1、2.绝对值不等式解法第1页【自主【自主预习】1.1.含含绝对值不等式不等式|x|a|x|a|x|a解法解法(1)|x|a(1)|x|a(2)|x|a _(a0)_(a0)._(a0)._(a0),_(a0),_(a0)._(a0).-axa-axaxa或或x-ax0)2.|ax+b|c(c0)和和|ax+b|c(c0)|ax+b|c(c0)型不等式解法型不等式解法(1)|(1)|ax+b|cax+b|c_._.(2)|ax+b|c(2)|ax+b|c_._.-cax+bc-cax+bcax+bcax+bc或或ax+b-cax+b-c第3页3.|x-a|+|x-b|c3.|x-a|+|x-b|c
2、和和|x-a|+|x-b|c|x-a|+|x-b|c型不等式三种解型不等式三种解法法(1)(1)利用利用绝对值不等式几何意不等式几何意义.(2)(2)利用利用x-a=0,x-b=0 x-a=0,x-b=0解解,将数将数轴分成三个区分成三个区间,然后在每然后在每个区个区间上将原不等式上将原不等式转化化为不含不含绝对值不等式而解之不等式而解之.(3)(3)经过结构函数构函数,利用函数利用函数图象象.第4页【即【即时小小测】1.1.若不等式若不等式|8x+9|7|8x+9|7和不等式和不等式x x2 2+ax+b0+ax+b0解集相同解集相同,则a=_,b=_.a=_,b=_.第5页【解析】【解析】
3、由由|8x+9|7|8x+9|7得得-2x -2x 所以所以-a=(-2)+-a=(-2)+所以所以 答案答案:第6页2.2.不等式不等式 解集是解集是_.【解析【解析】由由 知知 0,0,解得解得0 x2.0 x2.答案答案:x|x|0 x20 x2第7页3.3.不等式不等式|x+1x+1|2-x|2-x解集是解集是_.【解析】【解析】当当x-1x-1时时,原不等式可化为原不等式可化为x+12-x,x+12-x,解得解得xx当当x-1x-1时时,原不等式可化为原不等式可化为-(x+1)2-x,-(x+1)2-x,此不等式无解此不等式无解.第8页综合上述综合上述,不等式不等式|x+1x+1|2
4、-x|2-x解集为解集为 答案答案:第9页【知【知识探究】探究】探究点探究点绝对值不等式解法不等式解法1.|x|1.|x|几何意几何意义是什么是什么?提醒提醒:|x|x|表示数轴上点表示数轴上点x x到原点到原点0 0距离距离.第10页2.|x-a|x-b|(ab)2.|x-a|x-b|(ab)型不等式怎型不等式怎样来解来解?提醒提醒:可经过两边平方去绝对值符号方法求解可经过两边平方去绝对值符号方法求解.第11页【归纳总结】1.|x-a|x-b|1.|x-a|x-b|几何意几何意义数数轴上点上点x x到点到点a,ba,b距离之和距离之和(差差)2.2.解含解含绝对值不等式关不等式关键解含解含绝
5、对值不等式关不等式关键是去掉是去掉绝对值符号符号,转化化为不含不含绝对值不等式不等式.第12页3.|f(x)|g(x)|3.|f(x)|g(x)|解法解法关于关于|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|解法可利用解法可利用|x|0)|x|0)x x2 2aa2 2思想思想去掉去掉绝对值符号符号(首先使首先使f(x),g(x)f(x),g(x)都有意都有意义).).第13页【典例】【典例】1.(1.(承德高二承德高二检测)若不等式若不等式|8x+9|7|8x+9|0+bx-20解集相同解集相同,则a,ba,b值为()A.a=-8,b=-10A.a=-8,b=-10B.a=-4,b=-9B.a=
6、-4,b=-9C.a=-1,b=9C.a=-1,b=9D.a=-1,b=2D.a=-1,b=22.2.对于于xR,xR,解不等式解不等式|2x-3|-x3.|2x-3|-x3.第14页【解【解题探究】探究】1.|8x+9|71.|8x+9|7解集是什么解集是什么?提醒提醒:2.2.典例典例2 2中不等式中不等式|2x-3|-x3|2x-3|-x3等价于什么等价于什么?提醒提醒:|2x-3|-x32x-3|-x3|2x-3|x+3.|2x-3|x+3.2x-3x+32x-3x+3或或2x-3-x-3.2x-3-x-3.第15页【解析】【解析】1.1.选选B.|8x+9|7B.|8x+9|7-78
7、x+97,-78x+97,解得解得-2x -2x 因为不等式因为不等式|8x+9|7|8x+9|0+bx-20解集相同解集相同,所以所以-2-2和和 是方程是方程axax2 2+bx-2=0+bx-2=0两根两根,由根与系数关系得由根与系数关系得:第16页2.2.方法一方法一:原不等式等价于原不等式等价于|2x-3|x+3,|2x-3|x+3,即即2x-3x+32x-3x+3或或2x-3-x-3,2x-3-x-3,解得解得x6x6或或x0.x0.所以不等式解集为所以不等式解集为(-,06,+).(-,06,+).方法二方法二:由题知由题知 解得解得x6x6或或x0,x0,所以不等式解集为所以不
8、等式解集为(-,06,+).(-,06,+).第17页【方法技巧】【方法技巧】含有一个含有一个绝对值号不等式常号不等式常见类型及其型及其解法解法(1)(1)形如形如|f(x)|a(aR)|f(x)|a(aR)型不等式型不等式.当当a0a0时,|f(x)|a,|f(x)|a-af(x)a.-af(x)a|f(x)|af(x)af(x)a或或f(x)-a;f(x)-a;第18页当当a=0a=0时,|f(x)|a,|f(x)|a|f(x)|af(x)0;f(x)0;当当a0a0时,|f(x)|a,|f(x)|a|f(x)|af(x)f(x)有意有意义即可即可.第19页(2)(2)形如形如|f(x)|
9、g(x)|f(x)|g(x)型不等式型不等式.|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x);-g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x)(f(x)-g(x)(其中其中g(x)g(x)可可正也可正也可负).).第20页(3)(3)形如形如a|f(x)|a0)a|f(x)|a0)型不等式型不等式.a|f(x)|b(0ab)a|f(x)|b(0ab)af(x)baf(x)b或或-bf(x)-a.-bf(x)-a.(4)(4)形如形如|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)型不等式型不等式.|f(x)|f(x)|f(x)|f
10、(x),|f(x)|f(x)f(x)0.f(x)0.第21页【变式式训练】1.1.不等式不等式|5x-x|5x-x2 2|6|6解集解集为()A.x|x2A.x|x3x3B.x|-1x2B.x|-1x2或或3x63x6C.x|-1x6C.x|-1x6D.x|2x3D.x|2x3第22页【解析】【解析】选选B.B.不等式不等式|5x-x|5x-x2 2|6|6等价于等价于-65x-x-65x-x2 26,6,由由5x-x5x-x2 263x3或或x2;x2;由由-65x-x-65x-x2 2解得解得-1x6.-1x6.综上知不等式综上知不等式|5x-x|5x-x2 2|6|6解集为解集为x|-1
11、x2x|-1x2或或3x6.3x6.第23页2.2.解不等式解不等式:1|x-2|3.:1c(c0)|ax+b|c(c0)或或|ax+b|0)|ax+b|0)型不等式后逐一求解型不等式后逐一求解,也可利用分区讨也可利用分区讨论法分两种情况去掉绝对值符号论法分两种情况去掉绝对值符号,还可用平方法转化为还可用平方法转化为不含绝对值不等式不含绝对值不等式.第24页【解析】【解析】方法一方法一:原不等式等价于不等式组原不等式等价于不等式组 即即 解得解得-1x1-1x1或或3x5,3x5,所以原不等式解集为所以原不等式解集为x|-1x1x|-1x1或或3x5.3x5.第25页方法二方法二:原不等式可转
12、化为原不等式可转化为:或或 由由得得3x5,3x5,由由得得-1x1,-1x1,所以原不等式解集是所以原不等式解集是x|-1x1x|-1x1或或3x5.3x5.第26页方法三方法三:原不等式解集就是原不等式解集就是1(x-2)1(x-2)2 299解集解集,即即 解得解得 所以所以-1x1-1x1或或3x5.3x5.所以原不等式解集是所以原不等式解集是x|-1x1x|-1x1或或3x5.3af(x)a恒成立恒成立,求求实数数a a取取值范范围.第28页【解【解题探究】探究】典例典例(1)(1)怎怎样去掉去掉|2x+1|+|2x-3|6|2x+1|+|2x-3|6绝对值符号符号?(2)(2)怎怎
13、样求求f(x)f(x)最小最小值?第29页提醒提醒:(1)(1)将将x x分成分成x ,-x ,-x x 和和x-x-三种情况三种情况,经过分类讨论去掉绝对值经过分类讨论去掉绝对值,将原不等式等价转化为三个将原不等式等价转化为三个一元一次不等式组一元一次不等式组,解这些不等式组即可得到原不等式解这些不等式组即可得到原不等式解集解集.(2).(2)利用绝对值不等式性质利用绝对值不等式性质:|a|+|b|:|a|+|b|a-b|,|a-b|,求出求出|2x+1|+|2x+a|2x+1|+|2x+a|最小值最小值|1-a|.|1-a|.第30页【解析】【解析】(1)(1)当当a=-3a=-3时时,f
14、(x)6,f(x)6为为|2x+1|+|2x-3|6,|2x+1|+|2x-3|6,等价于等价于 解得解得 x2 x2或或-x -x 或或-1x-,-1x-,所以不等式所以不等式f(x)6f(x)6解集为解集为-1,2.-1,2.第31页(2)(2)因为因为|2x+1|+|2x+a|2x+1-(2x+a)|=|1-a|,|2x+1|+|2x+a|2x+1-(2x+a)|=|1-a|,所以所以a|1-a|,a|1-a|,解得解得a ,a ,即实数即实数a a取值范围取值范围 第32页【延伸探究】【延伸探究】1.1.若将本例条件若将本例条件“f(x)=|2x+1|+|2x+a|”“f(x)=|2x
15、+1|+|2x+a|”换为“f(x)=|2x+1|-“f(x)=|2x+1|-|2x+a|”,|2x+a|”,且且f(x)af(x)a对任意任意x x恒成立恒成立,求求a a取取值范范围是什是什么么?第33页【解析】【解析】因为因为|2x+1|-|2x+a|2x+1-2x-a|=|1-a|2x+1|-|2x+a|2x+1-2x-a|=|1-a|因为因为f(x)af(x)a恒成立恒成立,所以所以|1-a|a.|1-a|,a ,所以所以a a取值范围是取值范围是 第34页2.2.本例条件不本例条件不变,若若f(x)|2x-4|f(x)|2x-4|解集包含解集包含1,2,1,2,求求a a取取值范范
16、围.【解析】解析】f(x)|2x-4|,f(x)|2x-4|,即即|2x-4|-|2x+1|2x+a|,|2x-4|-|2x+1|2x+a|,而而|2x-4|-|2x+1|2x-4-2x-1|=5|2x-4|-|2x+1|2x-4-2x-1|=5第35页所以所以|2x+a|5,|2x+a|5,得得 由条件得由条件得:解得解得-7a1.-7a1.所以所以a a取值范围是取值范围是-7,1.-7,1.第36页【方法技巧】【方法技巧】1.1.形如形如|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|型不等式解法型不等式解法这类问题简单解法是利用平方法解法是利用平方法,即即|f(x)|g(x)|f(x)|g(
17、x)|f(x)f(x)2 2g(x)g(x)2 2f(x)+g(x)f(x)-g(x)0.f(x)+g(x)f(x)-g(x)0)2.|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式解型不等式解法法(1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)(1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式有型不等式有三种解法三种解法:分区分区间(分分类)讨论法、法、图象法和几何法象法和几何法.分区分区间讨论方法含有普遍性方法含有普遍性,但但较麻麻烦;几何法和几何法和图象法直象法直观,但只适合用于数据但只适合用于数据较简单情况情况.第38页(2)“(
18、2)“零点分段法零点分段法”关关键在于在于对绝对值代数意代数意义理理解解,即即|x|=|x|=也即也即xR.xxR.x为非非负数数时,|x|,|x|为x;xx;x为负数数时,|x|,|x|为-x,-x,即即x x相反数相反数.第39页(3)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)(3)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式型不等式图象解法和画出函数象解法和画出函数f(x)=|x-a|+|x-b|-cf(x)=|x-a|+|x-b|-c图象是象是亲密相关密相关,正确地画出其正确地画出其图象关象关键是写出是写出f(x)f(x)分分段表示式段表示式.不妨
19、不妨设ab,ab,于是于是f(x)=f(x)=第40页这种种图象法关象法关键是合理是合理结构函数构函数,正确画出函数正确画出函数图象象,求求出函数零点出函数零点,表达了函数与方程表达了函数与方程结合、数形合、数形结合思想合思想.第41页【变式式训练】1.1.解不等式解不等式|x+1|+|x-1|3.|x+1|+|x-1|3.【解析】【解析】当当x x-1-1时时,原不等式可化为原不等式可化为-(x+1)-(x-1)3,-(x+1)-(x-1)3,解得解得x-.x-.当当-1x1-1x1时时,原不等式可化为原不等式可化为x+1-(x-1)3,x+1-(x-1)3,第42页即即2323无解无解.当
20、当x1x1时时,原不等式可化为原不等式可化为x+1+x-13x+1+x-13解得解得x .x .总而言之总而言之,原不等式解集是原不等式解集是:x|x-:x|x-或或x .x .第43页2.2.已知函数已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,aR.f(x)=|x-a|-|x+3|,aR.(1)(1)当当a=-1a=-1时,解不等式解不等式f(x)1.f(x)1.(2)(2)若当若当x0,3x0,3时,f(x)4,f(x)4,求求a a取取值范范围.第44页【解析】【解析】(1)(1)当当a=-1a=-1时时,不等式为不等式为|x+1|-|x+3|1.|x+1|-|x+3|1.当当x-3x-3
21、时时,不等式化为不等式化为-(x+1)+(x+3)1,-(x+1)+(x+3)1,不等式不成不等式不成立立.当当-3x-1-3x-1时时,不等式化为不等式化为-(x+1)-(x+3)1,-(x+1)-(x+3)1,解得解得x-1.x-1.第45页当当x-1x-1时时,不等式化为不等式化为(x+1)-(x+3)1,(x+1)-(x+3)1,不等式必成立不等式必成立.综上综上,不等式解集为不等式解集为 第46页(2)(2)当当x0,3x0,3时时,f(x)4,f(x)4即即|x-a|x+7,|x-a|x+7,由此得由此得a-7a-7且且a2x+7,a2x+7,当当x0,3x0,3时时,2x+7,2
22、x+7最小值为最小值为7,7,所以所以a a取值范围是取值范围是-7,7.-7,7.第47页【赔偿训练】已知已知f(x)=|x-3|+|x+1|-6,f(x)=|x-3|+|x+1|-6,若不等式若不等式f(x)m+1f(x)m+1解集解集为R,R,求求m m取取值范范围.【解析】【解析】因为对任意因为对任意x xR,f(x)m+1R,f(x)m+1恒成立恒成立,f(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6f(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6|3-x+x+1|-6=4-6=-2,|3-x+x+1|-6=4-6=-2,于是有于是有m+1-2,m+1
23、-2,得得m-3.m-3.即即m m取值范围是取值范围是(-,-3.(-,-3.第48页自我自我纠错绝对值不等式恒成立不等式恒成立问题【典例】【典例】求使不等式求使不等式 (|x+3|-|x+7|)m (|x+3|-|x+7|)m恒成立恒成立m m取取值范范围.第49页【失【失误案例】案例】第50页分析解分析解题过程程,找犯找犯错误之之处,并写出正确答案并写出正确答案.提醒提醒:错误根本原因是指数函数与对数函数单调性记错错误根本原因是指数函数与对数函数单调性记错,底数小于底数小于1,1,应为减函数应为减函数,所以不等式要变号所以不等式要变号.第51页【解析】【解析】不等式不等式 (|x+3|-|x+7|)m (|x+3|-|x+7|)|x+3|-|x+7|恒成立恒成立.由绝对值不等式几何意义知由绝对值不等式几何意义知|x+3|-|x+7|(x+3)-(x+7)|=4,|x+3|-|x+7|(x+3)-(x+7)|=4,即即 所以所以m-2.m-2.第52页第53页
