信号，可以由(2.41)求出B，其中是一个人为设定的百分比。
25、由于因此带宽B是指正频率区域(不计负频率区域)。如果信号是低频信号，那么能量集中在低频区域，就是在0B频率范围内的能量。第2章确知信号分析同样，对于功率信号，可由(2.42)求出B。百分比可以取90%、95%或99%等。第2章确知信号分析2.以能量谱或功率谱下降以能量谱或功率谱下降3 dB内的频率间隔作为带宽内的频率间隔作为带宽对于频率轴上具有明显的单峰形状或者一个明显的主峰的能量谱密度或功率谱密度的信号，并且峰值位于f=0处，则信号带宽B定义为正频率轴上的G()或P()下降到3 dB(半功率点)处所对应的频率间隔，如图2.5所示。在G(f)f曲线中，由G(f1)=G(0)/2或者P(f1)=
26、P(0)/2可以得到B=f1(2.43)第2章确知信号分析 图2.5 半功率带宽第2章确知信号分析3.等效矩形带宽等效矩形带宽用一个矩形的频谱代替信号的频谱，矩形频谱具有的能量与信号的能量相等，矩形频谱的幅度为信号频谱在f=0时的幅度，如图2.6所示。由或者可以得到(2.44)或者(2.45)第2章确知信号分析图2.6 等效矩形带宽第2章确知信号分析2.5 信号通过线性系统的不失真传输条件信号通过线性系统的不失真传输条件2.5.1 信号通过线性系统的分析信号通过线性系统的分析信号通过线性系统如图2.7所示，图中h(t)为线性系统的冲激响应，H()为线性系统的传输函数，并且有H()=Fh(t)，
27、h(t)=F-1H()。时间卷积公式为第2章确知信号分析 图2.7 信号通过线性系统第2章确知信号分析实际系统的时间卷积公式为 (2.46)如果信号从t=0开始，则 (2.47)第2章确知信号分析 现在分析输出能量谱密度Go()(或者功率谱密度Po()与输入能量谱密度Gi()(或者输入功率谱密度Pi)的关系。由图2.7可以知道，信号为能量信号时，输入端Gi()=|X()|2，输出端Y()=H()X()，因此Go()=|Y()|2=|H()|2|X()|2=|H()|2 Gi()(2.48)第2章确知信号分析采用同样的方法，当信号为非周期功率信号时，有YT()=H()XT()因此(2.49)第2
28、章确知信号分析 2.5.2 信号通过线性系统的不失真条件信号通过线性系统的不失真条件所谓不失真传输，是指信号经过线性系统后，输出信号与输入信号相比较只有衰减、放大和时延，而没有波形的失真，用数学式表示就是y(t)=K0 x(t-td)(2.50)其中:K0是衰减或放大系数;td是时延常数。“”中的“-”表示输出信号与输入信号相比只是反了一个相，这种情况在本书中也认为是不失真的。第2章确知信号分析 设X()是输入信号x(t)的频谱函数，则(2.51)|H()|=K0 (2.52)()=-tdm，m为整数(2.53)第2章确知信号分析 图2.8是信号通过线性系统不产生失真时的条件。如果用文字来表述
29、，任意一个信号通过线性系统不产生波形失真，应该具备下面两个条件：(1)系统的振幅频率特性应该是一个不随频率变化的常数，如图2.8(a)所示。(2)系统的相位频率特性应该与频率成直线关系，而且该直线应该通过原点或者mtd，如图2.8(b)所示。第2章确知信号分析图2.8 信号通过线性系统的不失真传输条件第2章确知信号分析在实际应用中，由于信号的带宽是有限的，因此当传输有限带宽的信号时，只要求在信号带宽范围内满足上述条件即可。对于无线电通信系统，信号是通过调制的频带信号，例如简单的调幅信号x(t)=1+(m1cos1t+m2cos2t)cos0t=A(t)cos0t对于这种已调信号的传输，往往只要
30、求包络A(t)不失真即可。此时，不失真的条件将放宽为:(1)在信号的频带内满足|H()|=K0。(2)在信号的频带内满足()关系为直线，或者()=d()/d()为常数，或者()=-td+0第2章确知信号分析2.6 波波 形形 的的 相相 关关2.6.1 互相关函数和自相关函数互相关函数和自相关函数1.互相关函数互相关函数 对于周期功率信号，设v1(t)和v2(t)是两个周期功率信号，则它们之间的互相关程度用互相关函数R12()表示，定义为(2.54)第2章确知信号分析对于一般功率信号，设v1(t)和v2(t)为非周期功率信号，则(2.55)对于能量信号，设v1(t)和v2(t)为能量信号，则(
31、2.56)互相关函数除了与v1(t)和v2(t)有关外，还与有关。第2章确知信号分析2.自相关函数自相关函数当v1(t)=v2(t)时，互相关函数就变成为自相关函数，因此，仿照互相关函数的定义可以得到自相关函数的定义。对于非周期功率信号，设信号为v(t)，自相关函数为R()，则(2.57)第2章确知信号分析 如果是周期信号，则(2.58)对于能量信号，有(2.59)第2章确知信号分析2.6.2 归一化相关函数和相关系数归一化相关函数和相关系数相关函数R12()和R()不仅与有关，而且与波形的形状和幅度大小有关，所以不易直接从数值的大小判断相关的程度。下面介绍的归一化相关函数和相关系数则可以比较
32、明显地看出两个信号之间的相关程度。设函数为v1(t)和v2(t)，R11()是v1(t)的自相关函数，R22()是v2(t)的自相关函数，R1，2()是v1(t)和v2(t)的互相关函数。定义v1(t)和v2(t)的归一化自相关函数分别为和(2.60)第2章确知信号分析 定义归一化互相关函数为(2.61)定义v1(t)和v2(t)的互相关系数12为(2.62)第2章确知信号分析 相关系数与无关。互相关系数12的数值在-1+1之间变化，即-1121。当 v1(t)=v2(t)时，12=1，这就是自相关系数；当v1(t)=-v2(t)时，12=-1；当v1(t)与v2(t)不相关时，12=0。例例
33、 如果函数v1(t)=Asin0t，函数v2(t)=Asin(0t+)，试求两个函数的互相关系数12。第2章确知信号分析解解 R11(0)=R22(0)=S=A2/2，且所以12=-1。第2章确知信号分析现在归纳一下相关函数与谱密度G()或P()的关系。假设v1(t)与v2(t)是能量信号，它们的傅里叶变换分别为V1()和V2()，即Fv1(t)=V1()，Fv2(t)=V2()将FR12()=V1*()V2()称为互能量谱密度，其中V1*()=V1()。对于自相关函数，则有FR()=V*()V()=|V()|2=G()，它就是能量谱密度。也就是说，能量信号的互相关函数R12()与互能量谱密度
34、V1*()V2()为傅里叶变换对；能量信号的自相关函数R()与能量谱密度G()为傅里叶变换对。如果用数学符号表示，则分别为:R12()V1*()V2()(2.63)R()G()(2.64)第2章确知信号分析同样，周期功率信号的自相关函数R()与功率谱密度P()为傅里叶变换对，表示为 (2.65)非周期功率信号的自相关函数R()与功率谱密度P()为傅里叶变换对，表示为(2.66)第2章确知信号分析2.7 基于基于MATLAB的信号处理的信号处理MATLAB是一个集数学运算、图形处理、程序设计和系统建模为一体的著名编程语言软件。它具有功能强大、使用简单等优点，是进行科学研究和工程实践的有力工具。本
35、节将给出常用信号的傅里叶变换的MATLAB分析。第2章确知信号分析2.7.1 MATLAB概述概述MATLAB采用交互式语言形式，开发环境直观简洁，以矩阵作为基本数据单位进行数值运算。MATLAB的程序由主程序和各种工具包组成，其中主程序包含数百个内部核心函数；工具包则包括复杂系统仿真、信号处理工具包、系统识别工具包、优化工具包、神经网络工具包、控制系统工具包、分析和综合工具包、样条工具包、符号数学工具包、图像处理工具包和统计工具包等。第2章确知信号分析MATLAB具有如下特点：(1)强大的数值运算功能。MATLAB有超过500种数学、统计、科学及工程方面的函数，函数使用简单自然，编程效率高，
36、易学易懂。(2)强大的图形处理能力。在MATLAB中数据的可视化非常方便，其物件导向图形架构让使用者可以执行视觉数据分析，并且可以很容易地制作出高品质的图形。(3)高级但却简单的程序环境。用MATLAB编程十分简单，所花时间约为C语言的几分之一，而且不需要编译及连接即可执行。(4)丰富的工具箱。功能强劲的工具箱为使用者提供了在许多特别应用领域所需的函数。第2章确知信号分析MATLAB系统主要由以下5部分构成：(1)MATLAB语言：高水平的矩阵/阵列语言，具有控制流语句、函数、数据结构、输入/输出和面向对象编程等特点。(2)MATLAB工作环境：是指MATLAB所用到的一套工具和设置，例如帮助
37、系统、工作内存管理、指令和函数管理、搜索路径管理、操作系统、程序调试和性能剖析等。(3)图形处理：MATLAB的图形系统包括2D和3D可视化、图像处理、动画以及图表说明的高层命令。MATLAB也包括一些可以使图形充分体现个性化和在MATLAB应用软件中加载完全图形用户界面的低层命令。第2章确知信号分析(4)MATLAB数学函数库：是一个巨大的算法库，覆盖面极广。基本函数有sum、sine、cosine和复数运算等，复杂的函数有矩阵求逆、矩阵特征值、Bessel函数和快速傅里叶变换等。(5)MATLAB应用编程接口(API，Application Programming Interface)：用
38、户通过这个接口可以编写与MATLAB互动的C和Fortran程序。对于用户而言，除了可以使用随MATLAB版本所附带的大量工具箱外，还有其他上千种工具箱，其中许多是免费的，覆盖了更加广泛的应用领域。读者如果想了解这方面的内容，可以到MathWorks公司的相关网页上查找。第2章确知信号分析安装MATLAB时对系统的要求：(1)IBM-PC或与之完全兼容的Intel 486、Pentium或以上的各种机型。(2)内存要求：至少8 MB，推荐使用16 MB。(3)8位以上的图形适配器和至少能显示256色的彩色显示器。(4)有少数指令需要用到声卡。(5)Microsoft Windows 95/98
39、或以上的中英文版本。(6)如果使用笔记本电脑，则需先安装Microsoft Word 7.0或Office 97中的一种或以上版本。第2章确知信号分析(7)如要使用HTML格式的帮助文件，则需先安装Netscape Navigator 2.0、Microsoft Internet Explorer 3.0或以上版本。(8)如要使用PDF格式的帮助文件，则需先安装Adobe Acrobat Reader。第2章确知信号分析2.7.2 常用信号的常用信号的MATLAB分析分析1.门函数门函数D(t)及其傅里叶变换及其傅里叶变换门函数D(t)的时间函数及其傅里叶变换见表2.1第1项。MATLAB程序
40、如下：gate_width=0.2%门函数参数的测试数据，可以修改syms t t0 w%定义时间变量t(用t表示)、门函数的宽度(用t0表示)以及%频率变量(用w表示)f=heaviside(t+t0/2)-heaviside(t-t0/2);%heaviside(X)is 0 for X 0，and NaN for X=0f=f%显示时域的解析表达式第2章确知信号分析t_plot=-gate_width*5:0.001/gate_width:gate_width*5f=subs(f，t0，gate_width)%用gate_width确定变量t0的数值f_plot=subs(f，t，t_p
41、lot)%把变量t的取值范围取为t_plotsubplot(2，1，1)plot(t_plot，f_plot)title(时域门函数在门宽为gate_width时的时域显示)%MATLAB把单个下划线(_)理解成下标的转义符，在%显示语句时可用双下线划(_)显示一个下划线第2章确知信号分析xlabel(t/s)ylabel(门函数D(t)F=fourier(f，t，w)%对门函数中的变量t进行傅里叶变换，输出以w为变量F=F%显示频域的解析表达式W_plot=-20*pi/gate_width:0.2*pi/gate_width:20*pi/gate_widthF=subs(F，t0，gate
42、_width)F_plot=subs(F，w，W_plot)第2章确知信号分析subplot(2，1，2)plot(W_plot，F_plot)title(时域门函数在门宽为gate_width时的傅氏变换结果频域显示)xlabel(w/rad)ylabel(F(w)第2章确知信号分析2.抽样函数抽样函数f(t)=WSa(Wt)/及其傅里叶变换及其傅里叶变换抽样函数f(t)=WSa(Wt)/的时间函数及其傅里叶变换见表2.1第4项。MATLAB程序如下:W_value=0.2%可以修改本例中W的数值syms t W w%定义时间变量t、门函数的宽度W(用W表示)以及频率变量(用w表示)f=W/
43、pi*sin(W*t)/(W*t);第2章确知信号分析t_plot=-W_value*100*2*pi:pi*0.01/W_value:W_value*100*2*pif=subs(f，W，W_value)f_plot=subs(f，t，t_plot)figure(1)subplot(2，1，1)plot(t_plot，f_plot)title(抽样函数在W=W_value 时的时域显示)%用双下划线来显示下划线xlabel(t/s)第2章确知信号分析ylabel(Sa(t)F=fourier(f，t，w)%对抽样函数中的变量t进行傅里叶变换，输出以w为变量 W_plot=-0.25/W_va
44、lue:0.005/W_value:0.25/W_valueF=subs(F，W，W_value)F_plot=subs(F，w，W_plot)subplot(2，1，2)plot(W_plot，F_plot)title(抽样函数在W=W_value 时的傅氏变换结果频域显示)xlabel(w/rad)ylabel(F(w)第2章确知信号分析3.周期门函数的傅里叶级数及其傅里叶变换周期门函数的傅里叶级数及其傅里叶变换周期门函数的傅里叶级数 及其傅里叶变换见表2.1第8项。MATLAB程序如下:clear all;close all;T0_value=0.5%T0的测试数据，可以修改t0_val
45、ue=0.2%的测试数据，可以修改syms t t0 T0 w n%定义时间变量t、参数(用t0表示)、%T0(用T0表示)以及频率变量(用w表示)第2章确知信号分析tmp=pi/T0*sin(n*pi*t0/T0)/(n*pi*t0/T0)*exp(j*2*pi*n*t/T0)f=symsum(tmp，n，-inf，inf)f_result=subs(f，t0，t0_value)%用t0_value给变量t0确定数值f_result=subs(f_result，T0，T0_value)%用T0_value给变量T0确定数值f_result=f_result第2章确知信号分析F=fourier
46、(f，t，w)%对周期门函数傅里叶级数中的变量%t进行傅里叶变换，输出以w为变量F_result=subs(F，T0，T0_value)F_result=subs(F_result，t0，t0_value)F_result=F_result%显示频域的解析表达式第2章确知信号分析4.周期冲激函数的傅里叶级数及其傅里叶变换周期冲激函数的傅里叶级数及其傅里叶变换周期冲激函数的傅里叶级数及其傅里叶变换见表2.1第9项。MATLAB程序如下：clear all;close all;T0_value=0.2%T0的测试数据，可以修改w0_value=2*pi/T0_value;%w0的测试数据第2章确知
47、信号分析syms t T0 w0 w n%定义时间变量t、周期T0(用T0表%示)、0以及频率变量(用w表示)tmp=1/T0*exp(j*w0*n*t)f=symsum(tmp，n，-inf，inf)f_result=subs(f，w0，w0_value)f_result=subs(f_result，T0，T0_value)f_result=f_result%显示时域的解析表达式第2章确知信号分析F=fourier(f，t，w)%对周期冲激函数中的变量t进行%傅里叶变换，输出以w为变量F_result=subs(F，T0，T0_value)F_result=subs(F_result，w0，
48、w0_value)F_result=F_result%显示频域的解析表达式第2章确知信号分析5.余弦滚降函数及其傅里叶变换余弦滚降函数及其傅里叶变换余弦滚降的时间函数及其傅里叶变换见表2.1第16项。此函数当=1时就是升余弦脉冲。MATLAB程序如下:gate_width=0.2%门函数参数的测试数据，可以修改a_value=0.5%滚降因子a测试数据，可以修改syms t t0 w a%定义时间变量t、门函数的宽度(用%t0表示)、频率变量(用w表示)以及%滚降因子a第2章确知信号分析f=(heaviside(t+(1-a)*t0/4)-heaviside(t-(1-a)*t0/4)+(he
49、aviside(t+(1+a)*t0/4)-heaviside(t+(1-a)*t0/4)*1/2*(1+sin(2*pi/(a*t0)*(t0/4+t)+(heaviside(t-(1-a)*t0/4)-heaviside(t-(1+a)*t0/4)*1/2*(1+sin(2*pi/(a*t0)*(t0/4-t);f=f%显示时域的解析表达式t_plot=-gate_width:0.0001/gate_width:gate_widthf=subs(f，t0，gate_width)%用gate_width给变量t0确定数值第2章确知信号分析f=subs(f，a，a_value)%用a_valu
50、e给变量a确定数值f_plot=subs(f，t，t_plot)%把变量t的取值范围取为t_plotfigure(1)subplot(2，1，1)plot(t_plot，f_plot)grid on;title(升余弦函数在参数为gate_width a_value时的时域显示)xlabel(t/s)ylabel(门函数D(t)F=fourier(f，t，w)%对余弦滚降函数中的变量t进行%傅里叶变换，输出以w为变量 第2章确知信号分析F=F%显示频域的解析表达式W_plot=-20*pi/gate_width:0.2*pi/gate_width:20*pi/gate_widthF=subs(
