1、1 1普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理1.1 1.1 分类加法计数原理分类加法计数原理 与分步乘法计数原理与分步乘法计数原理(3)(3)2 2普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理复习回想复习回想:两个计数原理的内容是什么两个计数原理的内容是什么?解决两个计数原理问题需要注意什么问题解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧有哪些技巧?3 3普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理4 4普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理5 5普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计
2、数原理数原理第第1 1类：从会唱歌者中选类：从会唱歌者中选1 1人唱歌；人唱歌；第第2 2类：从会跳舞者中选类：从会跳舞者中选1 1人跳舞；人跳舞；第第3 3类：从能歌善舞者中选类：从能歌善舞者中选1 1人唱歌人唱歌 或跳舞；或跳舞；6 6普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理7 7普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理8 8普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理9 9普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理1010普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理1111普通高
3、中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理1212普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理1313普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理 例例11 11 某某4 4名田径运动员报名参加名田径运动员报名参加100m100m，200m200m和和400m400m三项短跑比赛三项短跑比赛.（1 1）每人限报）每人限报1 1个项目，共有多少种不个项目，共有多少种不 同的报名办法？同的报名办法？（2 2）每人最少报）每人最少报1 1个项目，且每个项目个项目，且每个项目限报限报1 1人，共有多少种不同的报名办法？人，共有多少种不同的报名办法
4、？（1 1）3 34 48181种；种；（2 2）4 43 39696种种.1414普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理 例例12 63012 630的正约数（涉及的正约数（涉及1 1和和630630）共有多少个？共有多少个？63063023232 25757正约数正约数:2:2a33b55c77d 232223222424（个）（个）1515普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理 例例13 13 将将2020个大小相似的小球放入编号个大小相似的小球放入编号为为1 1，2 2，3 3的三个盒子中，规定每个盒子的三个盒子中，规定每个盒子内的球
5、数不不大于该盒子的编号数，求内的球数不不大于该盒子的编号数，求共有多少种不同的放法？共有多少种不同的放法？151514142 21 1120120（种）（种）1616普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理 例例14 14 某电视节目中有某电视节目中有A A、B B两个信箱，两个信箱，分别寄存着先后两次竞猜中入围的观众分别寄存着先后两次竞猜中入围的观众来信，其中来信，其中A A信箱中有信箱中有3030封来信，封来信，B B信箱信箱中有中有2020封来信封来信.现由主持人从现由主持人从A A信箱或信箱或B B信信箱中抽取箱中抽取1 1名幸运观众，再由该幸运观众名幸运观众，
6、再由该幸运观众从从A A、B B两个信箱中各抽取两个信箱中各抽取1 1名幸运伙伴，名幸运伙伴，求共有多少种不同的可能成果？求共有多少种不同的可能成果？302920302920201930 201930 174001740011400114002880028800（种）（种）1717普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理练习：练习：三个比赛项目，六人报名参加。三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的办法？）每人参加一项有多少种不同的办法？）每项人，且每人至多参加一项，有多）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的办法？少种不同的办法？）每项人，每人参加
7、的项数不限，有多）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的办法？少种不同的办法？1818普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理例例1 用用0,1,2,3,4,5这六个数字这六个数字,(1)能够构成多少个各位数字不允许重复的三位能够构成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数的奇数?(2)能够构成多少个各位数字不重复的不大于能够构成多少个各位数字不重复的不大于1000的自然数的自然数?(3)能够构成多少个不不大于能够构成多少个不不大于3000,不大于不大于5421且各位数字不允许重复的四位数且各位数字不允许重复的四位数?一、排数字问题一、排数字问题1919普通高中普通高中
8、课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理1、将数字、将数字1,2,3,4,填入标号为填入标号为1,2,3,4的四个的四个方格里方格里,每格填一种数字每格填一种数字,则每个格子的标则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有号与所填的数字均不同的填法有_种种引申引申:号方格里可填，三个数字，有种填号方格里可填，三个数字，有种填法。号方格填好后，再填与号方格内数字相法。号方格填好后，再填与号方格内数字相似的号的方格，又有种填法，其它两个方格只似的号的方格，又有种填法，其它两个方格只有种填法。有种填法。因此共有因此共有3*3*1=9种不同的办法。种不同的办法。2020普通高中普通高中课程数学程
9、数学选修修2-3 1.1计数原理数原理二、映射个数问题二、映射个数问题:例例2 设设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从从A到到B共有多共有多少种不同的映射少种不同的映射?2121普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理三、染色问题三、染色问题:例例3 有有n种不同颜色为下列两块广告牌着色种不同颜色为下列两块广告牌着色,规定规定在在四个区域中相邻四个区域中相邻(有公共边界有公共边界)区域中区域中不用同一种颜色不用同一种颜色.(1)若若n=6,为为(1)着色时共有多少种办法着色时共有多少种办法?(2)若为若为(2)着色时共有着色时共有120种不同办法种不同办法,
10、求求n (1)(2)2222普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理 、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？2323普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理解解:按地图按地图A、B、C、D四个区域依次分四个区域依次分四步完毕四步完毕,第一步第一步,m1=3 种种,第二步第二步,m2=2 种种,第三步第三步,m3=1 种种
11、,第四步第四步,m4=1 种种,因此根据乘法原理因此根据乘法原理,得到不同的涂色方得到不同的涂色方案种数共有案种数共有 N=3 2 11=6 种。种。2424普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理 、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？若用2色、4色、5色等,成果又如何呢？答答:它们的涂色方案种它们的涂色方案种数分别是数分别是 0、4322=
12、48、5433=180种种等。等。思考：思考：2525普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理.如图如图,用用5种不同颜色给图中的种不同颜色给图中的A A、B B、C C、D D四个区域涂色四个区域涂色,规定一个区域规定一个区域 只涂一种颜色只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有不同的涂色方案有 种。种。ABCD分析：如图，分析：如图，A A、B B、C C三个区域两两相邻，三个区域两两相邻，A A与与D D不相邻，因此不相邻，因此A A、B B、C C三个区域的颜色两两三个区域的颜色两两不同，不同，A A、D D两个区域能够同
13、色，也能够不同色，两个区域能够同色，也能够不同色，但但D D与与B B、C C不同色。由此可见我们需根据不同色。由此可见我们需根据A A与与D D同同色与不同色分成两大类。色与不同色分成两大类。解：先分成两类：第一类，解：先分成两类：第一类，D D与与A A不同色，可分成四步完毕。不同色，可分成四步完毕。第一步涂第一步涂A A有有5 5种办法，第二步涂种办法，第二步涂B B有有4 4种办法；第三步涂种办法；第三步涂C C有有3 3种办法；第四步涂种办法；第四步涂D D有有2 2种办法。根据分步计数原理，种办法。根据分步计数原理，共有共有54325432120120种办法。种办法。根据分类计数原
14、理，共有根据分类计数原理，共有120+60120+60180180种办法。种办法。第二类，第二类，A A、D D同色，分三步完毕，第一步涂同色，分三步完毕，第一步涂A A和和D D有有5 5种种办法，第二步涂办法，第二步涂B B有有4 4种办法；第三步涂种办法；第三步涂C C有有3 3种办法。根据分种办法。根据分步计数原理，共有步计数原理，共有5435436060种办法。种办法。2626普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理、某都市在中心广场建造一种花圃，、某都市在中心广场建造一种花圃，花圃分为花圃分为6个部分（如右图）现要栽个部分（如右图）现要栽种种4种不同颜色的花
15、，每部分栽种一种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种办法有不同的栽种办法有_种种.（以数（以数字作答）字作答）（1 1）与与同色，则同色，则也同色或也同色或也同色，因此共有也同色，因此共有N1=43221=48N1=43221=48种；种；因此，共有因此，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种种.（2）与与同色，则同色，则或或同色，因此共有同色，因此共有N2=43221=48种；种；（3）与与且且与与同色，则共同色，则共N N3 3=4321=24=4321=24种种 解法一：从题意来看解法一：从题意来看6 6部
16、分种部分种4 4种颜色的花，又从图形看种颜色的花，又从图形看知必有知必有2 2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求2727普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理6、将种作物种植在如图所示的块实验田里，、将种作物种植在如图所示的块实验田里，每块种植一种作物且相邻的实验田不能种植同一每块种植一种作物且相邻的实验田不能种植同一种作物，不同的种植办法共有种（以数种作物，不同的种植办法共有种（以数字作答）字作答）425、如图，是、如图，是5个相似的正方形，用红、黄、蓝、白、个相似的正方形，用红、黄、蓝、白、黑黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方
17、形涂一种颜种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可重色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可重复使用，那么共有多少种涂色办法？复使用，那么共有多少种涂色办法？2828普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理四、子集问题四、子集问题规律：规律：n元集合元集合 的不的不同子集有个同子集有个 。例：例：集合集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数它的子集个数为为 ，真子集个数为，真子集个数为 ，非空子，非空子集个数为集个数为 ，非空真子集个数为，非空真子集个数为 。2929普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数
18、原理五、综合问题五、综合问题:例4 若直线方程ax+by=0中的a,b能够从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所示的不同的直线共有多少条?3030普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理、7560075600有有多多少少个个正正约约数数?有有多多少少个个奇奇约约数数?解解:由于由于 75600=2 75600=24 4333 3552 277(1)(1)7560075600的每个约数都可以写成的每个约数都可以写成的形式的形式,其中其中,于于是是,要要拟拟定定7560075600的的一一种种约约数数,可可分分四四步步完完毕毕,即即i,j,k,li,j
19、,k,l分分别别在在各各自自的的范范畴畴内内任任取取一一种种值值,这这样样i i有有5 5种种取取法法,j,j有有4 4种种取取法法,k,k有有3 3种种取取法法,l,l有有2 2种种取取法法,根根据据分步计数原理得约数的个数为分步计数原理得约数的个数为5432=1205432=120个个.3131普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类办法,从局部上看每类又需两步完毕,因此,第一类,m1=12=2 条 第二类,m2=12=2 条 第三类,m3=12=2 条 因此,根据加法原理,从顶点A到顶点C1近来路线共有 N=2+2+2=6 条。3.一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一种顶从的一种顶点爬到相对的另一种顶点的近来路线点爬到相对的另一种顶点的近来路线共有多少条？共有多少条？3232普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理4、如果把两条异面直线当作、如果把两条异面直线当作“一对一对”，那，那么六棱锥的棱所在的么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直条直线中，异面直线共有（线共有（）对）对A.12 B.24 C.36 D.48B3333普通高中普通高中课程数学程数学选修修2-3 1.1计数原理数原理
