1、 2充足条件与必要条件 1.通过具体实例理解充足条件、必要条件、充要条件2.会判断充足条件和必要条件3.能证明命题的充要条件.1.充足条件和必要条件的判断(重点)2.充足条件和必要条件的分辨(易混点)3.充要条件的判断(重点)4.证明充要条件时，充足性和必要性的分辨(易混点)1命题的基本构造形式是 ，其中 是条件，是结论2原命题和它的 命题同真假若p，则qpq逆否命题真假“若p则q”是真命题“若p则q”是假命题推出关系 条件关系p是q的 条件q是p的 条件p不是q的 条件q不是p的 条件充足必要充足必要pq2.充要条件(1)如果现有 ，又有 ，就记作pq，p是q的充足必要条件，简称 条件(2)
2、概括地说：如果 ，那么p与q互为充要条件(3)充要条件的证明：证明充要条件应从两个方面证明，一是 ，二是 pqqp充要pq充足性必要性1ab是a|b|的()A充足而不必要条件B必要而不充足条件C充要条件D既不充足也不必要条件解析：由ab不一定可推出a|b|，但由a|b|一定能够推出ab.答案：B2(2009年天津卷)设xR，则“x1”是“x3x”的()A充足而不必要条件B必要而不充足条件C充要条件D既不充足也不必要条件解析：当x1时，x3x成立若x3x，x(x21)0，得x1,0,1；不一定得到x1.答案：A3在“x2(y2)20是x(y2)0的充足不 必 要 条 件”这 句 话 中，已 知
3、条 件 是_，结论是_答案：x2(y2)20 x(y2)04指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)在ABC中，p：AB，q：BCAC；(2)p：数列an是等差数列，q：数列an的通项公式是an2n1.解 析：(1)在 ABC中，显 然 有ABBCAC，因此p是q的充要条件(2)由于数列an的通项公式是an2n1数列an是等差数列，而数列an是等差数列/数列an的通项公式是an2n1，因此p是q的必要不充足条件.1(2011大纲全国卷，3)下面四个条件中，使ab成立的充足而不必要的条件是()Aab1Bab1Ca2b2 Da3b3解析：A项：若ab1，则必有ab，反之，当a2，b1时，满足ab，
4、但不能推出ab1，故ab1是ab成立的充足而不必要条件；B项：当ab1时，满足ab1，反之，由ab1不能推出ab；C项：当a2，b1时，满足a2b2，但ab不成立；D项：ab是a3b3的充要条件，总而言之答案选A.答案：A2(2011湖南卷，3)“x1”是“|x|1”的()A充足不必要条件 B必要不充足条件C充足必要条件 D既不充足又不必要条件解析：当x1时，|x|1，即x1|x|1，因此“x1”是“|x|1”的充足条件，排除B，D；当|x|1时，则x1或x1，因此不一定会有x1/x1，因此“x1”不是“|x|1”的必要条件，故选A.答案：A对充足条件与必要条件的判断，有的能够直接根据定义去判
5、断，有的需要对条件和结论进行必要的化简或变形，再由定义去判断，也能够从集合的关系入手去判断解题过程1.给出下列四组命题：(1)p：x20；q：(x2)(x3)0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等(3)p：m2；q：方程x2xm0无实根(4)p：一种四边形是矩形；q：四边形的对角线相等试分别指出p是q的什么条件 (12分)与否存在实数p，使q：“4xp0”的充足条件？如果存在，求出p的取值范畴2.已知p：x28x200，q：x22x1a20.若p是q的充足不必要条件，求正实数a的取值范畴解析：p：由x28x200得(x10)(x2)0即x10设px|x10q：由x22x1a20得x(
6、1a)x(1a)0当a0时，q：x|x1a当a0，q：x22x1(x1)20q：x|x1pq成立综上，a的取值范畴3a3.(2011陕西卷，12)设nN，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.答案：3或4解答本题首先应分清条件和结论，再证明充足性和必要性3.试证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.因此方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号即方程ax2bxc0有一正根和一负根1充足条件：“若p则q”为真命题，即pq，则p是q的充足条件2必要条件：“若q则p”为真命题，即qp，则p是q的必要条件3充要条件：如果现有pq，又有qp，即pq，则p是q的充足
7、必要条件，简称充要条件，同时q也是p的充要条件，即p与q互为充要条件1定义法：判断B是A的什么条件，事实上就是判断BA或AB与否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再运用定义即可判断2转换法：当所给命题的充要条件不易鉴定时，可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进行判断3集正当：对命题的条件和结论间的关系进行判断有困难时，有时能够从集合的角度来考虑，记p、q对应的集合分别为A、B，则：1定义法：分别证明充足性和必要性两个方面在解题时要避免把充足性当必要性来证明的错误，这就需要先分清条件与结论，若从条件推出结论，就是充足性；若从结论推出条件，就是必要性2等价法：就是从条件(或结
8、论)开始，逐步推出结论(或条件)，但要注意每步都是等价的，即反过来也能推出注意证明“充要条件”普通应分两个环节，即分别证明“充足性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充足条件，“谁”是“谁”的必要条件尽管证明充要条件问题中前者能够是后者的充足条件，也能够是必要条件，但还是不能把环节颠倒了普通地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充足性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即qp；证明必要性时则是以p为“已知条件”，即pq.判断下列各题中的条件是结论的什么条件(1)条件A：ax2ax10的解集为R，结论B：0a4；(2)条件p：AB，结论q：ABB.【错解】(1)a24a0，即0a4，当0a4时，ax2ax10恒成立，故BA.而ax2ax10的解集为R时，有0a4，故AB，A是B的充要条件(2)ABABB，pq，而ABB时，有AB，BA.p是q的充要条件【错因】这类题的易错点是在用定义判断时，无视了无论是AB，还是BA均要认真考虑与否有反例，这一点往往是判断充足性和必要性的核心，也是难点如(1)题中，往往根据一元二次不等式的解去考虑此题，而无视了a0时原不等式变为10这一绝对不等式的状况在(2)题中同样容易无视AB这一特殊状况
