1、1.2.1 函数的概念函数的概念数学天才数学天才莱布尼兹 函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，以描述曲线的一种有关量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人普通接触到的函数即属这类。对于可导函数能够讨论它的极限和导数。此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。一、复习引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一种变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一种值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.这种用变量叙述的函数定
2、义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。数等。对于数集对于数集A中的中的每个元素，每个元素，按照某种对应关系按照某种对应关系f，在数集，在数集B中都能找到中都能找到唯一唯一的元素与之对应，记作的元素与之对应，记作 f：AB 问题一：问题一：给定集合给定集合A=1，2，3，4，5；集合；集合B=3，6，9，12，1551324.1215 A B（1）如图，集合）如图，集合A和集合和集合B有什么对应关系？有什么对应关系？（2）集合）集合A中的每个元素在中的每个元素在B中能找到几个元素与之对应中能找
3、到几个元素与之对应函数：函数：设集合设集合A，B是非空数集，如果按照某种对应是非空数集，如果按照某种对应关系关系f，使对于集合，使对于集合A中的任意一种数中的任意一种数x，集合，集合B中都有唯一拟定的数中都有唯一拟定的数 f(x)和它对应，那么称和它对应，那么称 f：AB 为从集合为从集合A到集合到集合B的一种函数，记作的一种函数，记作 y=f(x),xA.则 y=3x ,xA即 f(x)=3x ,xA51324.1215 A B 3（1）定义域定义域：x叫做叫做自变量。自变量。（2）值域值域：与与x值相对应的值值相对应的值y叫做叫做函数值。函数值。x的取值范畴的取值范畴A叫做函数的定义域；叫
4、做函数的定义域；函数值的集合函数值的集合f(x)xA叫做函数的叫做函数的值值域域。51324.1215 A B 3定义域为A=1，2，3，4，5值域为B=3，6，9，12，15 例如:(1)一次函数y=ax+b（a0）定义域为R值域为Ry=ax+b（a0）x(2)二次函数 定义域为R值域为B x练习：求下列函数的定义域练习：求下列函数的定义域:（1）（2）分析：分析：答案：答案：答案：答案：分析：分析：归纳：拟定用解析式表达的函数的归纳：拟定用解析式表达的函数的定义域的普通办法：定义域的普通办法：1、f(x)是整式是整式2、f(x)是分式是分式3、f(x)是二次根式是二次根式4、如果、如果f(
5、x)由几个部分由几个部分 的数学式子构成的的数学式子构成的函数的定义域是函数的定义域是R;R;函数的定义域是使函数的定义域是使 分母不为分母不为0 0的实数的实数 的集合；的集合；函数的定义域是函数的定义域是 使被开方式不小使被开方式不小 于于0 0的实数的集合；的实数的集合；定义域是使各定义域是使各 部分都故意义的部分都故意义的 实数集合。实数集合。例1 已知函数 （1）求函数的定义域（2）求 的值（3）当a0时，求 的值解解（1）有意义的实数有意义的实数x的集合是的集合是x|x-3 有意义的实数有意义的实数x的集合是的集合是x|x-2 所以所以 这个函数的定义域就是这个函数的定义域就是 （
6、2）（3）因为a0,所以f（a），f（a-1）有意义例1 已知函数 （1）求函数的定义域（2）求 的值（3）当a0时，求 的值函数定义域值域对应关系 值域是由定义域和对应关系决定的。如果两个函数的定义域定义域和和对应关系对应关系完 全一致，就知这两个两个函数相等函数相等。函数有三要素，即：例2下列函数哪个与函数y=x相等 解（1），这个函数与y=x（xR）对应一样，定义域不不同，所以和y=x（xR）不相等 （2）这个函数和y=x（xR）对应关系一样，定义域相同xR，所以和y=x（xR）相等（4）的定义域是x|x0，与函数 y=x（xR）的对应关系一样，但是定义域 不同，所以和y=x（xR）不相
7、等x，x0-x，x0 （3）这个函数和y=x（xR）定义域相同x R，但是当x0时，它的对应关系为y=-x所以和y=x（xR）不相等 例2下列函数哪个与函数y=x相等3.下列各组函数中，与否表达同一函数？下列各组函数中，与否表达同一函数？设a,b是两个实数，并且ab,我们规定：(1)、满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表达为 a,b.(2)、满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表达为 (a,b).(3)、满足不等式axb或aa,xa,xaxbxb（-，b（-，b）（a，+）a，+）实数集R能够用区间表达为(-,+),“”读作“无穷大”。例例1、试用区间表达下列实集：、试用区间表达
8、下列实集：x|5 x6 (2)x|x 9(3)x|x -1 x|-5 x2(4)x|x 9x|-9 x20例3 设f(x)的定义域是-1,3，试求函数f(2x+1)的定义域。分析：函数f(2x+1)的自变是仍是x，不是2x+1，故应由2x+1满足的条件中求出x的取值范畴，进而得所求定义域。解：由已知-12x+13，得-1x1。得函数f(2x+1)的定义域是-1,1。拓展拓展例4(1)（孪生问题1）已知f(x)=x2-x+1，求f(2x+1)。(2)(孪生问题2）已知f(2x+1)的定义域是-1,3，且f(x)的定义域由f(2x+1)拟定，试求f(x)的定义域。解(1)：f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+1=4x2+2x+1。解(2)：由已知-1x3，得2x+1-1,7，又f(x)的定义域由f(2x+1)拟定，故f(x)的定义域为-1,7。注:(1)f(x)意含对x的一种运算法则；(2)解题时经常将一种变量作为整体看；(3)2x+1-1,7与-12x+17是同义句。拓展拓展作业：P24 A组 1 ，4
