1、 函数的奇偶性函数的奇偶性 一一.诊疗赔偿诊疗赔偿 1.上节课我们学习了函数最值的定义上节课我们学习了函数最值的定义,定义中两点是定义中两点是缺一不可的缺一不可的,另外另外,若函数的最大值和最小值存在若函数的最大值和最小值存在,则都是则都是唯一的唯一的,但取最值时的自变量能够有多个但取最值时的自变量能够有多个.有些函数不一有些函数不一定有最值定有最值,有最值的不一定同时有最大值最小值有最值的不一定同时有最大值最小值.2.单调函数在闭区间上的最值单调函数在闭区间上的最值,核心是先判断函数的核心是先判断函数的单调性单调性,然后在区间的端点处获得然后在区间的端点处获得.求下列函数的最值：求下列函数的
2、最值：（1）y=x2-2x+3,xR （2）y=x2-2x+3,x2,5 （3）y=x2-2x+3,x-2,0 （4）y=x2-2x+3,x0,4二.学习目的l l掌握函数奇偶性的定义l l并会应用函数的图象有关函数的图象有关y轴对称轴对称 函数值函数值f(-3)，f(3)；f(-2)，f(2)；f(-1)，f(1)有何有何特点？特点？.(x,f(x).(-x,f(-x)这两个点的坐标这两个点的坐标有什么关系有什么关系?三三.投标导学投标导学.(x,f(x).(-x,f(-x)这两个点的坐标这两个点的坐标有什么关系有什么关系?当自变量任取两个当自变量任取两个互为相反数互为相反数的值时，的值时，
3、对应的函数值对应的函数值相等相等。普通地普通地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一种的定义域内任意一种x,都有都有f(-x)=f(x),那么函数那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数.思考思考:定义中定义中“任意一种任意一种x,都有都有f(-x)=f(x)成立成立”阐明了什么？阐明了什么？阐明阐明f(-x)与与f(x)都故意义，都故意义，即即-x、x必须同时属于定义域，必须同时属于定义域，因此偶函数的定义域有关原点对称的。因此偶函数的定义域有关原点对称的。四四.探究交流探究交流练习练习1:判断下面两个函数是否是偶函数判断下面两个函数是否是偶函数?并说明理由并说明理由.(1)f(
4、x)=5x2+3,x-3,2;(2)f(x)=判断函数的奇偶性，必须首先讨判断函数的奇偶性，必须首先讨论函数的定义域与否有关原点对称论函数的定义域与否有关原点对称 练习练习2、已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右边的图轴右边的图象如图，画出函数象如图，画出函数y=f(x)在在y轴左边的图象轴左边的图象xyo画出这些点有关画出这些点有关y轴的对称点，例如点轴的对称点，例如点A1、A2、A3、A4、A5的对称点，分别的对称点，分别为为A1,A2,A3,A4,A5用一条光滑曲线把画出的点连接起来，例如用平滑曲线连用一条光滑曲线把画出的点连接起来，例如用平滑曲线连接点接点 A
5、1,A2,A3,A4,A5后，就得到函数后，就得到函数y=f(x)在在y轴左边的图象。轴左边的图象。在在在在y y 轴右边的图象上取几个点。例如取点轴右边的图象上取几个点。例如取点轴右边的图象上取几个点。例如取点轴右边的图象上取几个点。例如取点A1,A2,A3,A4,A5A1,A2,A3,A4,A5(这些点普通应涉及图象的最低点、最高点等）。这些点普通应涉及图象的最低点、最高点等）。这些点普通应涉及图象的最低点、最高点等）。这些点普通应涉及图象的最低点、最高点等）。A1A2A3A4A5A1A2A3A4A5图象有关原点对称图象有关原点对称思考思考:那么有关原点对称的点的坐标之间有什么关系呢？那么
6、有关原点对称的点的坐标之间有什么关系呢？当自变量任取两个互为相反数的值时，当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值互为相反数。对应的函数值互为相反数。.(x,f(x).(-x,f(-x)普通地普通地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一种的定义域内任意一种x,都有都有f(-x)=-f(x),那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数.定义中定义中“任意一种任意一种x,都有都有f(-x)=-f(x)成立成立”阐明了什么阐明了什么？阐明阐明f(-x)与与f(x)都故意义，都故意义，即即-x、x必须同时属于定义域，必须同时属于定义域，因此奇函数的定义域有关原点对称的。因此奇函
7、数的定义域有关原点对称的。由此可见，定义域有关原点对称是函数含有奇偶性的由此可见，定义域有关原点对称是函数含有奇偶性的 前提条件。前提条件。2 2、既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数。、既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数。1、如果函数、如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说函数是奇函数或偶函数，就说函数f(x)含有含有 奇偶性奇偶性.函数的奇偶性是函数的整体性质。函数的奇偶性是函数的整体性质。3、定义域有关原点对称是函数含有奇偶性的前提条件。、定义域有关原点对称是函数含有奇偶性的前提条件。4、含有奇偶性的函数的图象的特性：、含有奇偶性的函数的图象的特性：(1).偶函数的
8、图象有关偶函数的图象有关y轴对称轴对称(2).奇函数的图象有关原点对称奇函数的图象有关原点对称函数奇偶性定义中应注意：函数奇偶性定义中应注意：对函数的整个定义域而言的，对函数的整个定义域而言的，要与单调性区别开来要与单调性区别开来.(1)(2)(3)(4)偶函数偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数非奇非偶函数判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性ooooxxxxyyyyy0yx偶函数偶函数yx0y是奇函数也是偶函数是奇函数也是偶函数(5)(6)函数按与否有奇偶性可分为四类函数按与否有奇偶性可分为四类五五.启发精讲启发精讲已知函数已知函数f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数。
9、既是奇函数又是偶函数。证明：证明：f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 f(-x)=f(x),且且f(-x)=-f(x)f(x)=-f(x)2f(x)=0 即即f(x)=0.这样的函数这样的函数有多少个呢有多少个呢？求证：求证：f(x)=0解：解：(1)对于函数对于函数f(x)=x4,其定义域为其定义域为(-,+)对定义域内的每一种对定义域内的每一种x,都有都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)函数函数f(x)=x4为偶函数为偶函数.判断函数奇偶性的普通环节：判断函数奇偶性的普通环节：1 1、看函数的定义域与否有关原点对称，若不对称，、看函数的定义域与否有关原点对称，若不对称，
10、则得出结论：该函数无奇偶性。若定义域对称，则则得出结论：该函数无奇偶性。若定义域对称，则2 2、计算、计算f f（-x-x），若等于），若等于f f（x x），则函数是偶函数；若），则函数是偶函数；若等于等于-f-f（x x），则函数是奇函数。若两者都不满足，则），则函数是奇函数。若两者都不满足，则函数既不是奇函数也不是偶函数。函数既不是奇函数也不是偶函数。注意：注意：1 1、若能够作出函数图象的，直接观察图象与否、若能够作出函数图象的，直接观察图象与否 有关有关y y轴对称或者有关原点对称。轴对称或者有关原点对称。2 2、判断函数奇偶性的办法：、判断函数奇偶性的办法：定义法定义法 图象法图象
11、法六六.练习检测练习检测1.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x4+1 （2）f(x)=+x解：（解：（1）函数的定义域是）函数的定义域是（-，+）f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)4 4+1=x+1=x4 4+1=f(x)+1=f(x)f(x)=xf(x)=x4 4+1+1 是偶函数是偶函数（2）函数的定义域（函数的定义域（0，+）（3）f(x)=x3+|x|+1 （4）f(x)=x3+x f(x)=+x既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数 因此因此,函数的定义域有关原点对称函数的定义域有关原点对称 函数的定义域不有关原点对称函数的定义域不有关原点对称(3)(3)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数(4)(4)奇函数奇函数七七.反馈矫正反馈矫正CC-7A八八.小结设疑小结设疑 (1)理解奇，偶函数的概念及图象特理解奇，偶函数的概念及图象特性性.(2)能判断函数的奇偶性能判断函数的奇偶性.九九.作业深化作业深化 P36 课后练习课后练习1.(1),(2),(3),(4).2题做在课本上题做在课本上
