1、5米5米米x米米(X-5)米米(X+5)米米 村主任说村主任说:“:“邓老师啊邓老师啊,咱村因工业用地需要咱村因工业用地需要,要要动用你家那块正方形的土地动用你家那块正方形的土地,村里的方案是把这块地的村里的方案是把这块地的一边减少一边减少5 5米，另一边增加米，另一边增加5 5米，这样你也没什么吃亏，米，这样你也没什么吃亏，你看如何？如果能够你看如何？如果能够,麻烦你到村委签个名麻烦你到村委签个名!”!”我一听我一听,我就纳闷我就纳闷,我能否签这个名我能否签这个名?同窗们，帮老同窗们，帮老师分析一下，我终究会不会吃亏？师分析一下，我终究会不会吃亏？计算下列各题：计算下列各题：(1)(a+2)
2、(a-2)=_(2)(3+x)(3-x)=_(3)(2m+n)(2m-n)=_观察这些等式，左边的两个二项式进行的是什么运算,它们有什么特点？等式右边呢？议一议议一议你发现了什么规律？请用数学体现式表达；你能用自己的语言叙述这个规律吗？(a+b)(ab)=a2b2两数两数和和与这两数与这两数差差的积的积,这两数的这两数的平方差平方差.等于等于平方差公式：平方差公式：练一练练一练练一练练一练阅读算式，按规定填写下面的表格阅读算式，按规定填写下面的表格2m3n(-2m+3n)(2m+3n)3x2(2-3x)(2+3x)5x(x+5)(x-5)写成写成“a2 2-b2 2”的形式的形式与平方差与平方
3、差公式中公式中b b对应的项对应的项与平方差与平方差公式中公式中a对应的项对应的项算式算式(3n)-(2m)运用平方差公式计算的核心是运用平方差公式计算的核心是_运用平方差公式计算（先拟定各题的运用平方差公式计算（先拟定各题的a与与b再填空）再填空）(1)(5+6x)(5-6x)=()2-()2=_(2)(x-2y)(x+2y)=()2-()2=_(3)(-m+n)(-m-n)=()2-()2=_符号相似的项是符号相似的项是a,符号相反的项是符号相反的项是b56x25-36x2x2yx2-4y2-mnm2-n2 注意注意注意注意精确拟定精确拟定a和和b如何拟定如何拟定a与与b_运用平方差公式进
4、行计算运用平方差公式进行计算:1 1口答下列各题：口答下列各题：(l)(-(l)(-a+b)(a+b)=a+b)(a+b)=_(2)(a-b)(b+a)=_(2)(a-b)(b+a)=_(3)(-a-b)(-a+b)=_(3)(-a-b)(-a+b)=_(4)(a-b)(-a-b)=_(4)(a-b)(-a-b)=_a a2 2-b b2 2a a2 2-b b2 2b b2 2-a a2 2b b2 2-a a2 2两个二项式相乘其中一项相似两个二项式相乘其中一项相似,另一项互为相反另一项互为相反数数,成果是相似项的平方减去相反项的平方。成果是相似项的平方减去相反项的平方。(1)(a+b)(
5、ab)；(2)(ab)(ba);(3)(a+2b)(2b+a);(4)(ab)(a+b);(5)(2x+y)(y2x).(不能不能)2.2.下列式子可用平方差公式计算吗下列式子可用平方差公式计算吗?为什么为什么?如果能够，如何计算如果能够，如何计算?(不能不能)(不能不能)(能能)解解:原式原式(a2 b2)b2a2(不能不能)下图是一种边长为下图是一种边长为 a 的大正方形的大正方形,割去一种边长为割去一种边长为b 的小正方形的小正方形.小明将绿色和黄色两部分小明将绿色和黄色两部分拼成一种长方形拼成一种长方形.问问:小明能拼成功吗小明能拼成功吗?做一做做一做baab原图形实际面积为：原图形实
6、际面积为：_新长方形的面积为：新长方形的面积为：_baaba-bbbab解决问题解决问题 小明同窗去商店买了单价是小明同窗去商店买了单价是小明同窗去商店买了单价是小明同窗去商店买了单价是9.89.8元元元元/公斤的糖公斤的糖公斤的糖公斤的糖果果果果10.210.2公斤，售货员刚拿起计算器，小明就说公斤，售货员刚拿起计算器，小明就说公斤，售货员刚拿起计算器，小明就说公斤，售货员刚拿起计算器，小明就说出应是出应是出应是出应是99.9699.96元，成果与售货员计算出的成果元，成果与售货员计算出的成果元，成果与售货员计算出的成果元，成果与售货员计算出的成果相吻合。售货员很惊讶地说：相吻合。售货员很惊
7、讶地说：相吻合。售货员很惊讶地说：相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象是个神你好象是个神你好象是个神你好象是个神童，怎么算得这样快？童，怎么算得这样快？童，怎么算得这样快？童，怎么算得这样快？”小明同窗说：小明同窗说：小明同窗说：小明同窗说：“过奖过奖过奖过奖了，我运用了在数学上刚学过的一种公式。了，我运用了在数学上刚学过的一种公式。了，我运用了在数学上刚学过的一种公式。了，我运用了在数学上刚学过的一种公式。”你懂得小明同窗用的是什么公式吗？怎么计你懂得小明同窗用的是什么公式吗？怎么计你懂得小明同窗用的是什么公式吗？怎么计你懂得小明同窗用的是什么公式吗？怎么计算的呢算的呢算的呢算的呢?(1)10
8、298 (2)59.760.3 运用平方差公式计算运用平方差公式计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)+1=(28-1)(28+1)+1=216-1+1=216试用语言表述平方差公式试用语言表述平方差公式(a+b)(ab)=a2b2。应用平方差公式时要注意一些什么？应用平方差公式时要注意一些什么？两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。两数和与这
9、两数差的积，等于它们的平方差。运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相等的找出相等的找出相等的找出相等的“项项项项”和符号相反的和符号相反的和符号相反的和符号相反的“项项项项”，然后应用，然后应用，然后应用，然后应用公式公式公式公式.能力提高能力提高能力提高能力提高46557988111312122、观察并计算下列各组算式、观察并计算下列各组算式u从以上的过程中你发现了什么规律？从以上的过程中你发现了什么规律？u请用字母表达这一规律，你能阐明它请用字母表达这一规律，你能阐明它的对的性吗
10、？的对的性吗？=24=25=63=64=143=144思维拓展：思维拓展：已知已知(N+56)2=1234567,求求(N+46)(N+66)的值的值运用平方差公式计算运用平方差公式计算:56785680-56792=(5679-1)(5679+1)-56792=56792-1-56792=-1如果A=1234567892,B=123456788123456790,试比较A与B的大小.练一练练一练练一练练一练(a+3)(a-3)=a-3不对，不对，a29(5ab+1)(5ab-1)=25a2b21对对(0.1x+1)(0.1x1)=0.1x21不对，不对，0.01x21(5y+2)(5y-2)
11、=5y-4不对，不对，25y-4(x+3y)(x 3y）(-2x-y)(-y+2x)=y2-4x2对对平方差公式平方差公式练习练习:用平方差公式计算用平方差公式计算:(1)(-3x+4y(1)(-3x+4y2 2)(-4y)(-4y2 2-3x)-3x)(2)(x-2)(x(2)(x-2)(x2 2+4)(x+2)(x+4)(x+2)(x4 4+16)+16)(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2温故而知新温故而知新:两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差baab1).(3+4)2=32+42=2).(2+6)2=22+6
12、2=49256440(3+4)2 32+42(2+6)2 22+62 运用多项式与多项式相乘的法则计运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式：算下列各式：1、(a+b)23、(2a+x)2 观察上述观察上述1、2两题的计算成果，你发现有什两题的计算成果，你发现有什么规律？你能用你的发现来猜想第么规律？你能用你的发现来猜想第3题的成果吗题的成果吗？合合 作作 学学 习习=(a+b)(a+b)2、(2+x)2=(2+x)(2+x)=22+2x+2x+x2=(2a)2+22ax+x2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=22+22x+x2bbaa(a+b)ababab+完全平方和公式：(a+
13、b)2=a2+2ab+b2 的图形理的图形理解解你能用一种图形的面积直观地表达你能用一种图形的面积直观地表达（ab）2的成果吗？的成果吗？完全平方公式完全平方公式:两数两数和和的平方的平方,等于这两数的等于这两数的平方和平方和 ,加上加上这两数积的这两数积的2 2倍倍.(a+b)2=a2+2ab+b2普通的，我们有下列两数和的完全平方公式：小明写出了如下的算式小明写出了如下的算式小明写出了如下的算式小明写出了如下的算式:(ab)2=a+(b)2他是怎么想的他是怎么想的他是怎么想的他是怎么想的?你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗?a2 2ab+b2.(ab)2=(a
14、b)2=a+(b)2=a2+2a(-b)+(b)2=a2 2ab+b2aabb(a-b)aababbbb完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2的图形理的图形理解解完全平方公式完全平方公式:两数两数差差的平方的平方,等于这两数等于这两数的的平方和平方和,减去减去这两数积的这两数积的2 2倍倍.(ab)2=a22ab+b2模仿练习：模仿练习：（y7）2（7y）2(a+b)2=a2+2ab+b2(ab)2=a22ab+b2完全平方公式完全平方公式和的完全平方公式与差的完全平方公式统称和的完全平方公式与差的完全平方公式统称完全平方公式完全平方公式.平方差公式和完全平方公式也称乘法公式。平方差
15、公式和完全平方公式也称乘法公式。(a+b)2=a2+2ab+b2(ab)2=a22ab+b2完全平方公式完全平方公式构造特性构造特性:左边是左边是左边是左边是:的平方的平方的平方的平方;右边是右边是右边是右边是:(两数和两数和两数和两数和 )两数的平方和两数的平方和两数的平方和两数的平方和加上加上加上加上(减去减去减去减去)这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.:二项式二项式二项式二项式(差差差差)语言表述语言表述:两数和两数和两数和两数和 的平方的平方的平方的平方等于等于等于等于 这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和加上加上加上加上 这两数乘积
16、的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.(减去减去减去减去)或或或或(差差差差)首平方，尾平方，首尾两倍放中央首平方，尾平方，首尾两倍放中央公式变形为公式变形为（首（首尾）尾）2 2首首2 222首首尾尾尾尾2 2例例1 1 运用完全平方公式计算：运用完全平方公式计算：(1)(x+2y)(1)(x+2y)2;2;(2)(2a-5)(2)(2a-5)2 2;(3)(-2s+t)(3)(-2s+t)2 2;(4)(-3x-4y);(4)(-3x-4y)2 2.解：解：（1 1）原式）原式=x=x2 2+2x2y+2x2y+（2y2y）2 2 =x=x2 2+4xy+4y+4xy+4
17、y2 2（2 2）原式）原式=（2a2a）2 2-22a5+5-22a5+52 2=4a=4a2 2-20a+25-20a+25（3 3）原式）原式=（-2s-2s）2 2+2+2（-2s-2s）t+tt+t2 2=4s=4s2 2-4st+t-4st+t2 2（4 4）原式）原式=（-3x-3x）2 2-2-2（-3x-3x）4y+4y+（4y4y）2 2 =9x =9x2 2+24xy+16y+24xy+16y2 2(2)(-2a(2)(-2a2 2+b)+b)2 2例例2、运用完全平方公式计算：、运用完全平方公式计算：(1)(4a(1)(4a2-b-b2 2)2 2(3)(2a-3b)(
18、3)(2a-3b)2 2-2a(a-b)-2a(a-b)1 1、下面各式的计算与否对的？如果不对的，应、下面各式的计算与否对的？如果不对的，应当如何改正？当如何改正？(2)(x-y)(2)(x-y)2 2=x=x2 2-y-y2 2(3)(x-y)(3)(x-y)2 2=x=x2 2-2xy-y-2xy-y2 2(4)(x+2y)(4)(x+2y)2 2=x=x2 2+2xy+2y+2xy+2y2 2错错错错错错错错(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2(x+2+2y)2=x2+4xy+4y2（1 1）(x+y)(x+y)2 2=x=x
19、2 2+y+y2 2(2)(a-b)(2)(a-b)2 2 与与(b-a)(b-a)2 2(1)(-a-b)(1)(-a-b)2 2 与与(a+b)(a+b)2 22、比、比较较下列各式之下列各式之间间的关系：的关系：相等相等相等相等（3 3）(-b+a)(-b+a)2 2 与与(-a+b)(-a+b)2 2相等相等互互为为相反数的两式的完全平方成果同相反数的两式的完全平方成果同样样。3 3 下列等式与否成立下列等式与否成立?阐明理由阐明理由(1)(1)(4a+1)2=(14a+1)2=(14a)24a)2；(2)(2)(4a4a1)2=(4a+1)21)2=(4a+1)2；(3)(4a(3)
20、(4a1)(11)(14a)4a)(4a(4a1)(4a1)(4a1)1)(4a(4a1)21)2；(4)(4a(4)(4a1)(1)(1 14a)4a)(4a(4a1)(4a+1).1)(4a+1).4.4.在横线上填入适宜的整式在横线上填入适宜的整式:14x14x12x12x1 1例例3:一花农有一花农有1块正方形茶花苗圃，边长块正方形茶花苗圃，边长为为a（m）。现将这块苗圃的边长都增加）。现将这块苗圃的边长都增加1.5m，求这块苗圃的面积增加了多少，求这块苗圃的面积增加了多少m。aa1.51.5(a+1.5)-a=a+3a+2.25-a=3a+2.25一花农有一花农有4块正方块正方形茶花
21、苗圃形茶花苗圃,边长分别边长分别为为 30.1 m,29.5 m,30m,27m.现将这现将这4块苗圃的块苗圃的边长都增加边长都增加1.5m后后,求各苗圃的面求各苗圃的面积分别增加了多少积分别增加了多少m2?生活在线：生活在线：解：设原正方形苗圃的边长为解：设原正方形苗圃的边长为a(m)a(m)，边长增加，边长增加1.5m1.5m后，新正方形的边长为后，新正方形的边长为(a+1.5)m(a+1.5)m。(a+1.5)(a+1.5)2 2-a-a2 2=a=a2 2+3a+2.25-a+3a+2.25-a2 2=3a+2.25=3a+2.25当当a=30.1a=30.1时，时，3a+2.25=3
22、30.1+2.25=92.553a+2.25=330.1+2.25=92.55当当a=29.5a=29.5时，时，3a+2.25=329.5+2.25=90.753a+2.25=329.5+2.25=90.75当当a=30 a=30 时，时，3a+2.25=330+2.25=92.253a+2.25=330+2.25=92.25当当a=27 a=27 时，时，3a+2.25=327+2.25=83.253a+2.25=327+2.25=83.25答：答：4 4块茶花苗圃的面积分别增加了块茶花苗圃的面积分别增加了92.55m92.55m2 2，90.75m90.75m2 2，92.25m92.2
23、5m2 2，83.25m83.25m2 2。例例3 3、花农老万有花农老万有4 4块正方形菜花苗圃，边长分别为块正方形菜花苗圃，边长分别为30.1m30.1m，29.5m29.5m，30m30m，27m27m。现将这现将这4 4块苗圃的边长都增加块苗圃的边长都增加1.5m1.5m，求各苗圃的面积分别增加多少求各苗圃的面积分别增加多少m m2 2？例：运用完全平方公式计算：例：运用完全平方公式计算：(1)0.982 (2)10012解：解：(1)原式原式=（1 0.020.02）2 2=1=12 2 2 1 10.02+0.020.02+0.022 2=1 0.04+0.0004=0.9604（
24、2）原式）原式=（1000 +1）2=10002 +2 100010001+11+12 2=1000000+2000 +1=1002001 完全平方公式完全平方公式口诀：口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央首平方，尾平方，首尾两倍放中央完全平方公式：完全平方公式：1).不漏中间项。不漏中间项。2).注意中间项的符号对应。注意中间项的符号对应。3).乘方时应适宜添括号乘方时应适宜添括号注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：形式不同形式不同形式不同形式不同:平方差公式是两数平方差公式是两数平方差公式是
25、两数平方差公式是两数和和和和与两数与两数与两数与两数差差差差的的的的积积积积 完全平方公式的完全平方公式的完全平方公式的完全平方公式的两数和两数和两数和两数和的的的的平方平方平方平方成果不同：成果不同：成果不同：成果不同：完全平方公式的成果完全平方公式的成果完全平方公式的成果完全平方公式的成果 是三项，是三项，是三项，是三项，即即即即(a (a b)2b)2a2 a2 2ab+b2;2ab+b2;平方差公式的成果平方差公式的成果平方差公式的成果平方差公式的成果 是两项，是两项，是两项，是两项，即即即即(a+b)(ab)(a+b)(ab)a2b2.a2b2.(1)化简化简:(2m+1)2 -(2
26、m)2(3)(3)用简便的办法计算用简便的办法计算:23452+0.76552+2.4690.765523452+0.76552+2.4690.7655做一做：做一做：(4)(4)如果如果x2+ax+36x2+ax+36是一种完全平方式是一种完全平方式,那么那么a=_a=_(6)(6)已知已知(a+b)(a+b)2 2=11,ab=1,=11,ab=1,求求(a-b)(a-b)2 2的值的值.做一做：做一做：(5)(5)如果如果x2+6x+b2x2+6x+b2是一种完全平方式是一种完全平方式,那么那么b=b=；1212331、计算：、计算：2、若、若 ，则，则 =。提高拓展：提高拓展：生活在线
27、：生活在线：要给一边长为要给一边长为a a米的正方米的正方形桌子辅上正方形的桌布形桌子辅上正方形的桌布,桌布的四周均桌布的四周均超出桌面超出桌面0.10.1米米,问需要多大面积的桌布问需要多大面积的桌布.解解:由题意知由题意知,桌布是边长为桌布是边长为(a+0.2)米的正米的正方形方形,故面积为故面积为:(a+0.2)2=a2+0.4a+0.04(平方平方米米)答答答答:所需桌布的面积为所需桌布的面积为所需桌布的面积为所需桌布的面积为a a2 2+0.4a+0.04(+0.4a+0.04(平方平方平方平方米米米米)着手点着手点:1.桌布的形状桌布的形状 2.边长多少边长多少?生活在线：小红用生
28、活在线：小红用5块工艺布料制作靠垫块工艺布料制作靠垫面子面子,如图甲如图甲,其中四周的其中四周的4块由如图乙的块由如图乙的长方形布料裁成长方形布料裁成4块得到块得到,正中的一块从正中的一块从另一块布料裁得另一块布料裁得.正中一块正方形布料应正中一块正方形布料应裁取多大的面积裁取多大的面积(接缝无视不计接缝无视不计)分析分析:中间面积中间面积 =总面积总面积-周边面积周边面积解解:由图得由图得,大正方形的边长为大正方形的边长为 ,答答:中间正方形的面积应取中间正方形的面积应取第第 1课时课时第第23课时课时第第 4课时课时复习回想复习回想口答：口答：问题：问题：630能够被哪些整数整除？能够被哪
29、些整数整除？解决解决这个问题，需要对这个问题，需要对630进进行分解质因数行分解质因数630=23257类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中，有时需要将一种多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一种多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一种多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一种多项式写成几个整式的乘积的形式方便于更加好的解决某些问题方便于更加好的解决某些问题方便于更加好的解决某些问题方便于更加好的解决某些问题新课引入新课引入试试看试试看(将下列多项式写成几个整式的乘积将下列多项式写成几个整式的乘积)回想前面整式的乘法回想前面整式的乘法
30、上面我们把一种多项式化成了几个整上面我们把一种多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式这个多项式 ，也叫做把这个多项，也叫做把这个多项式式 。分解因式分解因式因式分解因式分解因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解与整式乘法是因式分解与整式乘法是逆变形逆变形 根据定义，判断下列变形是不是根据定义，判断下列变形是不是因式分解因式分解（把（把多项式多项式化成几个化成几个整式整式的的积积）创设情景创设情景 学校打算把操场重新规划一下，学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分为绿化带、运动场、主席台三个部分，以下图，计算
31、操场总面积。分，以下图，计算操场总面积。abcmabcm办法一：办法一：S=m(a+b+c)办法二：办法二：S=ma+mb+mcmm办法一：办法一：S=m(a+b+c)办法二：办法二：S=ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc下面两个式子中哪个是因式分解？下面两个式子中哪个是因式分解？在式子在式子ma+mb+mcma+mb+mc中，中，m m是这个多项是这个多项式中每一种项都含有的因式，叫做式中每一种项都含有的因式，叫做 。公因式公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)ma+mb+mc=m(a+b+c)在下面这个式子的因式分解过程中，在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式
32、的公因式，再将原式除先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一种新多项式，将这个多以公因式，得到一种新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。项式与公因式相乘即可。这种办法叫做提公因式法。这种办法叫做提公因式法。提公因式法普通环节：提公因式法普通环节：1、找到该多项式的公因式，、找到该多项式的公因式，2、将原式除以公因式，得到一种新、将原式除以公因式，得到一种新多项式，多项式，3、把它与公因式相乘。、把它与公因式相乘。如何精确地找到多项如何精确地找到多项式的公因式呢？式的公因式呢？1 1、系数、系数 全部项的系数的最大公因数全部项的系数的最大公因数 2 2、字母、字母 应提取每一项都有
33、的字母，应提取每一项都有的字母，且字母的指数取最低的且字母的指数取最低的 3 3、系数与字母相乘、系数与字母相乘最大公因数为最大公因数为3=3a的最低指数为的最低指数为1ab的最低指数为的最低指数为1b(3a5bc)=4st2(3s22t+1)pq(5q+7p+3)=按照提公因按照提公因式法因式分解。式法因式分解。提高训练提高训练(一一)提高训练提高训练(二二)第第 3课时课时第第 2课时课时复习回想复习回想还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：平方差公式：完全平方公式：完全平方公式：计算：计算：=(999+1)(9991)此处运用了什么公式此处运
34、用了什么公式?新课引入新课引入试计算：试计算：99921 12=1000998=998000平方差公式平方差公式逆用逆用因式分解因式分解:（1）x2;（2）y24252252=(x+2)(x2)=(y+5)(y5)这些计算过程中都这些计算过程中都逆用逆用了平方差公式了平方差公式即：即：此即运用平方差公式进行因式分解此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：用文字表述为：两个数的平方差等于这两个两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。数的和与这两个数的差的积。尝试练尝试练习习(对下列各式因式分解对下列各式因式分解)：a29=_49n2=_5s220t2=_100 x29y2=_(a
35、+3)(a3)(7+n)(7n)5(s+2t)(s2t)(10 x+3y)(10 x3y)x2+44x2+y2x41x2x66x354xy2(x+p)2(xq)2=y24x2=(y+2x)(y2x)=(x2)212=(x2+1)(x21)4x2+y2x41(x21)=(4x2y2)=(2x+y)(2xy)(x+1)(x1)因式分解一定要分解彻底因式分解一定要分解彻底!x2x6=x2(x3)2=(x+x3)(xx3)=x(1+x2)x(1x2)=x2(1+x2)(1+x)(1x)x2x6=x2(1x4)=x2(1+x2)(1x2)=x2(1+x2)(1+x)(1x)在我们现学过的因式分解办法中，
36、在我们现学过的因式分解办法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。先考虑提取公因式，再考虑用公式法。6x354xy2=6x(x29y2)=6x(x+3y)(x3y)(x+p)2(xq)2=(x+p)+(xq)(x+p)(xq)=(2x+pq)(p+q)YXYXYX 运用平方差运用平方差公式因式分解。公式因式分解。提高训练提高训练(一一)设设m、n为自然数且满足为自然数且满足关系式关系式12+92+92+22+m2=n2，则则m=_，n=_。提高训练提高训练(二二)3、n是自然数，代入是自然数，代入n3n中计算时，四个同窗算出中计算时，四个同窗算出以下四个成果，其中对的的只可能是以下四个成果，其中
37、对的的只可能是()。A.421800B.438911C.439844D.428158复习回想复习回想还记得前面学的完全平方公式吗？还记得前面学的完全平方公式吗？计算：计算：新课引入新课引入试计算：试计算：9992+1998+129991=(999+1)2=106此处运用了什么公式此处运用了什么公式?完全平方公式完全平方公式逆用逆用 就像平方差公式同样，完全平方就像平方差公式同样，完全平方公式也能够逆用，从而进行某些简便公式也能够逆用，从而进行某些简便计算与因式分解。计算与因式分解。即：即：这个公式能够用文字表述为：这个公式能够用文字表述为：两个数的平方和加上（或减去）两个数的平方和加上（或减去
38、）这两个数的积的这两个数的积的两两倍，等于这两个倍，等于这两个数的和（或差）的平方。数的和（或差）的平方。牛刀小试牛刀小试(对下列各式因式分解对下列各式因式分解)：a2+6a+9=_n210n+25=_4t28t+4=_4x212xy+9y2=_(a+3)2(n5)24(t1)2(2x3y)216x2+24x+94x2+4xyy2x2+2x14x28xy+4y212a2+a4(p+q)212(p+q)+36形如形如a22ab+b2的式子叫做的式子叫做完全平完全平方式方式。完全平方式一完全平方式一定能够运用完全平定能够运用完全平方公式因式分解方公式因式分解完全平方式的特点：完全平方式的特点：1、
39、必须是三项式（或能够当作三项的）、必须是三项式（或能够当作三项的）2、有两个同号的平方项、有两个同号的平方项3、有一种乘积项（等于平方项底数的、有一种乘积项（等于平方项底数的2倍）倍）简记口诀：简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首平方，尾平方，首尾两倍在中央。16x2+24x+94x2+4xyy24x28xy+4y2=(4x+3)2=(4x24xy+y2)=(2xy)2=4(x22xy+y2)=4(xy)22a2+(p+q)212(p+q)+36a41=(a21)2=(a+1)2(a1)2=(a+1)(a1)2=(p+q6)2XXX 用完全平方公用完全平方公式进行因式分解。式进行因式分
40、解。用恰当的办用恰当的办法进行因式分解。法进行因式分解。备选方法：备选方法：提公因式法提公因式法平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式提高训练提高训练(一一)给给4x2+1加上一个单项式，加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，这使它成为一个完全平方式，这个单项式可以是个单项式可以是_。提高训练提高训练(二二)提高训练提高训练(三三)知识构造知识构造因式分解因式分解惯用办法惯用办法提公因式法提公因式法公式法公式法十字相乘法十字相乘法分组分解法分组分解法拆项添项法拆项添项法配办法配办法待定系数法待定系数法求根法求根法一、提公因式法一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，只需找到多项式中的
41、公因式，然后用原多项式除以公因式，把所然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与得的商与公因式相乘即可。往往与其它办法结合起来用。其它办法结合起来用。提公因式法提公因式法随堂练习：随堂练习：1 1）15(15(mm n n)+13()+13(n n mm)2 2）4(4(x x+y y)+4()+4(x x33y y)二、公式法二、公式法 只需发现多项式的特点，再只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可将符合其形式的公式套进去即可完毕因式分解，有时需和别的办完毕因式分解，有时需和别的办法结合或多个公式结合。法结合或多个公式结合。接下来是某些惯用的乘法公接下来是某些
42、惯用的乘法公式，能够逆用进行因式分解。式，能够逆用进行因式分解。惯用公式惯用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）（平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)及及a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导公式推导这是公式这是公式x2+y
43、2+z2+xy+xz+yz的推导过程的推导过程不要与不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆混淆公式法公式法随堂练习：随堂练习：1 1）(a a2 21010a a+25)(+25)(a a2 2 25)25)2 2）x x3 3+3+3x x2 2+3 3x x+1+1二、公式法二、公式法 只需发现多项式的特点，再只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可将符合其形式的公式套进去即可完毕因式分解，有时需和别的办完毕因式分解，有时需和别的办法结合或多个公式结合。法结合或多个公式结合。三、十字相乘法三、十字相乘法前面出现了一种公式：前面出现了一种公式：前面出
44、现了一种公式：前面出现了一种公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们能够用它进行因式分解（合用于二次三项式）我们能够用它进行因式分解（合用于二次三项式）我们能够用它进行因式分解（合用于二次三项式）我们能够用它进行因式分解（合用于二次三项式）例例1：因式分解：因式分解x2+4x+3能够看出常数项能够看出常数项3=13而一次项系数而一次项系数4=1+3原式原式=(x+1)(x+3)暂且称为暂且称为暂且称为暂且称为p、q型因式分解型因式分解例例2：因式分解：因式分解x27x+10能够看出常数项能够看出常数项10=(2)(5)而一次项系数而
45、一次项系数7=(2)+(5)原式原式=(x2)(x5)这个公式简朴的说，这个公式简朴的说，这个公式简朴的说，这个公式简朴的说，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：1 1）a a2 266a a+52+52）a a2 2 5 5a a+6+63 3）x x2 2(2(2mm+1)+1)x x+mm2 2+mm22三、十字相乘法三、十字相乘法试因式分
46、解试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到十字相乘法（合用于二次三项这里就要用到十字相乘法（合用于二次三项式）。式）。既然是二次式，就能够写成既然是二次式，就能够写成既然是二次式，就能够写成既然是二次式，就能够写成(ax+b)(cx+d)(ax+b)(cx+d)的形式。的形式。的形式。的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd因此，需要将二次项系数与常数项分别拆成两因此，需要将二次项系数与常数项分别拆成两因此，需要将二次项系数与常数项分别拆成两因此，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数
47、的积与另外两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。解就成功了。解就成功了。解就成功了。=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=76x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+63x2+11x+10=(x+2)(3x+5)=65x26xy8y2试因式分解试因式分解5x26xy8y2。这
48、里仍然能够用十字相乘这里仍然能够用十字相乘法。法。15244 105x26xy8y2=(x2y)(5x+4y)简记口诀：简记口诀：首尾分解，首尾分解，交叉相乘，交叉相乘，求和凑中。求和凑中。十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：1 1）4 4a a2 299a a+2+22 2）7 7a a2 21919a a663 3）2(2(x x2 2+y y2 2)+5)+5xyxy四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等某些变换达成因式分解的目的。某些变换达成因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解ab
49、ac+bdcd。解：原式解：原式=(abac)+(bdcd)=a(bc)+d(bc)=(a+d)(bc)尚有别尚有别的解法的解法吗？吗？四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等某些变换达成因式分解的目的。某些变换达成因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解abac+bdcd。解：原式解：原式=(ab+bd)(ac+cd)=b(a+d)c(a+d)=(a+d)(bc)例例2：因式分解：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+
50、x+1)=(x+1)(x2x+1)(x2+x+1)立方和公式立方和公式分组分解法分组分解法随堂练习：随堂练习：1 1）xyxy xzxz y y2 2+2+2yzyz z z2 22 2）a a2 2 b b2 2 c c2 222bcbc22a a+1+1回想例题：因式分解回想例题：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1x2)=(x+1)(x2+1)2x2=(x+1)(x2+x+1)(x2x+1)五五*、拆项添项法、拆项添项法怎么成果怎么成果与刚刚不与刚刚不同呢？同呢
