1、3.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数对数函数的导数:（5）.指数函数的导数指数函数的导数:（3）.三角函数三角函数：（1）.常函数：常函数：(C)0,(c为常数为常数)；（2）.幂函数幂函数：(xn)nxn 1一复习回想：一复习回想：1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式函数函数 y=f(x)在给定区间在给定区间 D 上，当上，当 x 1、x 2 D且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在D上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在D上是减函数上
2、是减函数；若若 f(x)在在D上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x)在在D上含有严格的单调性。上含有严格的单调性。D称为称为单调区间单调区间D=(a,b)二、复习引入二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间；若函数在此区间上是减函数，则为单调
3、递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的前提下的前提下,比较比较f(x1)f(x2)的大小的大小,在函数在函数y=f(x)比较复比较复杂的状况下杂的状况下,比较比较f(x1)与与f(x2)的大小并不很容易的大小并不很容易.如果如果运用导数来判断函数的单调性就比较简朴运用导数来判断函数的单调性就比较简朴.观观 察察:下图下图(1)表达高台跳水运动员的高度表达高台跳水运动员的高度 h 随时间随时间 t 变化变化的函数的函数 的图象的图象,图图(2)表达高台跳水表达高台跳水运动员的速度运动员的速度
4、 v 随时间随时间 t 变化的函数变化的函数 的图的图象象.运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO 运动员从起跳到运动员从起跳到最高点最高点,离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t 的增加而增加的增加而增加,即即h(t)h(t)是增函数是增函数.相应相应地地,从最高点到入水从最高点到入水,运动员运动员离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t t的的增加而减少增加而减少,即即h(t)h(t)是减函数是减函数.相应地相应地,(1)(1)(2)(2)xyOxyOxyOxyOy=
5、xy=x2y=x3 观察下面某些函数的图象观察下面某些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系.在某个区间在某个区间(a,b)(a,b)内内,如果如果 ,那么函数那么函数 在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增;如果如果 ,那么那么函数函数 在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减.如果在某个区间上恒有如果在某个区间上恒有f(x)=0,f(x)=0,则则f(x)f(x)有如何的特点？有如何的特点？题题1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4,或或 x 1时时,当当 x=4,或或 x=1时时,试画出函数试画出函数 的图象的大致形
6、状的图象的大致形状.解解:当当1 x 4,或或 x 0(或或f(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）确认并指出递增区间（或递减区间）题题3 3 如图如图,水以常速水以常速(即单位时间内注入水的体积相似即单位时间内注入水的体积相似)注入下面四种底面积相似的容器中注入下面四种底面积相似的容器中,请分别找出与各容器请分别找出与各容器对应的水的高度对应的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象.(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO 普通地普通地,如果一种函数在某一范畴内导数如果一种函数在某一范畴内导数的绝
7、对值较大的绝对值较大,那么函数在这个范畴内变化得那么函数在这个范畴内变化得快快,这时这时,函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”(”(向上或向上或向下向下););反之反之,函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”某些某些.如图如图,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”,”,在在 或或 内的图象内的图象平缓平缓.题题4.证明函数证明函数f(x)=2x3-6x2+7在（在（0，2）内是）内是减函数减函数.证明可导函数证明可导函数f(x)在在(a,b)内的单调性的办法：内的单调性的办法：(1)求求f(x)(2)确认确认f(x)在在(a,b)内的符号内的符号(3)作出结论作出结论练习练习1.判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性,并求出单调区间并求出单调区间:练习练习2.函数函数 的图象如图所示的图象如图所示,试画出导函数试画出导函数 图象图象的大致形状的大致形状练习练习3.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.解解:由由 ,得得 ,即函数即函数 的递增区的递增区间是间是 ;相应地相应地,函数的递减区间是函数的递减区间是 由由 ,得得 ,即函数即函数 的递增区的递增区间是间是 ;相应地相应地,函数的递减区间是函数的递减区间是作业作业：作业：P26 练习练习 3 P31 A组组 1（1、2)2(2、4）
