1、第九章第九章 微分方程与差分方程介绍微分方程与差分方程介绍一、微分方程普通概念一、微分方程普通概念二、一阶微分方程二、一阶微分方程三、几个二阶微分方程三、几个二阶微分方程四、二阶常系数线性微分方程四、二阶常系数线性微分方程五、差分方程介绍五、差分方程介绍1/599.1 微分方程普通概念微分方程普通概念2/59解解1、问题提出3/59解解4/59代数方程代数方程特点：未知变量是数特点：未知变量是数方程方程：含有未知量含有未知量(数数)等式。等式。5/59函数方程（泛函方程）函数方程（泛函方程）特点：未知变量是函数特点：未知变量是函数6/591.1.微分方程定义微分方程定义定义定义：包含自变量，未
2、知函数以及未知函数一：包含自变量，未知函数以及未知函数一些阶导数关系式，称之为些阶导数关系式，称之为微分方程微分方程 。7/59常微分方程常微分方程：自变量自变量个数只有一个微分方程称为常微分方程常微分方程。偏微分方程：偏微分方程：自变量自变量个数有两个或两个以上微分方程称为偏微分方程偏微分方程。8/59未知函数导数最高阶数未知函数导数最高阶数n n称为该方程阶称为该方程阶。当当n=1n=1时，称为时，称为一阶微分方程一阶微分方程；当当n1n1时，称为时，称为高阶微分方程高阶微分方程。2.2.微分方程阶微分方程阶9/593.微分方程解微分方程解常微分方程解表示式中，若其所包含独立任意常数常微分
3、方程解表示式中，若其所包含独立任意常数个数恰好与该方程阶数相同，我们称这么解为该微个数恰好与该方程阶数相同，我们称这么解为该微分方程分方程通解通解。在通解中给予任意常数以确定值而得。在通解中给予任意常数以确定值而得到解，称为到解，称为特解特解。10/59为了得到合乎要求特解，需要对微分方程附为了得到合乎要求特解，需要对微分方程附加一定条件，它由系统在某一时刻初始状态加一定条件，它由系统在某一时刻初始状态给定。称这种条件为给定。称这种条件为初始条件初始条件。初始条件初始条件11/59常微分方程；常微分方程；微分方程阶；微分方程阶；微分方程解；微分方程解；通解通解;初始条件；初始条件；特解；特解；
4、小结小结偏微分方程；偏微分方程；12/599.2 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程普通形式是一阶微分方程普通形式是一阶微分方程初始条件：一阶微分方程初始条件：记作记作或或当当时，时，13/59解法解法为微分方程解为微分方程解.分离变量法分离变量法一、可分离变量一阶微分方程一、可分离变量一阶微分方程形如形如方程，称为方程，称为变量分离方程变量分离方程.14/59说明：以后能够不需要详细写出处理绝对值符号过程。15/59例例2 2 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分16/59例例3 练习：书本P410,2(1,2,3)17/59二、齐次微分方程二、齐次微分方程微分方程
5、称为微分方程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法可分离变量方程可分离变量方程1.1.定义定义18/5919/59例例 2 2 求解微分方程求解微分方程微分方程解为微分方程解为解解20/59例例 3 3 求解微分方程求解微分方程解解21/59微分方程解为微分方程解为练习：书本p410,3(3,4)22/5923/59一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式标准形式:上方程称为上方程称为齐次齐次.上方程称为上方程称为非齐次非齐次.比如比如线性线性;非线性非线性.三、一阶三、一阶线性线性微分方程微分方程24/59齐次方程通解为齐次方程通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程解
6、法解法(使用分离变量法使用分离变量法)25/592.线性非齐次方程线性非齐次方程26/5927/59解解例例3 3练习：书本P410 3(1，2)28/59小结：一阶微分方程求解一、变量分离方程；二、齐次方程（作变换y=ux）；三、线性方程（常数变异法）29/599.3 几个二阶微分方程几个二阶微分方程二阶微分方程普通形式为二阶微分方程普通形式为30/59形形 如如 微分方程是最简单二阶微分方微分方程是最简单二阶微分方程。程。一、最简单二阶微分方程一、最简单二阶微分方程特点特点：右端是：右端是 一元函数。一元函数。解法解法：连续求：连续求 两两 次积分。次积分。例例 解微分方程解微分方程31/
7、59特点特点：右端不显含：右端不显含解法解法32/59满足初始条件满足初始条件特解。特解。方程并分离变量后，有方程并分离变量后，有两端积分，得两端积分，得例例1 求微分方程求微分方程33/59即即所以所以两端积分，得两端积分，得于是所求特解为于是所求特解为34/59特点特点：右端不显含：右端不显含解法解法35/59解解代入原方程得代入原方程得 原方程通解为原方程通解为例例 236/5937/5938/59二阶常系数齐次线性方程普通形式二阶常系数齐次线性方程普通形式二阶常系数非齐次线性方程普通形式二阶常系数非齐次线性方程普通形式9.4 二阶常系数线性微分方程（补充内容）二阶常系数线性微分方程（补
8、充内容）39/59二、线性微分方程解结构二、线性微分方程解结构1.1.二阶常系数线性齐次方程解结构二阶常系数线性齐次方程解结构:问题问题:其中其中 、为常数为常数40/59证实：证实：由前面定理知由前面定理知 是（是（1）解）解 在在 不等于常数条件下，能够证实不等于常数条件下，能够证实 中含有两个任意中含有两个任意常数，所以常数，所以 是（是（1）解。）解。若若 ，则，则 ，于是，于是其中其中 ，因而，因而 中只有一个常数，所以不是（中只有一个常数，所以不是（1）通解。通解。满足满足 不等于常数这一条件两个解称为线性无关。不等于常数这一条件两个解称为线性无关。41/59所以，所以，是（是（1
9、）解充分必要条件是：常数）解充分必要条件是：常数 为为分析分析:若能够找到一个函数若能够找到一个函数 ,使得使得 ,且且 ,则则什么样函数含有这么特点呢什么样函数含有这么特点呢?我们很自然想到指数函数我们很自然想到指数函数 为常数为常数,将它代入上式得将它代入上式得则有则有 ,称为（称为（1）特征方程。）特征方程。特征方程根。特征方程根。42/59-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根43/59有两个不相等实根有两个不相等实根两个线性无关特解两个线性无关特解得齐次方程通解为得齐次方程通解为特征根为特征根为44/59有两个相等实根有两个相等实
10、根一特解为一特解为得齐次方程通解为得齐次方程通解为特征根为特征根为45/59有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程通解为得齐次方程通解为特征根为特征根为46/59定义定义 由常系数齐次线性方程特征方程根确定由常系数齐次线性方程特征方程根确定其通解方法称为其通解方法称为特征方程法特征方程法.解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 147/59解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 248/59小结小结二阶常系数齐次微分方程求通解普通步骤二阶常系数齐次微分方程求通解普通步骤:（1）写出对应特征方程）写出对应特征方程;（2）求出特征根）
11、求出特征根;（3）依据特征根不一样情况）依据特征根不一样情况,得到对应通解得到对应通解.(见下表见下表)49/5950/592.2.二阶非齐次线性方程解结构二阶非齐次线性方程解结构:51/59设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为设设(4)三、常数（或参数）变易法三、常数（或参数）变易法52/59(5)(4),(5)联立方程联立方程组组53/59积分可得积分可得非齐次方程通解为非齐次方程通解为54/59例例 求非齐次方程求非齐次方程 通解。通解。55/599.5差分方程普通概念差分方程普通概念定义定义9.3 设函数设函数 ，记为，记为 。当。当 取非
12、负整数时函数值取非负整数时函数值能够排成一个数列：能够排成一个数列：则差则差 称为函数称为函数 差分，也称为一阶差分，记为差分，也称为一阶差分，记为即即 。记为记为 ，即，即称为函数称为函数 二阶差分。二阶差分。56/59一样可定义三阶差分，四阶差分，一样可定义三阶差分，四阶差分，二阶及二阶以上差分统称为高阶差分。二阶及二阶以上差分统称为高阶差分。由定义可知差分含有以下性质：由定义可知差分含有以下性质：（1）（C为常数）为常数）（2）例例1 求求57/59（二）差分方程普通概念（二）差分方程普通概念定义定义.含有未知函数差分或表示未知函数几个时期含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值符号方程称为差分方程。形如值符号方程称为差分方程。形如方程都是差分方程。方程中含未知函数附标最大值与最小值差方程都是差分方程。方程中含未知函数附标最大值与最小值差数称为差分方程阶。数称为差分方程阶。定义定义.假如一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，假如一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，则称此函数为该差分方程解。假如差分方程解中含有独立任意常则称此函数为该差分方程解。假如差分方程解中含有独立任意常数个数恰好等于方程阶数，则称它为差分方程通解。数个数恰好等于方程阶数，则称它为差分方程通解。58/59一阶及二阶常系数线性差分方程（略）一阶及二阶常系数线性差分方程（略）59/59
