1、简单复合函数的求导法则第1页复习：复习：两个函数和、差、积、商求导两个函数和、差、积、商求导公式。公式。1、常见函数导数公式：常见函数导数公式：2、法则、法则1 法则法则2,法则法则3 第2页复合函数导数复合函数导数新讲课新讲课函数函数 ，组成间关系？组成间关系？可由可由 与与 复合得到复合得到 例例1 指出以下函数复合关系：指出以下函数复合关系：（1）（2）（3）（4）由由 复合而成复合而成 解解：（：（1）（2 2）由由 复合而成复合而成（3 3）由由 复合而成复合而成（4 4）由由 复合而成复合而成 第3页复合函数导数复合函数导数新讲课新讲课例例2 写出由以下函数复合而成函数：写出由以下
2、函数复合而成函数：（1）（2 2）解解：（：（1 1）（2）第4页1.复合函数概念:二、讲授新课：第5页29-Nov-24怎样对复合函数求导呢？第6页引例引例 一艘油轮发生泄漏事故，泄出原油在海面上形一艘油轮发生泄漏事故，泄出原油在海面上形成一个圆形油膜，其面积成一个圆形油膜，其面积 是半径是半径 函数：函数：油膜半径油膜半径 伴随时间伴随时间 增加而扩大，其函数关增加而扩大，其函数关系为：系为：问：油膜面积问：油膜面积 关于时间关于时间 瞬时改变率是多瞬时改变率是多少？少？第7页分析：分析：油膜面积油膜面积 关于时间关于时间 新函数：新函数：因为因为所以由导数运算法则可得：所以由导数运算法则
3、可得：第8页定定理理 设设函函数数 y=f(u)，u=(x)均均可可导导，则复合函数则复合函数 y=f(x)也可导也可导.且且或或复合函数求导法则复合函数求导法则即：即：因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则 )注意：1、法则能够推广到两个以上中间变量；2、求复合函数导数,关键在于分清函数复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.第9页即即证证设变量设变量 x 有增量有增量 x，因因 为为 u 可可 导导，对应地变量对应地变量 u 有有增量
4、增量 u，从从 而而 y 有有 增增 量量 y.第10页复合函数复合函数 中，令中，令 ，则，则注意：注意：注意：注意：不要写成不要写成 ！对对x求导求导对对 求导求导第11页复合函数导数复合函数导数若若 ，求，求 并分析三个函数解析式以及导数之间关系并分析三个函数解析式以及导数之间关系新讲课新讲课函数函数 可由可由 复合而成复合而成第12页例例1：求：求导数导数分析：分析：解解1：解解2：可由y=sinu,u=2x复合而成=2cos2xxxxx2cos)2(sincos)(sin=?第13页复合函数导数复合函数导数例题讲解例题讲解例例2 求求 导数导数解：设解：设 ，则则 第14页（1）首先
5、要首先要搞清复合关系搞清复合关系，尤其要，尤其要注意中间变量注意中间变量；（2）尽可能地将函数尽可能地将函数化简化简，然后再，然后再求导求导；（3）要注意复合函数求导法则与四则运算综合要注意复合函数求导法则与四则运算综合利用利用；（4）复合函数求导法则，常被称为复合函数求导法则，常被称为“链条法则链条法则”，一环套一环，缺一不可一环套一环，缺一不可。复合函数求导法则注意问题：复合函数求导法则注意问题：例例3 3第15页 例例3 求函数求函数 导数。导数。例例4 求函数求函数 导数。导数。解析解析解析解析第16页 利用复合函数求导法则来求导数时，首先要利用复合函数求导法则来求导数时，首先要搞搞清
6、复合关系，清复合关系，而选择而选择中间变量中间变量是复合函数求导是复合函数求导关键。关键。分析：分析：令令 ，则函数是由，则函数是由 与与 复合而成，由复合函数求导法则复合而成，由复合函数求导法则可知：可知：解：解：例例3 例例3 求函数求函数 导数。导数。第17页解：解：令令 ，则函数是由，则函数是由 与与 复合而成，由复合函数求导法则复合而成，由复合函数求导法则可知：可知：例例4 求函数求函数 导数。导数。第18页（1）分解；（2）求导；（3）相乘；（4）回代。复合函数求导基本步骤：复合函数求导基本步骤：第19页例例5 5、一个港口某一一个港口某一观察点水位在退潮察点水位在退潮过程中，水程
7、中，水面高度面高度y y（单位：位：cmcm）。关于）。关于时间t t（单位：位：s s）函数）函数为，求函数在，求函数在t t=3=3时导数，数，并解释它实际意义。并解释它实际意义。解：解：函数函数是由函数是由函数与与复合而成，其中复合而成，其中x x是中是中间变量。量。将将t t=3=3代入代入得：得：（cm/s）。）。它表示当它表示当t=3时，水面高度下降速度为时，水面高度下降速度为 cm/s。第20页例例6 求以下函数导数：求以下函数导数：前面所求都是详细复合函数导数，而此题前面所求都是详细复合函数导数，而此题中对应法则中对应法则 f 是未知，是抽象复合函数。它们是未知，是抽象复合函数
8、。它们导数怎样求得？导数怎样求得？解析解析第21页 而而对于抽象复合函数求导对于抽象复合函数求导,首先要从其形式上把首先要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量，另首先要充分利用握其结构特征，找出中间变量，另首先要充分利用复合关系求导法则。复合关系求导法则。分析分析:求复合函数导数求复合函数导数,关键关键在于在于分清函数复合关分清函数复合关系系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导。个变量对哪个变量求导。第22页解：解：（1）函数是由）函数是由 与与 复合而成，复合而成，由复合函数求导法则知：由复合函数求导法则知：（2）函数由）
9、函数由 与与 复合而成，复合而成，由复合函数求导法则知：由复合函数求导法则知：练习练习第23页1.求以下函数导数：求以下函数导数：2.求曲线求曲线 在在 处切线方程。处切线方程。动手做一做动手做一做例例4第24页求以下函数导数：求以下函数导数：动手做一做动手做一做第25页小结小结关键：关键：分清函数复合关系，合理选定中间变量。分清函数复合关系，合理选定中间变量。复合函数求导公式：复合函数求导公式：利用复合函数求导公式能够求抽象函数导数。利用复合函数求导公式能够求抽象函数导数。对于抽象复合函数求导对于抽象复合函数求导,要从其形式上把握其结要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量；另外要充分利用复
10、合关系构特征，找出中间变量；另外要充分利用复合关系求导法则。求导法则。抽象复合函数导数：抽象复合函数导数：结束结束第26页 利用复合函数求导法则来求导数时，利用复合函数求导法则来求导数时，选择中间选择中间变量是复合函数求导关键变量是复合函数求导关键。必须。必须正确分析复合函数正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样次序复合而成是由哪些基本函数经过怎样次序复合而成，分清分清其间复合关系其间复合关系。要善于把一部分量、式子暂时看成。要善于把一部分量、式子暂时看成一个整体，这个暂时整体，就是中间变量。求导时需一个整体，这个暂时整体，就是中间变量。求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中尤要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中尤其要注意中间变量系数，求导后，要把中间变量转换其要注意中间变量系数，求导后，要把中间变量转换成自变量函数。成自变量函数。总结总结概括概括第27页
