1、埃舍尔（埃舍尔（M.C.ESCHER18981972）荷兰当代版画艺术家。）荷兰当代版画艺术家。他是一种将艺术与数学融合的画家，也因此享誉世界。他是一种将艺术与数学融合的画家，也因此享誉世界。资资料料埃舍尔的作品埃舍尔的作品欣欣赏赏用形状相似或不同的平面封闭图形把一块平面既无缝隙又不重叠的全部覆盖叫平面镶嵌。注意：多个图形拼接后要既注意：多个图形拼接后要既无缝隙，又不重叠。无缝隙，又不重叠。1 关注数学中的美 2 关注身边的数学随堂启迪请你帮忙请你帮忙：小新搬新家了：小新搬新家了,他的房间要自己设计他的房间要自己设计,地板地板想用一种正多边形的瓷砖来想用一种正多边形的瓷砖来镶嵌，镶嵌，商店有以
2、下几种瓷砖商店有以下几种瓷砖出售，请帮小新选一种。出售，请帮小新选一种。正六边形正六边形正八边形正八边形正十边形正十边形正十二边形正十二边形正五边形正五边形正方形正方形正三角形（1）用边长相似的正三角形能否镶嵌？）用边长相似的正三角形能否镶嵌？结论：用边长相似的正三角形能够镶嵌结论：用边长相似的正三角形能够镶嵌（2）用边长相似的正方形能否镶嵌？）用边长相似的正方形能否镶嵌？结论：用边长相似的正方形能够镶嵌结论：用边长相似的正方形能够镶嵌正五边形有重叠，因此不能够镶嵌。正五边形有重叠，因此不能够镶嵌。（3）用边长相似的正五边形能否镶嵌？）用边长相似的正五边形能否镶嵌？啊!拼不了啦,为什么呢?你能
3、说说道理吗?1231+2+3=?1+2+3=?（4）用边长相似的正六边形能否镶嵌？）用边长相似的正六边形能否镶嵌？结论：用边长相似的正六边形能够镶嵌结论：用边长相似的正六边形能够镶嵌八边形有重叠，因此不能够镶嵌。八边形有重叠，因此不能够镶嵌。要用几个形状、大小完全相要用几个形状、大小完全相似的图形不留空隙、不重叠似的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一种平面，需使得拼地镶嵌一种平面，需使得拼接点处的各角之和为接点处的各角之和为360正六边形正六边形正八边形正八边形正十边形正十边形正十二边形正十二边形正五边形正五边形“内角必须整除内角必须整除360度度”。144 。135 。150 。108 。120
4、。60 。90正六边形正六边形 。120要用正多边形镶嵌成一种平面的核心要用正多边形镶嵌成一种平面的核心是看：这种正多边形的一种内角的倍数与是看：这种正多边形的一种内角的倍数与否是否是360。因此说：在正多边形里只有正三角形、因此说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形能够密铺，而其它的正四边形、正六边形能够密铺，而其它的正多边形不可密铺。正多边形不可密铺。由于其它的正多边形的每个内角的倍由于其它的正多边形的每个内角的倍数都不是数都不是360，还能找到能密铺的其它正多边形吗？还能找到能密铺的其它正多边形吗？思考思考仅用一种正多边形镶嵌，仅用一种正多边形镶嵌，只有正三角形、正方形、正六边
5、形只有正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成一种平面。能镶嵌成一种平面。结论：结论：思考：思考：如果是任意的多边形，又有哪些能镶嵌呢？如果是任意的多边形，又有哪些能镶嵌呢？只有三角形和四边形。只有三角形和四边形。同一种任意三角形、四边形可否镶同一种任意三角形、四边形可否镶 嵌成一种平面？嵌成一种平面？问题用同一种平面图形如果不能密铺,用两种或者两种以上平面图形能不能密铺呢?做一做做一做下列不同正多边形能否镶嵌下列不同正多边形能否镶嵌?正三角形与正方形正三角形与正方形?正三角形与正五边形正三角形与正五边形?正三角形与正六边形正三角形与正六边形?正四边形与正六边形正四边形与正六边形?正三角形与正十二边
6、形正三角形与正十二边形?正三角形与正方形正三角形与正方形2m+3n=12m=3n=2 m60+n90=360。设在一种顶点周边有设在一种顶点周边有m个正三角个正三角形的角形的角,n个正方形的角，则有个正方形的角，则有m,n为正整数为正整数解为解为哪种漂亮些哪种漂亮些?1)1)正三角形与正方形镶嵌正三角形与正方形镶嵌2)2)正三角形与正六边形镶嵌正三角形与正六边形镶嵌m+2 n=6m=2n=2m=4n=1 m60+n120=360。设在一种顶点周边有设在一种顶点周边有m个正三角形的角个正三角形的角,n个正六边形的角，则有个正六边形的角，则有m,n为正整数为正整数解为解为4)4)正四边形正四边形与
7、正八边形与正八边形5)5)正三角形与正三角形与正十二边形正十二边形3)3)正五边形正五边形与正十边形与正十边形哪种漂亮些哪种漂亮些?用三种正多边形镶嵌用三种正多边形镶嵌,哪些能哪些能镶嵌成一种平面？镶嵌成一种平面？探究问题（三）探究问题（三）1 1、正六边形、正方形和正三角形的组合。、正六边形、正方形和正三角形的组合。2 2、正十二边形、正六边形和正方形的组合。、正十二边形、正六边形和正方形的组合。归纳归纳三种不同正多边形进行镶嵌：三种不同正多边形进行镶嵌：正三角形正三角形、正方形与正六边形，正方形与正六边形，正方形正方形、正六边形与正十二边形。正六边形与正十二边形。正三角形、正方正三角形、正
8、方形与正六边形形与正六边形正方形、正六边正方形、正六边形与正十二边形形与正十二边形这节课你有哪些收获这节课你有哪些收获?当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起正好构成一种周角时，就拼成一加在一起正好构成一种周角时，就拼成一种平面图形。种平面图形。正三角形与正方形正三角形与正方形正三角形正三角形正方形正方形正六边形正六边形正三角形与正六边形正三角形与正六边形正三角形与正十二边形正三角形与正十二边形正三角形、正方形正三角形、正方形与正六边形与正六边形正方形、正六边形正方形、正六边形与正十二边形与正十二边形正五边形与正十边形正五边形与正十边形正四边形与正八边
9、形正四边形与正八边形1 1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是(）A.A.三角形三角形 B.B.正方形正方形 C.C.任意四边形任意四边形 D.D.正八边形正八边形2 2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一种顶点周边的正方形的个数是（种顶点周边的正方形的个数是（）A.3 B.4 C.5 D.6A.3 B.4 C.5 D.63 3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，并且在每、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，并且在每一种正多边形的每一种顶点周边都有一种正多边形的每一种顶点周边都有6 6个正多边形，个正多边形，则该正多边形的边数为（则该正多边形的边数为（）A.3 B.4 C.5 D.6A.3 B.4 C.5 D.6DBA练习练习观察思考观察思考镶嵌图案观赏镶嵌图案观赏
