1、算算 法法 案案 例例1/45案例案例11辗转相除法与更相减辗转相除法与更相减损术损术2/451.回顾算法三种表述：回顾算法三种表述：自然语言自然语言程序框图程序框图程序语言程序语言（三种逻辑结构）（三种逻辑结构）（五种基本语句）（五种基本语句）3/452.思索：思索：小学学过求两个数最大条约数方法？小学学过求两个数最大条约数方法？先用两个公有质因数连续去除，一直除先用两个公有质因数连续去除，一直除到所得商是互质数为止，然后把全部除数连到所得商是互质数为止，然后把全部除数连乘起来乘起来.4/451、求两个正整数最大条约数、求两个正整数最大条约数（1）求）求25和和35最大条约数最大条约数（2）
2、求）求49和和63最大条约数最大条约数25（1）5535749（2）77639所以，所以，25和和35最大条约数为最大条约数为5所以，所以，49和和63最大条约数为最大条约数为72、除了用这种方法外还有没有其它方法？、除了用这种方法外还有没有其它方法？算出算出8256和和6105最大条约数最大条约数.5/45辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求观察用辗转相除法求8251和和6105最大条约数过程最大条约数过程 第一步第一步 用两数中较大数除以较小数，求得商和余数用两数中较大数除以较小数，求得商和余数8251=61051+2146结论：结论：8251和和6105
3、条约数就是条约数就是6105和和2146条约数，求条约数，求8251和和6105最大条约数，只要求出最大条约数，只要求出6105和和2146条约数就能够了。条约数就能够了。第二步第二步 对对6105和和2146重复第一步做法重复第一步做法6105=21462+1813同理同理6105和和2146最大条约数也是最大条约数也是2146和和1813最大条约数。最大条约数。为什么呢为什么呢？思考：从上述的过程你体会思考：从上述的过程你体会到了什么？到了什么？6/45完整过程完整过程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+14833
4、3=1482+37148=374+0例例2 用辗转相除法求用辗转相除法求225和和135最大条约数最大条约数225=1351+90135=901+4590=452显然显然37是是148和和37最大条约数，最大条约数，也就是也就是8251和和6105最大条约数最大条约数 显然显然45是是90和和45最大条约数，也就是最大条约数，也就是225和和135最大条约数最大条约数 思索思索1：从上面两个例子能够看出计算规：从上面两个例子能够看出计算规律是什么？律是什么？S1：用大数除以小数：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复：重复S1，直到余数为，直到
5、余数为07/45 辗转相除法是一个重复执行直到余数等于辗转相除法是一个重复执行直到余数等于0停顿步骤，这实际上是一停顿步骤，这实际上是一个循环结构。个循环结构。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m=n q r用程序框图表示出右边过程用程序框图表示出右边过程r=m MOD nm=nn=rr=0?是否思考思考2 2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？8/451 1、辗转相除法（欧几里得算法）、辗转相除法（欧几里得算法）（1）算理：所
6、谓辗转相除法，就是对于给定）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定两个数，用较大数除以较小数。若余数不为两个数，用较大数除以较小数。若余数不为零，则将余数和较小数组成新一对数，继续零，则将余数和较小数组成新一对数，继续上面除法，直到大数被小数除尽，则这时较上面除法，直到大数被小数除尽，则这时较小数就是原来两个数最大条约数。小数就是原来两个数最大条约数。9/45（2 2）算法步骤）算法步骤第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算第二步：计算m除以除以n所得余数所得余数r.第三步：第三步：m=n,n=r.第四步：若第四步：若r0,则则m,n最大条约数等于最大条约数等于m
7、；不然转到第二步不然转到第二步.第五步：输出最大条约数第五步：输出最大条约数m.10/45（3 3）程序框图）程序框图（4 4）程序）程序INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND开始开始输入输入m,n r=m MOD n m=nr=0?是是否否 n=r 输出输出m结束结束11/45九章算术九章算术更相减损术更相减损术 算理：算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。数约之。第一步：第一步：任意给定
8、两个正整数；判断他们是否都是任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。约简；若不是则执行第二步。第二步：第二步：以较大数减较小数，接着把所得差与较小以较大数减较小数，接着把所得差与较小数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得减数和差相等为止，则这个等数就是所求最大条得减数和差相等为止，则这个等数就是所求最大条约数。约数。12/452、更相减损术、更相减损术（1）算理）算理：所谓更相减损术，就是对于给：所谓更相减损术，就是对于给定两个数，用较大数减去较小数，然后将差定两个数，用较大数减去较小数
9、，然后将差和较小数组成新一对数，再用较大数减去较和较小数组成新一对数，再用较大数减去较小数，重复执行此步骤直到差数和较小数相小数，重复执行此步骤直到差数和较小数相等，此时相等两数便为原来两个数最大条约等，此时相等两数便为原来两个数最大条约数。数。13/45（2）算法步骤）算法步骤第一步：输入两个正整数第一步：输入两个正整数a,b(ab);第二步：若第二步：若a不等于不等于b,则执行第三步；不然转则执行第三步；不然转到第五步；到第五步；第三步：把第三步：把a-b差赋予差赋予r;第四步：假如第四步：假如br,那么把那么把b赋给赋给a,把把r赋给赋给b;不不然把然把r赋给赋给a，执行第二步；，执行第
10、二步；第五步：输出最大条约数第五步：输出最大条约数b.14/45（3 3）程序框图）程序框图（4 4）程序）程序INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND开始开始输入输入a,bab?是是否否 输出输出b结束结束 b=ra=br=a-brb?a=r否否是是15/45例例3 3 用更相减损术求用更相减损术求9898与与6363最大条约数最大条约数解：因为解：因为6363不是偶数，把不是偶数，把9898和和6363以大数减小数，以大数减小数，并辗转相减并辗转相减 98986363353
11、5636335352828353528287 728287 7212121217 7212114147 77 7所以，所以，9898和和6363最大条约数等于最大条约数等于7 7 用更相减损术求两个正数用更相减损术求两个正数8484与与7272最大条约数最大条约数 练习：练习：先约简，再求先约简，再求21与与18最大条约数最大条约数,然后乘以然后乘以两次约简质因数两次约简质因数416/45例例3、求、求324、243、135这三个数最大条约这三个数最大条约数。数。思绪分析：求三个数最大条约数能够先求出两个数思绪分析：求三个数最大条约数能够先求出两个数最大条约数，第三个数与前两个数最大条约数最大
12、最大条约数，第三个数与前两个数最大条约数最大条约数即为所求。条约数即为所求。17/45比较辗转相除法与更相减损术区分比较辗转相除法与更相减损术区分（1 1）都是求最大条约数方法，计算上辗转相除法）都是求最大条约数方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，尤其当两个数字大辗转相除法计算次数相对较少，尤其当两个数字大小区分较大时计算次数区分较显著。小区分较大时计算次数区分较显著。（2 2）从结果表达形式来看，辗转相除法表达结果）从结果表达形式来看，辗转相除法表达结果是以相除余数为是以相除余数为0 0则得
13、到，而更相减损术则以减数与则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到差相等而得到小结小结18/45案例案例22秦九韶算法秦九韶算法19/451.回顾算法三种表述：回顾算法三种表述：自然语言自然语言程序框图程序框图程序语言程序语言（三种逻辑结构）（三种逻辑结构）（五种基本语句）（五种基本语句）20/45案例2、秦九韶算法怎样求多项式怎样求多项式f(x)=xf(x)=x5 5+x+x4 4+x+x3 3+x+x2 2+x+1+x+1当当x=5x=5时值呢？时值呢？21/45计算多项式计算多项式()=当当x=5值值算法算法1：因为因为()=所以所以(5)=55555=3125625125255=39
14、06算法算法2：(5)=55555=5(5555)=5(5(555 )=5(5(5(5+5+)+)+)+=5(5(5(5(5+)+)+)+)+分析：两种算法中各用了几次乘法运算？和几次加法运算？分析：两种算法中各用了几次乘法运算？和几次加法运算？22/45算法算法1：因为因为()=所以所以(5)=55555=3125625125255=3906算法算法2：(5)=55555=5(5555)=5(5(555 )=5(5(5(5+5+)+)+)+=5(5(5(5(5+)+)+)+)+共做了共做了1+2+3+4=10次乘法运算，次乘法运算，5次加法运算。次加法运算。共做了共做了4次乘法运算，次乘法运
15、算，5次加法运算。次加法运算。23/45数书九章数书九章秦九韶算法秦九韶算法设设是一个是一个n 次多项式次多项式对该多项式按下面方式进行改写：对该多项式按下面方式进行改写：思考：当知道了思考：当知道了x x的值后该如何求多项式的值？的值后该如何求多项式的值？这是怎样一个改写方式？最终结果是什么？24/45要求多项式值，应该先算最内层一次多项式值，即要求多项式值，应该先算最内层一次多项式值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式值，即最终一项最终一项是什么？是什么？这种将求一个这种将求一个n次多项式次多项式f(x)值转化成求值转化成求n个一次个一次多项式值方法，
16、称为多项式值方法，称为秦九韶算法秦九韶算法。思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？25/45算法步骤：算法步骤：第一步：输入多项式次数第一步：输入多项式次数n、最高次项系数、最高次项系数an和和x值值.第二步：将第二步：将v值初始化为值初始化为an，将，将i值初始化为值初始化为1.第三步：输入第三步：输入i次项系数次项系数an-i.第四步：第四步：v=vx+an-i,i=i+1.第五步：判断第五步：判断i是否小于或等于是否小于或等于n，若是，则返回第，若是，则返回第三步；不然，输出多项式值三步；不然，输出多项式值v。26/45程序框图：程序框图
17、：这是一个在这是一个在秦九韶算法中秦九韶算法中重复执行步骤，所以可用重复执行步骤，所以可用循环结构来实现。循环结构来实现。输入输入an-i开始开始输入输入n,an,xin in 是否成立是否成立.若是，则输若是，则输 出出b b值；不然，返回第三步值；不然，返回第三步.第一步，输入第一步，输入a a和和n n值值.第三步，第三步，i=i+1.i=i+1.39/45思索思索4:4:按照上述思绪，把按照上述思绪，把k k进制数进制数 化为十进制数化为十进制数b b算法步算法步骤怎样设计？骤怎样设计？第四步，判断第四步，判断in in 是否成立是否成立.若是，则若是，则输出输出b b值；不然，返回第
18、三步值；不然，返回第三步.第一步，输入第一步，输入a a，k k和和n n值值.第二步，令第二步，令b=0b=0，i=1.i=1.第三步，第三步，i=i+1.i=i+1.40/45思索思索5:5:上述把上述把k k进制数进制数 化为十进制数化为十进制数b b算法程序框图算法程序框图怎样表示？怎样表示？开始开始输入输入a，k，nb=0i=1把把a右数第右数第i位数字赋给位数字赋给tb=b+tki-1i=i+1in?结束结束是是输出输出b否否41/45思索思索6:6:该程序框图对应程序怎样表述？该程序框图对应程序怎样表述？开始开始输入输入a，k，nb=0i=1把把a右数第右数第i位数字赋给位数字赋
19、给tb=b+tki-1i=i+1in?结束结束是是输出输出b否否INPUT aINPUT a，k k，n nb=0b=0i=1i=1t=a MOD10t=a MOD10DODOb=b+t*kb=b+t*k（i-1i-1）a=a10a=a10t=a MOD10t=a MOD10i=i+1i=i+1LOOP UNTIL iLOOP UNTIL in nPRINT bPRINT bENDEND42/45 例例1 1 将以下各进制数化为十进制数将以下各进制数化为十进制数.（1 1）1030310303（4 4）；（2 2）12341234（5 5）.理论迁移理论迁移1030310303（4 4）=14
20、=144 4+34+342 2+34+340 0=307.=307.12341234（5 5）=15=153 3+25+252 2+35+351 1+45+450 0=194.=194.43/45 例例2 2 已知已知10b110b1（2 2）=a02=a02（3 3）,求数字求数字a a，b b值值.所以所以2b+9=9a+22b+9=9a+2，即，即9a-2b=7.9a-2b=7.10b110b1（2 2）=12=123 3+b2+1=2b+9.+b2+1=2b+9.a02a02（3 3）=a3=a32 2+2=9a+2.+2=9a+2.故故a=1a=1，b=1.b=1.44/45 1.k 1.k进制数使用进制数使用0 0（k-1k-1）共）共k k个数个数字，但左侧第一个数位上数字（首位数字，但左侧第一个数位上数字（首位数字）不为字）不为0.0.小结小结 2.2.用用 表示表示k k进制数，其进制数，其中中k k称为基数，十进制数普通不标注基数称为基数，十进制数普通不标注基数.3.3.把把k k进制数化为十进制数普通算式进制数化为十进制数普通算式是：是：45/45
