1、1 1第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声第3章 随机信号与噪声3.1随机过程的基本概念3.2随机过程的数学描述3.3平稳随机过程3.4平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度的关系3.5正态随机过程3.6通过线性系统的平稳随机过程3.7白噪声、散弹噪声和热噪声3.8通过窄带线性系统的白色随机过程窄带噪声3.9正弦波加窄带高斯噪声的统计特性本章仿真实验举例习题2 2第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.1随机过程的基本概念通信系统中所遇到的随机信号和噪声可归纳为依赖于时间参数t的随机过程，这种过程的基本特征是：其一，在观察区间内是一个时间函数；其二，任一时刻观察到的值是不确定的，是一个随
2、机变量。其中，每个时间函数称为一个实现，而随机过程就可看成是一个由全部可能的实现构成的总体。3 3第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声用X(t)或x(t)来表示图3.1中的随机过程。图3.1(a)中，x1(t)，x2(t)，,xN(t)为随机过程的各次实现或样本函数。随机过程X(t)是所有实现或样本函数的集合，而样本函数的数量有无穷个。如果在某一个固定时刻(如t=t1时)观察随机过程的值X(t1)，那么它是一个随机变量；在不同的t1,t2,tn时刻观察随机过程，将得到不同的随机变量。4 4第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声由以上例子可知，随机过程中包含空间与时间的双重概念。它一方面是
3、各次实现的集合(并列的空间概念)，另一方面又是时间的函数(时间的概念)。不过在实践中，不可能得到空间上并列的各个样本函数，而只能得到时间很长的一次实现。因此，对随机过程也可以从实践中容易获得的一次实现来定义。如图3.1(b)所示，x(t)是随机过程的一次实现，它是随机取值的时间函数，在已经过去的时间上取值已经确定，随机性消失；在未来的时间点上，取值随机，是一个随机变量。该随机变量取值的分布规律就是随机过程在该时间上的分布规律。5 5第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.1随机过程的实际定义6 6第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.2随机过程的数学描述3.2.1随机过程的分布函数
4、和概率密度函数 设随机过程为X(t)，当t=t1时，观察随机过程的值X(t1)是一个随机变量。因此随机过程X(t)在t=t1时刻的统计特性就是该时刻随机变量X(t1)的统计特性。随机变量X(t1)的统计特性是可以用概率分布函数或概率密度函数来描述的。7 7第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声把X(t1)x1的概率PX(t1)x1记为F1(x1,t1)，称为随机过程X(t)的一维分布函数，即F1(x1,t1)=PX(t1)x1 (3.1)如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即 (3.2)则称f1(x1,t1)为随机过程X(t)的一维概率密度函数。由于t1时刻是任意取的，因此可以把t1写
5、为t，这样f1(x1,t1)可记为f1(x,t)。8 8第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声显然，一维分布函数或一维概率密度函数描述了随机过程在某一时刻的统计特性。例如，对随机过程X(t)=X cos0t(其中，0为常数；X为服从标准正态分布的随机变量，其概率密度函数为)来说，在给定的t1时刻，随机过程的值X(t1)=X cos0t1是随机变量X的线性函数，仍为服从正态分布的随机变量。所以，随机过程X(t)的一维概率密度函数为 (3.3)式(3.3)描述了随机过程X(t)=X cos0t在t1时刻的统计特性。9 9第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声由于随机过程的一维分布函数或一维概率
6、密度函数仅仅描述了随机过程在孤立时刻的统计特性，而不能反映过程内部任意两个时刻或多个时刻的随机变量的内在联系。因此，还必须引入二维分布函数及多维分布函数才能达到充分描述随机过程的目的。1010第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声随机过程X(t)在t=t1及t=t2时得到的X(t1)及X(t2)分别是两个随机变量，它们相应取x1及x2值的联合概率称为X(t)的二维分布函数，即 (3.4)称为随机过程X(t)的二维分布函数。如果F2(x1,x2;t1,t2)对x1及x2的偏导数存在，即 (3.5)则称f2(x1,x2;t1,t2)为随机过程X(t)的二维概率密度函数。1111第第3章章 随机信
7、号与噪声随机信号与噪声随机过程的二维分布函数或二维概率密度函数描述了随机过程在任意两个时刻的联合统计特性。同理，有：(3.6)称为随机过程X(t)的n维分布函数。1212第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声如果存在：(3.7)则称fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)为随机过程X(t)的n维概率密度函数。1313第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声显然，n越大，用n维分布函数或n维概率密度函数去描述随机过程就越充分。不过在实践中，用高维(n2)分布函数或概率密度函数去描述随机过程时往往会遇到困难，因为高维概率密度函数在不少场合经常难以获得。在对随机变量进行描述时，如果仅对随机变量的
8、主要特征关心，则还可以求出随机变量的数字特征。因此，相应于随机变量数字特征的定义方法，也可以得到随机过程的数字特征。1414第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.2.2随机过程的数字特征 数字特征的基本定义如下：(1)数学期望(均值)。随机变量X的数学期望也称为均值，记为EX或a，定义为 (3.8)式中，f(x)为X的概率密度函数。(2)方差。随机变量X的方差记为DX或2，定义为 (3.9)1515第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声(3)协方差。随机变量X与随机变量Y的协方差记为COVX,Y，定义为 (3.10)式中，aX、aY分别为X和Y的均值；f(x)、f(y)分别为X和Y的概
9、率密度函数。1616第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声对随机过程的数字特征，可以用同样的方法来定义。(1)随机过程的数学期望(均值):(3.11)式中，f1(x,t)为X(t)在t时刻的一维概率密度函数。a(t)表示X(t)在t时刻的随机变量的均值。对一般的随机过程来说，均值是时间t的函数，它表示随机过程在各个孤立时刻的随机变量的概率分布中心，而且随机过程的数学期望由其一维概率密度函数所决定。1717第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声(2)随机过程的方差:(3.12)2(t)表示了X(t)在t时刻的随机变量的方差。一般情况下，随机过程的方差是时间t的函数，它表示随机过程在各个孤立时
10、刻的随机变量对均值的偏离程度。式(3.12)还可以写为2(t)=EX2(t)E2X(t)(3.13)1818第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声当EX(t)=0时，式(3.13)变为：2(t)=EX2(t)该式表示随机过程X(t)的均方值(平均功率)。随机过程X(t)的均值a(t)和方差2(t)如图3.2所示，它们描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，均由随机过程的一维概率密度函数加权决定。1919第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.2随机过程X(t)的均值和方差2020第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声(3)随机过程的协方差函数和自相关函数。随机过程X(t)的均值a(t
11、)和方差2(t)仅描述了随机过程在孤立时刻的统计特性，它们不能反映出过程内部任意两个时刻之间的内在联系，即相关性。所谓相关，实际上是指随机过程在t1时刻的取值对下一时刻t2的取值的影响。影响越大，相关性越强；反之，相关性越弱。衡量随机过程内部任意两个时刻t1、t2之间的统计相关特性时，常用到随机过程的协方差函数B(t1,t2)和自相关函数R(t1,t2)。2121第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声随机过程X(t)的协方差函数B(t1,t2)定义为 (3.14)式中，a(t1)和a(t2)分别为随机过程X(t)在t1和t2时刻的均值；f2(x1,x2;t1,t2)为随机过程X(t)的二维概
12、率密度函数。2222第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声随机过程X(t)的自相关函数R(t1,t2)定义为 (3.15)显然，由式(3.14)和式(3.15)可得到B(t1,t2)和R(t1,t2)之间具有如下关系：(3.16)2323第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声可见，随机过程X(t)的协方差函数是X(t)的自相关函数与t1和t2时刻均值的乘积的差值。当EX(t1)或EX(t2)为零时，B(t1,t2)=R(t1,t2)。由此可见，随机过程的协方差函数B(t1,t2)和自相关函数R(t1,t2)是考察时刻t1和t2的函数。当t2t1时，令t2=t1+，其中t1为考察的起始时刻，
13、为考察时刻t2和t1之间的时间间隔，则B(t1,t2)和R(t1,t2)可表示为B(t1,t1+)和R(t1,t1+)，即它们是t1和的函数；当t1取任意值t时，B(t1,t1+)和R(t1,t1+)可记为B(t,t+)和R(t,t+)。2424第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声【例3.1】设随机过程为X(t)=A cos(0t+)式中，A和0均为常数；是一个随机变量，在02范围内服从均匀分布，其概率密度函数为试求随机过程X(t)的均值、方差及自相关函数。2525第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声解：X(t)的均值为2626第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声X(t)的方差为2
14、727第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声X(t)的自相关函数为2828第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.3平稳随机过程3.3.1平稳随机过程的定义平稳随机过程是指过程的任意n维概率密度函数fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)与时间的起点无关,即对任意的n值及时间间隔来说，如果随机过程X(t)的n维概率密度函数满足:(3.17)则称随机过程X(t)为平稳随机过程。2929第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.3.2平稳随机过程的一维及二维概率密度函数 由式(3.17)可得，平稳随机过程的一维概率密度函数为f1(x1,t1)=f1(x1,t1+)，令=t1，得:(3.1
15、8)由式(3.18)可见，平稳随机过程的一维概率密度函数与考察时刻t1无关,即平稳随机过程在各个孤立时刻服从相同的概率分布。当考察时刻t1取任意值t时，f1(x1)可记为f1(x)。3030第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声同理，平稳随机过程的二维概率密度函数为同样，令=t1，则上式变为 (3.19)式中，=t2t1，为两个考察时刻t1、t2之间的时间间隔。3131第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.3.3平稳随机过程的数字特征 平稳随机过程的数学期望(均值)为 (3.20)所以，平稳随机过程的均值与时间t无关，它是一个常数。平稳随机过程的方差为 (3.21)可见，平稳随机过程的
16、方差与时间t无关，也是一个常数。3232第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声平稳随机过程的自相关函数为 (3.22)式中，=t2t1为考察随机过程的时间间隔。由式(3.22)可知，平稳随机过程的自相关函数仅与时间间隔有关，是的函数，而与考察时间起点无关。3333第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.3.4平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程的自相关函数R()具有以下主要性质：(1)R()=R()，即R()是的偶函数。证明：由于R()=EX(t)X(t+)，令t=t+，代入R()=R()得:由此可见，R()是的偶函数。3434第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声(2)|R()|
17、R(0)，即自相关函数具有递减特性。当=0时，自相关函数有最大值。证明：由于EX(t)X(t+)20，令t=0，代入式|R()|R(0)得:3535第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声对平稳随机过程:EX2()=EX2(0)=R(0)而EX(0)X()=R()故EX(0)X()2=R(0)2R()+R(0)0所以，有:R(0)|R()|3636第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声(3)R(0)=EX2(t)=P，即R(0)为平稳随机过程X(t)的平均功率P。该性质可由R()的定义式直接得到。(4)R()=E2X(t)=a2，即R()为平稳随机过程X(t)的直流功率a2。由于R()=EX
18、(t)X(t+)，当，X(t)与X(t+)之间的相关性消失，即它们互相独立，所以：R()=EX(t)X(t+)=EX(t)EX(t+)=E2X(t)3737第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声(5)R(0)R()=2，即R(0)R()为平稳随机过程X(t)的方差2。由式(3.13)容易看出:上式说明，X(t)的方差是平均功率P与直流功率a2的差值，故方差可认为是平稳随机过程X(t)的交流功率。3838第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.3.5平稳随机过程的各态历经性1.随机过程的时间平均对随机过程X(t)来说，它的一次实现称为一个样本函数x(t)，如图3.3(a)所示。x(t)是一
19、个确定的时间函数，将x(t)对时间求平均就得到随机过程X(t)的时间平均。求时间平均是指将x(t)截断于任意的时间区间T内，得到截断函数xT(t)，如图3.3(b)所示。先在时间区间T内对xT(t)求平均值，然后得到T时的极限值。3939第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.3X(t)的样本函数及截断函数4040第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声随机过程的时间均值记为 或，定义为 (3.23)时间方差记为或，定义为 (3.24)4141第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声时间自相关函数记为 或，定义为 (3.25)4242第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声2.平稳随机过
20、程的遍历性 对一般的平稳随机过程来说，其数字特征往往可以用过程的一个样本函数的时间平均来代替，即满足以下关系：(3.26)4343第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声满足式(3.26)的随机过程称为具有“各态历经性”或“遍历性”的随机过程。“各态历经性”的含义是指对随机过程中的任一实现(样本函数)来说，它好像经历了随机过程中所有可能的状态一样。因此，在求具有各态历经性的随机过程的数字特征时，无需获得大量的样本函数进行集合平均(统计平均)，只需得到一个样本函数进行时间平均就可以了，从而将求集合平均的问题化为求时间平均的问题，大大简化了计算过程。例如，对各态历经过程来说，由于 因此样本函数x(
21、t)的平均功率即为随机过程X(t)的平均功率。4444第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声 最后必须指出，具有各态历经性的随机过程一定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定都具有各态历经性。可以证明，当平稳随机过程满足的条件时，该随机过程就具有各态历经性。一般来说，通信系统中遇到的随机信号或噪声均能满足这个条件，因此以后将它们都视为各态历经平稳随机过程。4545第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.4平稳随机过程的自相关函数 与功率谱密度的关系平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度为一对傅立叶变换，它们之间有以下关系:(3.27)(3.28)以上关系也称为维纳-辛钦(Wiener-Khi
22、ntchine)定理。4646第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声式中，XT()是随机过程X(t)的任意一个样本函数x(t)在时间区间T内的截断函数xT(t)对应的频谱密度函数，即随机过程X(t)的功率谱密度是随机过程任意一个样本函数x(t)的功率谱密度的统计平均。4747第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声功率谱密度P()的性质如下：(1)功率谱密度P()为的偶函数。由于自相关函数为偶函数R()=R()，所以以置换后，可证明P()=P()。(2)功率谱密度在频域上的面积等于随机过程的平均功率。对功率谱密度函数整理后可得：(3)P()为非负实函数。4848第第3章章 随机信号与噪声随机
23、信号与噪声【例3.2】已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为试求该随机过程的功率谱密度及平均功率。4949第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声解：由维纳-辛钦定理可得，随机过程X(t)的功率谱密度为5050第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声X(t)的平均功率为该例中的随机过程实际上是例3.1中的X(t)，即例3.1中的随机过程X(t)=A cos(0t+)是一个平稳随机过程。5151第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声平稳随机过程的自相关函数R()表示时域内随机过程内部的相关性，而功率谱密度P()则表示随机过程在频域内占有的频带。由自相关函数的含义及傅立叶变换的性质可知，自相关函
24、数R()占时越窄，相关性越弱，过程占有的频带越宽；相反，自相关函数R()占时越宽，相关性越强，过程占有的频带越窄。实际中，为了定量地描述平稳随机过程的相关性与频带之间的关系，常使用平稳随机过程的自相关时间k和等效带宽f。5252第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声1.自相关时间k平稳随机过程的自相关时间k定义为自相关函数R()曲线下的面积与2R(0)之比，即 (3.29)由式(3.27)可知，当=0时，有:(3.30)5353第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声将式(3.30)代入式(3.29)中，得自相关时间k为 (3.31)自相关时间k的含义如图3.4(a)所示，它是以R(0)为幅
25、值作一矩形，使矩形面积与R()曲线下的面积相等时，对应的矩形宽度值的一半。5454第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.4自相关时间k与等效带宽f5555第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声2.等效带宽f 平稳随机过程的等效带宽f定义为功率谱密度P()曲线下的面积与2P(0)之比，即 (3.32)由式(3.28)可知，当=0时，有:(3.33)5656第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声将式(3.33)代入式(3.32)中，得到等效带宽f为 (3.34)等效带宽f的含义如图3.4(b)所示，它是以P(0)为幅值作一矩形，使矩形面积与P()曲线下的面积相等时，对应的矩形宽度值的一
26、半。5757第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声由式(3.31)及式(3.34)可得到同一过程的自相关时间k及等效带宽f之间的关系为 (3.35)即同一过程的k及f的乘积恒为1/4(常数)。这说明在R(0)相同的情况下，自相关时间k越小，过程占有的频带f越宽；相反，自相关时间k越大，过程占有的频带f越窄。5858第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声对不同的随机过程X1(t)和X2(t)，可以通过它们各自的自相关时间及等效带宽来比较它们的相关性。当X1(t)的自相关性强于X2(t)时，有，同时，f1f2。对极端情况下的随机过程X(t)来说，当k=0时，X(t)是一个非自相关过程，它的自相
27、关性最弱，此时X(t)的等效带宽f，即占有无穷宽的带宽，它包含自零至无穷大的所有频谱分量，这如同白光中包含所有可见光谱一样，所以，非自相关过程又称为白色随机过程。5959第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声对白色随机过程X(t)来说，其自相关函数为R()=A()(3.36)式中，A为常数。对应的功率谱密度为 (3.37)另一种极端情况是，随机过程的自相关时间k=，等效带宽f=0。此时过程的自相关函数为R()=A，功率谱密度为P()=2A()。此时实际上是一直流信号。6060第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声 3.5正态随机过程3.5.1正态随机过程的定义 如果随机过程X(t)的任意n
28、维概率密度函数都服从正态分布，则称此随机过程为正态随机过程。其n维概率密度函数为 (3.38)6161第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声式中：ai=EX(ti)(i=1,2,n)为X(t)在ti时刻的均值；2i=EX(ti)ai2(i=1,2,n)为X(t)在ti时刻的方差；|为归一化协方差矩阵行列式，即其中，为归一化协方差系数；|ij为行列式|中元素ij的代数余子式。6262第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声对正态随机过程来说，其一维概率密度函数是最简单的，这时的概率密度函数为 (3.39)式中，a为正态随机变量的均值；2为正态随机变量的方差。当式(3.39)中的a=0，2=1时
29、，随机变量称为标准分布的正态随机变量。6363第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.5.2正态随机过程的性质(1)正态随机过程如果是广义平稳的，则也是狭义平稳的。由式(3.38)可知，正态随机过程的n维概率密度函数由各随机变量的均值、方差及归一化协方差系数所决定。如果随机过程是广义平稳的，则随机过程的均值、方差与时间t无关，归一化协方差系数只与时间间隔有关，而与时间起点无关。这时随机过程的n维概率密度函数也与时间起点无关，故随机过程是狭义平稳的。6464第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声(2)正态随机过程的线性变换仍是正态随机过程。这是一条重要的性质，以后会经常用到。这里仅简要地说
30、明一下。设正态随机过程X(t)经线性加权积分后得到Y(t)，即Y(t)=，式中g(t)是时间t的连续函数。由于上式的积分实际上是的极限值，因此，当X(t)是一个正态随机过程时，该式中的每一项都是一个服从正态分布的随机变量。由概率论的中心极限定理可知，多个正态随机变量之和仍是正态随机变量，因此Y(t)为正态随机过程。6565第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声(3)如果两个正态随机过程X(t)和Y(t)互不相关，则它们也统计独立。可以通过 X(t)和Y(t)的二维联合概率密度函数证明该结论的正确性。6666第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.6通过线性系统的平稳随机过程当一个确定信号
31、x(t)通过一冲激响应为h(t)的线性系统时，得到的输出信号y(t)为 (3.40)或者 (3.41)式中，X()为x(t)的傅立叶变换；H()为h(t)的傅立叶变换，是线性系统的网络函数。6767第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声如果将线性系统的输入信号x(t)看做是随机过程X(t)的一次实现，那么线性系统的输出信号y(t)就可视为输出随机过程Y(t)的一次实现。因此，当线性系统的输入是随机过程X(t)时，输出Y(t)也是随机过程，且X(t)和Y(t)的关系为 (3.42)6868第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声1.Y(t)的数学期望由式(3.42)可得，Y(t)的数学期望EY
32、(t)为 (3.43)式中，EX(t)为X(t)的数学期望。6969第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声由于X(t)是平稳的，所以EX(t)=a，为常数，故EY(t)为 (3.44)式中，是=0时，由得来的。式(3.44)表明，输出随机过程Y(t)的数学期望等于输入随机过程X(t)的数学期望与H(0)的乘积，且与时间t无关。7070第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声2.Y(t)的自相关函数 由自相关函数的定义可知，Y(t)的自相关函数RY(t,t+)为 (3.45)将式(3.42)代入式(3.45)得：(3.46)7171第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声式中，EX(t)X(t
33、+)=RX(+)为输入平稳随机过程X(t)的自相关函数，于是有：(3.47)式(3.47)表明，输出随机过程Y(t)的自相关函数仅为时间间隔的函数，而与时间起点无关。因此，输出随机过程Y(t)是平稳随机过程，至少是广义平稳的。7272第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.Y(t)的功率谱密度 由维纳-辛钦定理知，Y(t)的功率谱密度PY()为 (3.48)将式(3.47)代入式(3.48)得:7373第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声令=+，得:(3.49)式中，为输入随机过程X(t)的功率谱密度。7474第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声【例3.3】设功率谱密度为n0/2(
34、常数)的白色随机过程(白噪声)n(t)通过带宽为B的理想低通滤波器，如图3.5所示。试求输出随机过程no(t)的功率谱密度、自相关函数及噪声功率。7575第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.5白噪声通过理想低通滤波器 7676第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声解：理想低通滤波器的传输特性为 由式(3.49)可得，输出随机过程no(t)的功率谱密度为式中，为白噪声n(t)的功率谱密度。7777第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声输出随机过程no(t)的自相关函数为及对应的曲线如图3.6所示。7878第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.6白噪声通过理想低通滤波器输出后
35、的功率谱及自相关函数7979第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声输出噪声no(t)的功率为输出随机过程no(t)的等效带宽为自相关时间为8080第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声【例3.4】设均值为零，功率谱密度为n0/2的高斯(正态)白噪声n(t)通过如图3.7所示的RC低通滤波器，试求输出随机过程的一维概率密度函数。8181第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.7白噪声通过RC低通滤波器8282第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声解：由正态随机过程的性质可知，高斯白噪声n(t)通过线性系统后输出过程no(t)仍然是高斯分布的随机过程，但其数字特征和功率谱密度发生了变化
36、。RC低通滤波器的传输特性为8383第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声由于白噪声n(t)的均值En(t)=0，因而由式(3.44)可得输出随机过程no(t)的均值为由式(3.49)可得，输出随机过程no(t)的功率谱密度为式中，为白噪声n(t)的功率谱密度。8484第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声输出随机过程no(t)的自相关函数为输出随机过程no(t)的方差(或功率)为故输出随机过程no(t)的一维概率密度函数为8585第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声【例3.5】设平稳随机过程X(t)通过如图3.8所示的乘法器，若已知随机过程X(t)的功率谱PX()，试求乘法器输出响应
37、Y(t)的功率谱PY()。8686第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.8平稳随机过程通过乘法器8787第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声解：为了得到Y(t)的功率谱，可先求出Y(t)的自相关函数，再进行傅立叶变换。由自相关函数的定义得:式中，RX()=EX(t)X(t+)为X(t)的自相关函数。由上式可见，Y(t)的自相关函数与时间t有关，因此Y(t)不是平稳随机过程。8888第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声对非平稳随机过程求功率谱时，应先将其自相关函数求时间平均，再进行傅立叶变换。对求时间平均的结果为。所以，Y(t)的功率谱为8989第第3章章 随机信号与噪声随机信号
38、与噪声3.7白噪声、散弹噪声和热噪声内部噪声通常认为是白噪声，它是一种平稳随机过程。通过分析表明，理想的白噪声可以认为是由大量宽度为无穷窄的脉冲随机叠加而成的，如图3.9所示。因此，白噪声服从高斯分布，一般称为加性高斯白噪声(AWGN)。9090第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.9白噪声的时域特征9191第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声如前所述，白噪声(白色随机过程)是一个非自相关的随机过程，它包含自零至无穷大的所有频谱分量，这类似于光学中包括全部可见光谱的白光。因此，白噪声的功率谱密度是一个常数，为 (3.50)式中，n0为一常数，单位为瓦特/赫兹(W/Hz)。9292第
39、第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声式(3.50)定义的功率谱是双边功率谱的表示式，功率均匀地分布在从到的整个频率范围内。如果写成单边功率谱的形式，则为P()=n0，此时认为噪声功率只分布在正频率范围内。由维纳-辛钦定理可得到白噪声的自相关函数为 (3.51)9393第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声白噪声的自相关函数及功率谱密度如图3.10所示。从图3.10中可看出，白噪声功率谱密度在整个频域内均匀分布，具有无穷的带宽。自相关函数是位于原点处的冲激函数，自相关时间为零，即除=0(=0时表示同一个随机变量之间)外，在白噪声随机过程内各随机变量之间都是互不相关的。9494第第3章章 随机
40、信号与噪声随机信号与噪声图3.10白噪声的自相关函数及功率谱密度9595第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声必须指出的是，真正的理想白噪声是不存在的。因为理想白噪声占据无穷宽的频带，所以具有无穷大的功率，这实际上是不可能的。通常在工程实践中遇到的噪声是带限的。带限噪声或带内功率谱分布不均匀的噪声称为有色噪声，这类似于光学中只包括可见光部分频谱的有色光。9696第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声当带限噪声功率谱均匀分布的频带范围远远大于系统的工作带宽时，就可以认为该噪声具有白噪声特性。通信系统中遇到的散弹噪声和热噪声就是典型的白噪声。散弹噪声是由通信设备中有源器件内部的载流子或电子发射
41、的不均匀性引起的一种起伏过程。9797第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声散弹噪声的产生过程可用图3.11来说明。图3.11(a)中，真空二极管在一定的温度下，阴极在t的时间内发射一定数目的电子，产生平均电流I0，但阴极在t的时间内发射的电子数目是随机的，因而产生的电流i(t)是以I0为均值上下起伏的随机过程，这种叠加在I0上的起伏过程就是散弹噪声，如图3.11(b)所示。由于散弹噪声是由无数个统计独立的单个电子发射后相加的结果，因此由概率论的中心极限定理可知，散弹噪声是服从高斯分布的随机过程。9898第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.11散弹噪声的产生过程9999第第3章章
42、随机信号与噪声随机信号与噪声分析表明，散弹噪声的功率谱密度为Pi()=I0q，其中q为电荷量。散弹噪声的功率谱密度大约在0f2.2109 Hz范围内是平坦的，因而对实际的通信系统带宽范围来说，散弹噪声可以认为是白噪声。100100第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声理论分析与实际测量表明，电阻热噪声功率谱密度均匀分布的频率范围大约为0f1013 Hz，因此，对实际通信系统而言，热噪声可认为是白噪声。阻值为R的电阻产生的热噪声其等效电压功率谱密度为Pu()=2kTR (3.52)式中，k=1.381023 J/K为波尔兹曼常数；T为环境的绝对温度。等效电流功率谱密度为Pi()=2kTG (3
43、.53)式中，G=1/R。101101第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声如果电路的带宽为B赫兹，则电压源的噪声功率为 (3.54)噪声电压源的均方根电压值为 (3.55)102102第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声同理，可以得到电流源的噪声功率:(3.56)噪声电流源的均方根电流值为 (3.57)103103第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声以上讨论了单个电阻产生的热噪声的分析方法。当线性网络中包含电阻类元件时，如果要计算线性网络中任一节点电压或支路电流的热噪声，则可以应用前述随机过程通过线性网络的分析方法进行分析，可得电压热噪声的功率谱为 (3.58)式中，Pu()=2k
44、TR为电阻R的电压功率谱密度；H()为等效网络传输函数。104104第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3.8通过窄带线性系统的白色随机 过程窄带噪声在通信系统中广泛应用着窄带线性系统，如高频放大器、中频放大器等。所谓窄带线性系统，是指系统的带宽B远小于系统中心频率f0的线性网络。其网络传输函数如图3.12所示。图中，B1，因此，如果A值很大，满足 ,则式(3.95)近似变为 (3.96)146146第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声若将QA代入式(3.96)，则有:(3.97)式(3.97)表明，这时包络Q(t)服从均值为A、方差为2的正态分布。147147第第3章章 随机信号与噪
45、声随机信号与噪声由此可见，信号加噪声后的合成信号的包络分布与信道中的信噪比有关，当信噪比很小(A值很小，噪声起主要作用)时，合成信号的包络服从瑞利分布；当信噪比很大(A值很大，信号起主要作用)时，合成信号的包络近似服从正态分布；当信噪比不大不小时，包络服从广义瑞利分布。图3.18(a)中画出了以A2/22(广义信噪比)为参变量的fQ(Q)Q/曲线。148148第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.18正弦波加高斯窄带噪声合成波形包络及相位分布149149第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声本章仿真实验举例1.SystemView仿真举例SystemView中产生加性高斯白噪声的函数
46、为AWGN，产生窄带高斯白噪声的函数为NBGN。另外，在SystemView的Source库中，有仿真白噪声的模块Band-Limited White Noise(带限白噪声信号)。它的功能是产生适合连续或混合系统的正态分布随机信号。高斯白噪声加窄带高斯白噪声的原理框图如图3.19所示。150150第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.19高斯白噪声加窄带高斯白噪声的原理框图151151第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.20所示为高斯窄带SystemView仿真图。图3.21所示为高斯窄带SystemView仿真波形。由图3.21可以看出，高斯白噪声是理想的宽带过程，经窄带
47、滤波器后变成窄带过程。152152第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.20高斯窄带SystemView仿真图 153153第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.21高斯窄带SystemView仿真波形 154154第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声2.MATLAB仿真举例图3.22所示为窄带高斯过程系统仿真框图。其中，主要参数设置如图3.23图3.25所示。运行后高斯白噪声和窄带高斯白噪声的时域波形如图3.26所示。图3.26中，上面的波形为高斯白噪声的时域波形，下面的波形为窄带高斯白噪声的时域波形。从图3.26中可以看出，高斯白噪声为一个随机过程。频域波形如图3.27
48、和图3.28所示。155155第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.22窄带高斯过程系统仿真框图 156156第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.23高斯噪声发生器的参数设置 157157第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.24滤波器参数的设置 158158第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.25频谱仪参数的设置 159159第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.26运行结果图 160160第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.27高斯白噪声频谱图 161161第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.28窄带高斯白噪声频谱图16216
49、2第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声过滤后噪声的自相关函数的源程序如下：过滤后噪声的自相关函数波形如图3.29所示。163163第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图3.29过滤后噪声的自相关函数波形164164第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声习题3-1给定随机过程X(t)，定义另一个随机过程Y(t)为式中，x是任一实数。试证明：Y(t)的均值和自相关函数分别为随机过程X(t)的一维和二维分布函数。165165第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3-2给定一随机过程X(t)和常数a，试以X(t)的自相关函数表示随机过程Y(t)=X(ta)X(t)的自相关函数。3-3给定随
50、机过程X(t)=A cost+B sint，式中，为常数，A、B是两个独立的正态随机变量，而且EA=EB=0，EA2=EB2=2，试求X(t)的均值和自相关函数。166166第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3-4随机过程X(t)的功率谱密度如图E3.1所示。(1)试求X(t)的自相关函数，并画出其图形；(2)试求X(t)中含有的直流功率；(3)试求X(t)中含有的交流功率；(4)对X(t)进行抽样，当要求抽样值不相关时，最高抽样速率为多少？抽样值是否统计独立？167167第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声图E3.1习题3-4图168168第第3章章 随机信号与噪声随机信号与噪声3
