1、1.2.1 1.2.1 函数的概念函数的概念1.在初中我们学习了哪几个基本函数？其函数解析式分别是什么？问题提出2.2.初中对函数概念是如何定义的？初中对函数概念是如何定义的？在一种变化过程中，如果有两个变量在一种变化过程中，如果有两个变量x x与与y y，并且，并且对于对于x x的每一种拟定的值，的每一种拟定的值，y y都有唯一拟定的值与都有唯一拟定的值与其对应，那么我们就说其对应，那么我们就说x x是自变量，是自变量，y y是是x x的函数的函数.一次函数：；二次函数：；反比例函数：知识探究（一）知识探究（一）一枚炮弹发射后，通过26s落到地面击中目的.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面
2、的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h130t-5t2.思考思考1 1：这里的变量：这里的变量t t的变化范畴是什么？变量的变化范畴是什么？变量h h的变化范的变化范畴是什么？试用集合表达？畴是什么？试用集合表达？At|0t26，Bh|0h845思考思考2 2：高度变量：高度变量h h与时间变量与时间变量t t之间的对应关系与否为函之间的对应关系与否为函数？若是，其自变量是什么？数？若是，其自变量是什么？思考思考3 3：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高845m845m是如何是如何得到的？得到的？知识探究（二）知识探究（二）近几十年来，大气层中
3、的臭氧快速减少，因而近几十年来，大气层中的臭氧快速减少，因而出现了臭氧层空洞问题出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显示了下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从南极上空臭氧层空洞的面积从1979197920012001年的年的变化状况变化状况.S（106km2）15t（年）51979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 200101020253026思考思考1 1：根据曲线分析，时间：根据曲线分析，时间t t的变化范畴是什的变化范畴是什么？臭氧层空洞面积么？臭氧层空洞面积S S的变化范畴是什么？试用的变化范畴是什么？试用集合表
4、达？集合表达？At|1979t2001；Bs|0s26思考思考2 2：时间变量：时间变量t t与臭氧层空洞面积与臭氧层空洞面积S S之间的对之间的对应关系与否为函数？若是，其自变量是什么？应关系与否为函数？若是，其自变量是什么？思考思考3 3：这里表达函数关系的方式与上例有什么：这里表达函数关系的方式与上例有什么不同？不同？知识探究（三）知识探究（三）国际上惯用恩格尔系数反映一种国家人民生活质国际上惯用恩格尔系数反映一种国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表下表是是“八五八五”计划以来我国城乡居民恩格尔系数变计划以来我国城乡居民恩格尔系
5、数变化状况化状况.时间（年）（年）19911992199319941995199619971998199920002001恩格恩格尔系数系数（%）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9思考思考1 1：用：用t t表达时间，表达时间，r r表达恩格尔系数，那表达恩格尔系数，那么么t t和和r r的变化范畴分别是什么？的变化范畴分别是什么？A=1991，1992，2001，B=53.8，52.9,50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9思考思考2 2：时间变量：时间变量t t与恩格尔系数与恩格尔系数r r之间的
6、对应之间的对应关系与否为函数？关系与否为函数？知识探究（四）知识探究（四）思考思考1 1：从集合与对应的观点分析，上述三个实：从集合与对应的观点分析，上述三个实例中变量之间的关系都能够如何描述？例中变量之间的关系都能够如何描述？对于数集A中的每一种x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一拟定的y和它对应，记作 f：AB.思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还能够如何定义？设A，B是非空的数集，如果按照某种拟定的对应关系f，使对于集合A中的任意一种数x，在集合B中都有唯一拟定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一种函数，记作 y=
7、f(x)，xA.其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.解释定义A,B是非空的数集。是非空的数集。对应关系对应关系思考：思考：“按照某种拟定的对应关系按照某种拟定的对应关系 ”是什么意思？是什么意思？f 可以看作是对“x”施加的某种运算或法则。例如：，f 就是对自变量x求平方。思考：如何理解思考：如何理解“”“”？符号y=f(x)表达“y是变量x的函数”，它仅仅是函数符号，并不表达y等于f与x的乘积。思考：思考：当当a a为常数时，为常数时，f(a)f(a)表达的是自变量表达的是自变量x=ax=a时对应的函数值，是一种常数。时对应的函数值，是一种常数。自变量的取值范畴自变量的取值范畴
8、A A叫做函数的定义域；叫做函数的定义域；函数值的集合函数值的集合f(x)|xAf(x)|xA叫做函数的值域叫做函数的值域.思考思考3 3：在从集合：在从集合A A到集合到集合B B的一种函数的一种函数f f：ABAB中，集合中，集合A A是函数的定义域，是函数的定义域，集合集合B B是函数的值域吗？如何理解是函数的值域吗？如何理解f(x)=1f(x)=1，xRxR？例如：例如：定义域为定义域为0,1,2，值域为，值域为0,2,4思考思考4 4：一种函数由哪几个部分构成？如果给：一种函数由哪几个部分构成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域拟定吗
9、？两个函数相等的条件是什么？域拟定吗？两个函数相等的条件是什么？定义域、对应关系、值域；定义域、对应关系、值域；定义域相似，对应关系完全一致定义域相似，对应关系完全一致,则两个函数则两个函数相等相等.函数的值域由函数的定义域和对应关系所拟定；函数的值域由函数的定义域和对应关系所拟定；下列可作为函数下列可作为函数y=f(x)的图象的是的图象的是xxxxyyyyOOOO练习练习:判断下列关系式与否是函数？并阐明理由。判断下列关系式与否是函数？并阐明理由。判断下列对应能否表达判断下列对应能否表达y是是x的函数的函数（1）y=|x|（2）|y|=x（3）y=x 2 （4）y2 =x （5）y2+x2=
10、1 （6）y2-x2=1 (1)能能 (2)不能不能 (5)不能不能 (3)能能 (4)不能不能 (6)不能不能 例2、对于函数y=f(x)，下列说法对的的有()y是x的函数 对于不同的x,y的值也不同 f(a)表达当x=a时函数f(x)的值，是一种常量 f(x)一定能够用一种具体的式子表达出来A、1个 B、2个 C、3个 D、4个B例3、给出四个命题：定义域相似，值域相似的两个函数相等。若函数的定义域只含有一种元素，则值域也只有一种元素 因f(x)=5(xR),这个函数值不随x的变化范畴而变化，因此f(0)=5也成立 定义域和对应关系拟定后，函数值也就拟定了 对的有()A、1个 B、2个 C
11、、3个 D、4个C下列例下列例4、例、例5、例、例6与否满足函数定义与否满足函数定义例例4 若物体以速度若物体以速度v作匀速直线运动，则作匀速直线运动，则 物体通过的距离物体通过的距离S与通过的时间与通过的时间t的关系的关系 是是Svt.例例5 某水库的存水量某水库的存水量Q与水深与水深h(指最深处指最深处 的水深的水深)以下表：以下表：水深水深h(米米)0510152025存水量存水量Q(立方立方)0204090 160 275例例6 设时间为设时间为t，气温为，气温为T()，自动测温，自动测温仪测得某地某日从凌晨仪测得某地某日从凌晨0点到午夜点到午夜24点点的温度曲线以下图的温度曲线以下图
12、.201510506 12 18 24 T()t t2.函数的三要素函数的三要素:定义域定义域A；值域值域f(x)|xA；对应法则对应法则f.(1)函数符号函数符号yf(x)表达表达y是是x的函数，的函数，(2)f(x)不是表达不是表达 f 与与x的乘积；的乘积；(2)f 表达对应法则，不同函数中表达对应法则，不同函数中f 的具的具 体含义不同；体含义不同；函数函数对应法则对应法则定义定义域域值域值域正比例正比例 函数函数反比例反比例 函数函数一次函数一次函数二次函数二次函数RRRRR3.已学函数的定义域和值域已学函数的定义域和值域反比例函数反比例函数一次函数一次函数二次函数二次函数a 0a
13、0图像图像定义域定义域值域值域Back3.已学函数的定义域和值域已学函数的定义域和值域实数集实数集R R 使分母不等于使分母不等于0 0的实数的集合的实数的集合使根号内的式子不不大于或等于使根号内的式子不不大于或等于0 0的实数的集合的实数的集合使各部分式子都故意义的实数的集合使各部分式子都故意义的实数的集合(即各集合的交集即各集合的交集)使实际问题故意义的实数的集合使实际问题故意义的实数的集合 (3)(3)如果如果y=f(x)是二次根式，则定义域是是二次根式，则定义域是(4)(4)如果如果y=f(x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是是由几个部分的式子构成的，则定义域是(1)(1)如果如果
14、y=f(x)是整式，则定义域是是整式，则定义域是(2)(2)如果如果y=f(x)是分式，则定义域是是分式，则定义域是(5)(5)如果是实际问题，是如果是实际问题，是例例1 求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：例题解说例题解说 解:(1)要使函数故意义，只需即 ，因此函数 的定义域为 。求下列函数的定义域求下列函数的定义域（1）（2）（4）（5）解：解：解：（1）这个函数与函数虽然对应关系相同，但是定义域不相同。所以这个函数与函数 不相等。（2）,这个函数与函数这个函数与函数不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数与函数 相等。相
15、等。例例4 下列各组中的两个函数与否为相似的下列各组中的两个函数与否为相似的函数？函数？（1 1）定义域不同。）定义域不同。（2 2）定义域不同。）定义域不同。（3 3）定义域和值域都不同）定义域和值域都不同。练习：判断下列函数练习：判断下列函数f(x)与与g(x)与否表达相与否表达相等的函数，并阐明理由？等的函数，并阐明理由？设设a,b是两个实数，并且是两个实数，并且ab,我们规定：我们规定：(1)、满足不等式、满足不等式axb的实数的实数x的集合叫做闭区间，的集合叫做闭区间，表达为表达为 a,b(2)、满足不等式、满足不等式axb的实数的实数x的集合叫做开区间，的集合叫做开区间，表达为表达
16、为 (a,b)(1)、满足不等式、满足不等式axb或或aa,x b,xb的实数的集合分别表的实数的集合分别表达为达为a,+)、(a,+)、(-,b、(-,b).试用区间表达下列实数集试用区间表达下列实数集（1）x|5 x6 （2）x|x 9（3）x|x -1 x|-5 x2（4）x|x -9x|9 x20注意：注意：区间是一种表达持续性的数集区间是一种表达持续性的数集定义域、值域经惯用区间表达定义域、值域经惯用区间表达实心点表达涉及在区间内的端点，用空心点表达不实心点表达涉及在区间内的端点，用空心点表达不 涉及在区间内的端点。涉及在区间内的端点。例6.已知函数 （1）求）求f(x)的定义域；的
17、定义域；（2）求）求f(x+3)的体现式，以及的体现式，以及f(x+3)的定义域。的定义域。（3）求）求f(2x+1)的体现式，以及的体现式，以及f(2x+1)的定义域。的定义域。注意：注意：1.函数函数f(x+3)的定义域指的是的定义域指的是x的取值范畴，而不是的取值范畴，而不是x+3 的取值范畴。的取值范畴。2.本题中函数本题中函数f(x+3)的定义域为的定义域为-1x2，则，则2x+3 5 与与f(x)的定义域相似。因素是我们在求的定义域相似。因素是我们在求f(x+3)的体现的体现式时是用式时是用“x+3”整个替代整个替代f(x)体现式中的体现式中的“x”。变式变式1：已知函数f(x)的
18、定义域为(2,5，求函数f(x+3)的定义域。变式变式2：已知函数f(x+3)的定义域为(-1,2，求函数f(x)的定义域。解：解：(1)由于由于f(x)的定义域为的定义域为(2,5，因此，因此2x+35，得得-1x2。因此函数。因此函数f(x+3)的定义域为的定义域为(-1,2。（2）由于f(x+3)的定义域为(-1,2，因此-1x2，得2x+35，因此f(x)的定义域为(2,5。1.已知函数f(x)的定义域为-1,1，求函 数f(2x+1)的定义域。2.已知函数f(2x-1)的定义域为-3,3,求函数f(x)的定义域。1.已知函数f(2x-1)的定义域为0,1)，求 f(1-3x)的定义域。2.已知函数f(x)的定义域为0,1，求 的定义域。3.若函数f(x+3)的定义域为-5,-2,求F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域。
