1、Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST第第一一章章 数学建模概述数学建模概述1.1 1.1 数学应用与数学建模数学应用与数学建模1.2 1.2 数学建模基本问题数学建模基本问题1.3 1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 1.4 插值法与最小二乘法介绍插值法与最小二乘法介绍第第1页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartmen
2、t of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.1 1.1 数学应用与数学建模数学应用与数学建模数学广泛地应用于各个领域，如数学广泛地应用于各个领域，如:传统物理传统物理学、天文学、力学，及当代工程技术、社会学、天文学、力学，及当代工程技术、社会生活、信息技术等。生活、信息技术等。计算机技术发展为数学广泛应用创造了条计算机技术发
3、展为数学广泛应用创造了条件，尤其是一些数学软件开发使用，使得很件，尤其是一些数学软件开发使用，使得很多数学思想、方法得以实现。多数学思想、方法得以实现。第第2页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST 生物学生物学 航空宇
4、宙航空宇宙 滤波设计滤波设计第第3页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST 动力传输系统动力传输系统第第4页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of
5、 Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学模型数学模型(Mathematical Model)数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)1.1 1.1 数学应用与数学建模数学应用与数学建模第第5页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST对于一个对于一个现实对象现实
6、对象，为了一个，为了一个特定目标特定目标，依据其依据其内在规律内在规律，做出必要，做出必要简化假设简化假设，利用适当利用适当数学工具数学工具,得到一个得到一个数学结构数学结构数学模型数学模型(Mathematical Model)数学模型是实际对象一个抽数学模型是实际对象一个抽象模拟，它用数学符号、数学公象模拟，它用数学符号、数学公式、图表、算法或程序描述现实式、图表、算法或程序描述现实对象中数量关系。对象中数量关系。第第6页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematica
7、l Modeling Department of Mathematics HUST数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)建立数学模型全过程建立数学模型全过程（包含表述、求解、解释、验证等）（包含表述、求解、解释、验证等）第第7页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Mod
8、eling Department of Mathematics HUST数学建模全过程数学建模全过程现实对象信息现实对象信息数学模型数学模型现实对象解答现实对象解答数学模型解答数学模型解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目和信息将实际问题根据建模目和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问题成数学问题选择适当数学方法求得数学模型解答选择适当数学方法求得数学模型解答将数学语言表述解答将数学语言表述解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象信息检验得到解答用现实对象信息检验得到解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践第第8页页Mathe
9、matical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.2 1.2 数学建模基本问题数学建模基本问题数学建模方法数学建模方法数学建模基本过程数学建模基本过程数学模型分类数学模型分类怎样学好数学建模怎样学好数学建模数学建模竞赛数学建模竞赛第第9页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematic
10、al Modeling Department of Mathematics HUST测试分析方法：测试分析方法：对客观事物特征不能准确认对客观事物特征不能准确认识，只能经过对问题观察数据测量和分析，识，只能经过对问题观察数据测量和分析，找到与数据吻合最好模型。找到与数据吻合最好模型。如：如：回归分析方法，方差分析方法等。回归分析方法，方差分析方法等。数学建模方法数学建模方法机理分析方法：机理分析方法：依据对客观事物特征认识，依据对客观事物特征认识，分析其因果关系，经过推理分析得到数学模分析其因果关系，经过推理分析得到数学模型。型。如：如：微分方程方法，最优化方法等。微分方程方法，最优化方法等。
11、第第10页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学建模基本过程数学建模基本过程1.模型准备模型准备 了解问题实际背景，明确建模目标，了解问题实际背景，明确建模目标，搜集掌握必要数据资料。搜集掌握必要数据资料。2.模型假设模型假设 在明确建模目标在明确建模目标,掌握必要资料基础上掌握必要资料基础上,经过对资料分析计算经过对资料分析计算,找出起主要作用原因找出起主要作用原因,经经 必要
12、精炼、简化必要精炼、简化,提出若干符合客观实际假设。提出若干符合客观实际假设。3.模型建立模型建立 在所作假设基础上，利用适当数学工在所作假设基础上，利用适当数学工 具去刻划各变量之间关系具去刻划各变量之间关系,建立对应数学结构建立对应数学结构 即建立数学模型。即建立数学模型。4.模型求解模型求解 选择适当方法（解析法、数值法、画图法选择适当方法（解析法、数值法、画图法等）求解数学模型。等）求解数学模型。5.模型分析与检验模型分析与检验 对模型进行理论或计算分析，并用对模型进行理论或计算分析，并用实际数据检验是否符合实际。实际数据检验是否符合实际。在难以得出解析解时，也应该在难以得出解析解时，
13、也应该借助借助 计算机计算机 求出数值解。求出数值解。实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用第第11页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学模型分类数学模型分类分类标准分类标准分类标准分类标准详细类别详细类别建模目标建模目标描述、优化、预报、决议描述、优化、预报、决议 对某个实际对某个实际问题了解深问题了解深入程度入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白
14、箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量模型中变量特征特征连续型模型、离散型模型连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等或确定性模型、随机型模型等建模中所用建模中所用数学方法数学方法初等模型、微分方程模型、初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等差分方程模型、优化模型等研究课题实研究课题实际范围际范围人口模型、生态系统模型人口模型、生态系统模型、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、基因模型等济模型、基因模型等第第12页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathema
15、tical Modeling Department of Mathematics HUST怎样学好数学建模怎样学好数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用准则艺术无法归纳成普遍适用准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进他人做过模型学习、分析、评价、改进他人做过模型 亲自动手，认真做几个实际题目亲自动手，认真做几个实际题目第第13页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics
16、 HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST数学建模竞赛数学建模竞赛美国大学生数学建模竞赛：美国大学生数学建模竞赛：1985年至今，每年一年至今，每年一次，时间在次，时间在2月初第一个周五至下周二，共月初第一个周五至下周二，共96小小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包含数学时。三名学生组成一队参赛，要完成以包含数学建模全过程为素材撰写论文（建模全过程为素材撰写论文（英文英文）。）。全国大学生数学建模竞赛：全国大学生数学建模竞赛：1992年至今，每年一年至今，每年一次，时间在次，时间在9月下旬第一个周五至下周一，共月下旬第
17、一个周五至下周一，共72小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包含数小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包含数学建模全过程为素材撰写论文。学建模全过程为素材撰写论文。第第14页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.3 1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 稳定椅子稳定椅子1.3.2 商人安全过河商人安全过河1.3.4 人口增加预测人口增加预测1.3.3 传送系统效率传送系统效
18、率第第15页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST1.3.1 稳定椅子稳定椅子问题分析问题分析模型假设模型假设通常通常 三只脚着地三只脚着地 放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置最少三
19、只脚同时着地。地面相对平坦，使椅子在任意位置最少三只脚同时着地。椅子能在不平地面上放稳吗？椅子能在不平地面上放稳吗？问问 题题第第16页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型组成模型组成用数学语言把椅子位置和四只脚着
20、地关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)对称性对称性用用(对角线与对角线与x轴夹角轴夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 函数函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形对称性正方形对称性两个两个 距离距离xBADCODC B A 第第17页页Mathematical modelingMathematical mode
21、lingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTf(),g()是是连续函连续函数数对任意对任意,f(),g()最少一个为最少一个为0数学问题数学问题已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证实：证实：存在存在 0，使，使f(0)=g(0
22、)=0.地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置最少三只脚着地最少三只脚着地用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来模型组成模型组成第第18页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型求解模型求解给出一个简单、粗糙证实方法给出一个简单、粗糙证实方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD交换。交换。由由g
23、(0)=0，f(0)0，知，知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g连续性知连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续函数基本性质据连续函数基本性质,必必存在存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.建模关键建模关键:假设条件本质与非本质假设条件本质与非本质 考查四脚连线呈长方形椅子考查四脚连线呈长方形椅子 和和 f(),g()确确定定评注和评注和思索思索:第第19页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartme
24、nt of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河任一岸在河任一岸,一旦随从人数比商人多一旦随从人数比商人多,就杀人越货就杀人越货.不过乘船渡河方案由商人决定不过乘船渡河方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多
25、步决议过程多步决议过程决议决议 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上人员船上人员要求要求在安全前提下在安全前提下(两岸随从数不比商人多两岸随从数不比商人多),),经有限步使全体人员过河经有限步使全体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)1.3.2 商人安全过河商人安全过河第第20页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Math
26、ematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型组成模型组成yk第第k次渡河前此岸随从数次渡河前此岸随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程状态过程状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上商人数次渡船上商人数vk第第k次渡船上随从数次渡船上随从数dk=(uk,vk)决议决议D=(u,v)u+v=1,2 允许允许决议决议集集合合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-
27、1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并并按状按状态态转移律转移律由由 s1=(3,3)抵达抵达 sn+1=(0,0).多步决议问题多步决议问题xk第第k次渡河前此岸商人数次渡河前此岸商人数设设第第21页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling De
28、partment of Mathematics HUST模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y)16个格点个格点 10个个 点点允许决议允许决议 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案规格化方法规格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4 4名商人各带一名随从情况名商人各带一名随从情况d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2评注和评注和思索思索:第第22页页Mathematical m
29、odelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST传送带传送带挂钩挂钩产品产品工作台工作台背景背景1.3.3 传送系统效率传送系统效率 在机械化生产车间里你能够看到这么情景：排在机械化生产车间里你能够看到这么情景：排列整齐工作台旁工人们担心地生产同一个产品，列整
30、齐工作台旁工人们担心地生产同一个产品，工作台上方一条传送带在运转，带上设置着若干工作台上方一条传送带在运转，带上设置着若干个钩子，工人们将产品挂在经过他上方钩子上带个钩子，工人们将产品挂在经过他上方钩子上带走。走。第第23页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Departmen
31、t of Mathematics HUST1.3.3 传送系统效率传送系统效率问题问题 衡量这种传送系统效率能够看它是否及时地把衡量这种传送系统效率能够看它是否及时地把工人们生产产品带走。显然在工人数目不变情况工人们生产产品带走。显然在工人数目不变情况下传送带速度越快下传送带速度越快,带上钩子越多带上钩子越多,效率会越高。我效率会越高。我们要们要结构一个衡量传送系统效率指标结构一个衡量传送系统效率指标,而且在一些而且在一些简化假设下简化假设下建立一个模型来描述这个指标与工人建立一个模型来描述这个指标与工人数目数目,钩子数量等参数关系钩子数量等参数关系.传送带传送带挂钩挂钩产品产品工作台工作台第
32、第24页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST问题分析问题分析系统稳态系统稳态生产系统周期性运转生产系统周期性运转传送系统效率传送系统效率一个周期效率一个周期效率一个周期内传送带运走产品数占产品总数一个周期内传送带运走产
33、品数占产品总数百百分比分比作为衡量传送带效率作为衡量传送带效率数量数量指标指标1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第25页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST问题分析问题分析每人做完一件产品后每人做完一件产品后,要么
34、恰有空钩经过他工作台要么恰有空钩经过他工作台,使他可将产品挂上运走使他可将产品挂上运走,要么没有空钩经过要么没有空钩经过,迫使他迫使他放下这件产品并马上投入下件产品生产。放下这件产品并马上投入下件产品生产。工人们生产周期即使相同工人们生产周期即使相同,但稳态下每生产完一件但稳态下每生产完一件产品时刻不会一致产品时刻不会一致,能够认为是随机能够认为是随机,而且在一个周而且在一个周期内期内任一时刻可能性相同任一时刻可能性相同。系统稳态系统稳态生产系统周期性运转生产系统周期性运转工人们生产周期工人们生产周期(生产一件产品时间生产一件产品时间)相同相同1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第26页页M
35、athematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST系统稳态系统稳态生产系统周期性运转生产系统周期性运转工人们生产周期工人们生产周期(生产一件产品时间生产一件产品时间)相同相同 生产完一件产品时刻是生产完一件产品时刻是随机随机且在一个周期
36、内任一时刻且在一个周期内任一时刻可能性相同可能性相同问题分析问题分析挂挂上产品时刻也是上产品时刻也是随机随机一个周期内传送带运走产品数占产品总数一个周期内传送带运走产品数占产品总数百百分比分比作为衡量传送带效率作为衡量传送带效率数量指标数量指标1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第27页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUS
37、T Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型假设模型假设1）n个工作台个工作台均匀排列，均匀排列，n个工人生产相互独立，个工人生产相互独立，生产周期是常数；生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品时刻在）生产进入稳态，每人生产完一件产品时刻在 一个周期内是一个周期内是等可能等可能；3）一周期内）一周期内m个均匀排列挂钩个均匀排列挂钩经过每一工作台经过每一工作台 上方，抵达第一个工作台挂钩都是空；上方，抵达第一个工作台挂钩都是空；4）每人在生产完一件产品时都）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只能且只能触到一只
38、挂钩挂钩,若这只挂钩是空若这只挂钩是空,则可将产品挂上运走；则可将产品挂上运走；若该钩非空若该钩非空,则这件产品被放下则这件产品被放下,退出运输系统。退出运输系统。1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第28页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Ma
39、thematics HUST模型建立模型建立为确定为确定s s,从从工人工人考虑还是从考虑还是从挂钩挂钩考虑考虑,哪个方便哪个方便?传送带效率传送带效率=一周期内运走产品数一周期内运走产品数s(待定待定)生产总数生产总数 n（已知）（已知）=s/n=D 定义定义:从工人角度考虑从工人角度考虑,工人能将自己产品挂上钩子概率与工人所在位置相关工人能将自己产品挂上钩子概率与工人所在位置相关 在稳态下钩子没有次序，处于同等地位在稳态下钩子没有次序，处于同等地位 从钩子角度考虑从钩子角度考虑1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第29页页Mathematical modelingMathematical
40、 modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型建立模型建立从钩子角度考虑：从钩子角度考虑：若求出一周期内每只挂钩非空概率若求出一周期内每只挂钩非空概率p，则，则 s=mp 设每只挂钩为空概率为设每只挂钩为空概率为q，则，则 p=1-q 设每只挂钩不被一工人触到概率为设每只挂钩不被一工人触到概
41、率为r，则，则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到概率为设每只挂钩被一工人触到概率为u，则，则 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期内有一周期内有m个挂钩经过每一工作台上方个挂钩经过每一工作台上方怎样求概率怎样求概率P P 1.3.3 传送系统效率传送系统效率第第30页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Math
42、ematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST模型解释模型解释若若(一周期运行一周期运行)挂钩数挂钩数m远大于工作台数远大于工作台数n,则则 传送带效率传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比一周期内运走产品数与生产总数之比)定义定义E=1-D(一周期内未运走产品数与生产总数之比一周期内未运走产品数与生产总数之比)提升效率路径：提升效率路径：增加增加m当当n远大于远大于1时时,E n/2m E与与n成正比成正比,与与m成反比成反比若若n=10,m=40,D 87.5%(89.4%)1.3.3 传送系统效率传
43、送系统效率第第31页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增加概况世界人口
44、增加概况世界人口增加概况世界人口增加概况中国人口增加概况中国人口增加概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口改变规律研究人口改变规律控制人口过快增加控制人口过快增加1.3.4 人口增加预测人口增加预测目目第第32页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUS
45、TDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST指数增加模型指数增加模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出(1798)惯用计算公式惯用计算公式 N(t)时刻时刻t人口人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增加率增加率 r 是常数是常数,今年人口今年人口 N0,年增加率年增加率 r=b-d，k 年后人口年后人口伴随时间增加，人口按指数规律无限增加伴随时间增加，人口按指数规律无限增加第第33页页Mathematical modelingMathematical modelingDepa
46、rtment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST指数增加模型应用及不足指数增加模型应用及不足 与与19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合 适合用于适合用于19世纪后迁往加拿大欧洲移民后代世纪后迁往加拿大欧洲移民后代 可用于短期人口增加预测可用于短期人口增加预测 不符合不符合19世纪后多
47、数地域人口增加规律世纪后多数地域人口增加规律 不能预测较长久人口增加过程不能预测较长久人口增加过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据 人口增加率人口增加率r不是常数不是常数(逐步下降逐步下降)第第34页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathe
48、matics HUST阻滞增加模型阻滞增加模型(Logistic模型模型)人口增加到一定数量后，增加率下降人口增加到一定数量后，增加率下降原因原因：1.资源、环境等原因对人口增加阻滞作用资源、环境等原因对人口增加阻滞作用2.阻滞作用随人口数量增加而变大阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增加率固有增加率 (N很小时很小时)Nm人口容量（资源、环境能容纳最大数量）人口容量（资源、环境能容纳最大数量）r是是N减函数减函数第第35页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathemat
49、ical Modeling Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST0dN/dtNNmNm/2NmtN0N(t)S形曲线形曲线,N增加先快后慢增加先快后慢N0Nm/2阻滞增加模型阻滞增加模型(Logistic模型模型)第第36页页Mathematical modelingMathematical modelingDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeli
50、ng Department of Mathematics HUSTDepartment of Mathematics HUST Mathematical Modeling Department of Mathematics HUST 阻滞增加模型有一个稳定平衡值阻滞增加模型有一个稳定平衡值Nm,这比指这比指 数增加模型更符合实际。数增加模型更符合实际。利用美国人口统计数据，检验上述两个模型利用美国人口统计数据，检验上述两个模型 取取r=0.03134,Nm=197273000,得到计算结果得到计算结果 显示逻辑增加模型与实际误差更小。显示逻辑增加模型与实际误差更小。这里参数这里参数r和和Nm是
