1、4.4 关系闭包关系闭包n闭包定义闭包定义n闭包结构方法闭包结构方法 集合表示集合表示 矩阵表示矩阵表示 图表示图表示n闭包性质闭包性质 第1页1一、闭包定义一、闭包定义 定义定义 设设R是非空集合是非空集合A上关系上关系,R自反（对称自反（对称或或传递）传递）闭包闭包是是A上关系上关系R,使得使得R 满足以下条件：满足以下条件：（1）R 是自反（对称或传递）是自反（对称或传递）（2）R R（3）对）对A上任何包含上任何包含R自反（对称或传递）关系自反（对称或传递）关系 R 有有 RR.普通将普通将 R 自反闭包记作自反闭包记作 r(R),对称闭包记作对称闭包记作 s(R),传传递闭包记作递闭
2、包记作 t(R).第2页2由闭包定义可知，由闭包定义可知，R R自反（对称，传递）闭包是含有自反（对称，传递）闭包是含有R R而且含有而且含有自反（对称，传递）性质自反（对称，传递）性质“最小最小”关系。关系。假如假如R R已是自反二元关系，显然有：已是自反二元关系，显然有：R=r(R)R=r(R)。一样，当一样，当R R是对称二元关系时是对称二元关系时R=s(R)R=s(R)；当当R R是传递二元关系时，是传递二元关系时，R=t(R)R=t(R)，且反之亦然。，且反之亦然。第3页3二、关系闭包运算二、关系闭包运算 （1 1）已知一个集合中二元关系）已知一个集合中二元关系R R，则，则 r(R
3、),s(R),t(R)r(R),s(R),t(R)是唯一，它是包含是唯一，它是包含R R 最小自反（对称，传递）关系；最小自反（对称，传递）关系；（2 2）若）若R R是自反（对称，传递），则是自反（对称，传递），则 r(R),s(R),t(R)r(R),s(R),t(R)就是就是R R本身。本身。（3 3）若）若R R不是自反（对称，传递），则不是自反（对称，传递），则 能够补上最少序偶，使之变为自反、对称、能够补上最少序偶，使之变为自反、对称、传递关系，从而得到传递关系，从而得到r(R),s(R),t(R)r(R),s(R),t(R)；第4页4例：设例：设=a,b,c,R=,，求，求r(R
4、),s(R),t(R)。解：解：r(R)=s(R)=t(R)=,例：设例：设=a,b,R=a,b,R=，则则r(R)=,r(R)=,s(R)=,s(R)=,t(R)=R t(R)=R第5页5 设设R是是A上二元关系，上二元关系，xA，将全部，将全部(x,x)R有序对有序对加到加到R上去，使其扩充成自反二元关系，扩充后自反上去，使其扩充成自反二元关系，扩充后自反关系就是关系就是R自反闭包自反闭包r(R)。比如，比如，A=a,b,c,d,R=(a,a),(b,d),(c,c)。R自反闭包自反闭包r(R)=(a,a),(b,d),(c,c),(b,b),(d,d)。于是可得：于是可得：定理定理:R是
5、是A上二元关系，则上二元关系，则R自反闭包自反闭包r(R)=RIA。1.1.结构结构R自反闭包方法。自反闭包方法。三、闭包结构方法三、闭包结构方法第6页62.2.结构结构R对称闭包方法。对称闭包方法。每当每当(a,b)R，而，而(b,a)R时，将有序对时，将有序对(b,a)加到加到R上去，上去，使其扩充成对称二元关系，扩充后对称关系就是使其扩充成对称二元关系，扩充后对称关系就是R对称闭包对称闭包s(R)。比如，比如，A=a,b,c,d,e,R=(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(d,e)。R对称闭包对称闭包s(R)=(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(d
6、,e),(e,d)。定理定理:R是是A上二元关系，上二元关系，是其逆关系，是其逆关系，则则R对称闭包对称闭包s(R)=R 。由逆关系定义可知：由逆关系定义可知：第7页73.3.结构结构R传递闭包方法。传递闭包方法。设设R 是是A A上二元关系，每当上二元关系，每当(a,b)R和和(b,c)R而而(a,c)R时，将有时，将有序对序对(a,c)加到加到R上使其扩充成上使其扩充成R1，并称，并称R1 为为R传递扩张，传递扩张，R1 假如假如是传递关系是传递关系，则，则R1是是R传递闭包；假如传递闭包；假如R1不是传递关系，继续求不是传递关系，继续求R1传递扩张传递扩张R2，假如假如R2是传递关系时，
7、则是传递关系时，则R2是是R传递闭包；传递闭包；假假如如R2不是传递关系时，继续求不是传递关系时，继续求R2传递扩张传递扩张R3，假如，假如A是有限集，是有限集，R经过有限次扩张后，定能得到经过有限次扩张后，定能得到R传递闭包。传递闭包。扩张后传递关系就是扩张后传递关系就是R传递闭包传递闭包t(R)。定理定理:设设R为为A上关系上关系,则有则有t(R)=RR2R3说明：说明：对于有穷集合对于有穷集合A(|A|=n)上关系上关系,上式中并最多不超出上式中并最多不超出 Rn.第8页8思索：设思索：设A=a,b,c,d,R=,求求 r(R),s(R),t(R).解解:r(R)=RR0=,s(R)=R
8、R 1=,t(R)=RR2R3 R4 R2=,R3=,R4=,=R2于是于是 t(R)=RR2R3=,.第9页9闭包结构方法（续）闭包结构方法（续）设关系设关系R,r(R),s(R),t(R)关系矩阵分别为关系矩阵分别为M,Mr,Ms 和和 Mt,则则 Mr=M+E Ms=M+M Mt=M+M2+M3+E 是和是和 M 同阶单位矩阵同阶单位矩阵,M是是 M 转置矩阵转置矩阵.注意在上述等式中矩阵元素相加时使用逻辑加注意在上述等式中矩阵元素相加时使用逻辑加.第10页10闭包结构方法（续）闭包结构方法（续）设关系设关系R,r(R),s(R),t(R)关系图分别记为关系图分别记为G,Gr,Gs,Gt
9、,则则Gr,Gs,Gt 顶点集与顶点集与G 顶点集相等顶点集相等.除了除了G 边以外边以外,以以下述方法添加新边：下述方法添加新边：考查考查G每个顶点每个顶点,假如没有环就加上一个环，最终假如没有环就加上一个环，最终得到得到Gr.考查考查G每条边每条边,假如有一条假如有一条 xi 到到 xj 单向边单向边,ij,则在则在G中加一条中加一条 xj 到到 xi 反方向边，最终得到反方向边，最终得到Gs.考查考查G每个顶点每个顶点 xi,找从找从 xi 出发每一条路径，假如从出发每一条路径，假如从 xi 到到路径中任何结点路径中任何结点 xj 没有边，就加上这条边没有边，就加上这条边.当检验完当检验
10、完全部顶点后就得到图全部顶点后就得到图Gt.第11页11实例实例例例1 设设A=a,b,c,d,R=,R和和 r(R),s(R),t(R)关系图以下列图所表示关系图以下列图所表示.Rr(R)s(R)t(R)第12页12南宁空调回收 南宁空调出租 仧莒彾 Microsoft Office PowerPoint，是微软企业演示文稿软件。用户能够在投影仪或者计算机上进行演示，也能够将演示文稿打印出来，制作成胶片，方便应用到更广泛领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不但能够创建演示文稿，还能够在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。Microsoft
11、 Office PowerPoint做出来东西叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、pptx；或者也能够保留为：pdf、图片格式等第13页定理定理 R是是A上关系，则上关系，则R是自反，当且仅当是自反，当且仅当 r(R)=R.R是对称，当且仅当是对称，当且仅当 s(R)=R.R是传递，当且仅当是传递，当且仅当 t(R)=R.证实略，因为由闭包定义即可得。证实略，因为由闭包定义即可得。定理定理 R是是A上关系，则上关系，则R是自反，则是自反，则s(R)和和t(R)也自反。也自反。R是对称，则是对称，则r(R)和和t(R)也对称。也对称。R是传递，则是传递，则r(R)也传递。也传递。证实证实:因为因
12、为R自反自反,得得r(R)=R,即即R IA=R,r(s(R)=s(R)IA=(R R-1)IA=(R IA)R-1=r(R)R-1=R R-1=s(R)s(R)自反自反 第14页14类似能够证实类似能够证实t(R)也自反。也自反。证实证实.证实证实t(R)对称对称:(t(R)-1=(R R2.Rn.)-1 =R-1(R2)-1 .(Rn)-1.=R-1(R-1)2 .(R-1)n.=R R2.Rn.(R对称，对称，R-1=R)=t(R)所以所以t(R)也对称。也对称。类似能够证实类似能够证实r(R)也对称。也对称。证实证实.证实证实r(R)传递传递:先用归纳法证实下面结论先用归纳法证实下面结
13、论:(R IA)i=IA R R2.Ri i=1时时 R IA=IA R 结论成立。结论成立。假设假设ik 时结论成立，即时结论成立，即 (R IA)k=IA R R2.Rk(R2)-1=(R R)-1=R-1 R-1=(R-1)2第15页15当当i=k+1时时(R IA)k+1=(R IA)k (R IA)=(IA R R2.Rk）(IA R)=(IA R R2.Rk)(R R2.Rk+1)=IA R R2.Rk Rk+1所以结论成立所以结论成立.t(r(R)=t(R IA)=(R IA)(R IA)2(R IA)3.=(IA R)(IA R R2)(IA R R2 R3).=IA R R2
14、 R3.=IA t(R)=IA R (R传递传递t(R)=R)=r(R)所以所以r(R)也传递。也传递。第16页16定理定理设设R1、R2是是A上关系，假如上关系，假如R1 R2，则，则 r(R1)r(R2)s(R1)s(R2)t(R1)t(R2)证实证实 r(R1)=IA R1 IA R2=r(R2)，类似可证。类似可证。定理定理设设R是是A上关系，则上关系，则 sr(R)=rs(R)tr(R)=rt(R)st(R)ts(R)证实：证实：sr(R)=r(R)(r(R)-1=(R IA)(R IA)-1 =(R IA)(R-1 IA-1)=R IA R-1 IA =(R R-1)IA=s(R)IA=rs(R)证实用前边证实结论：证实用前边证实结论：(R IA)k=IA R R2.Rk很轻易证实，这里从略。很轻易证实，这里从略。第17页17 因因 R s(R)，得，得 t(R)ts(R)；st(R)sts(R)因因s(R)对称，得对称，得ts(R)也对称，得也对称，得sts(R)=ts(R)所以有所以有st(R)ts(R)。证实完成。证实完成。通常将通常将t(R)记成记成R+，tr(R)记成记成R*，即即 t(R)=R+=R R2.Rn=tr(R)=rt(R)=R*=R0 R R2.Rn=Rii=1Rii=0第18页18
