1、高二数学 选修2-2 第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理合情推理引言引言 “推理与证明推理与证明”是数学的基本思维是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理普通涉及合情推用的思维方式推理普通涉及合情推理和演绎推理在本章中，我们将通理和演绎推理在本章中，我们将通过对已学知识的回想，进一步体会合过对已学知识的回想，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差别；体会数学证明的特点，理系与差别；体会数学证明的特点，理解数学证明的基本办法解数学证明的基本办法,涉及
2、直接证涉及直接证明的办法（如分析法、综正当、数学明的办法（如分析法、综正当、数学归纳法）和间接证明的办法（如反证归纳法）和间接证明的办法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。有据的习惯。歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)(Goldbach Conjecture)任何一种不不大于任何一种不不大于6 6的偶数都等于两个奇质数之的偶数都等于两个奇质数之和和不不大于不不大于6 6的偶数奇质数奇质数的偶数奇质数奇质数3710，31720，131730，改写为改写为
3、:1037，20317，30131763+3，1000100029+97129+971，83+5，1002=139+863,105+5,125+7，147+7，165+11,，根据上述过程根据上述过程,歌德巴赫大胆地猜想歌德巴赫大胆地猜想:任何一种不不大于任何一种不不大于6 6的的偶数都等于两个奇质数之和偶数都等于两个奇质数之和歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫提出猜想的推理过程歌德巴赫提出猜想的推理过程:通过对某些偶数的验证，发现通过对某些偶数的验证，发现它们总能够体现成两个奇质数之和（并且没有反例），于是它们总能够体现成两个奇质数之和（并且没有反例），于是猜想：任何一
4、种不不大于猜想：任何一种不不大于6 6的偶数都等于两个奇质数之和。的偶数都等于两个奇质数之和。这种由某类事物的部分对象含有某些特性，推这种由某类事物的部分对象含有某些特性，推出该类事物的全部对象都含有这些特性的推理，或出该类事物的全部对象都含有这些特性的推理，或者由个别事实概括出普通结论的推理，称为归纳推者由个别事实概括出普通结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）理（简称归纳）.简言之：归纳推理是由特殊到普通的推理简言之：归纳推理是由特殊到普通的推理例如：例如：金受热后体积膨胀，金受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀，铁受热后体积膨胀，铁受热后体
5、积膨胀，金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力削弱，分子运动加速，分子彼热后分子的凝聚力削弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而造成体积膨胀此距离加大，从而造成体积膨胀.因此，全部的金属受热后都体积膨胀。因此，全部的金属受热后都体积膨胀。例例1.已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1，且，且（n=1,2,),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.分别把分别把n=2,3,4代入代入 得得:观察可得：数列的前观察可得：数列的前4项都等于对应项数的倒数。项都等于对应项数的倒数。由此猜想由此猜想（归纳）（归纳）这个数列
6、的通项公式为：这个数列的通项公式为：归纳推理的普通环节：归纳推理的普通环节：检查猜想。检查猜想。提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想；（猜想不一定对的）（猜想不一定对的）对有限的资料进行观察、分析、归纳整顿；对有限的资料进行观察、分析、归纳整顿；根据图中根据图中5个图形及对应点的个数的变化规律个图形及对应点的个数的变化规律,试猜想第试猜想第n个图形中有个图形中有 个点个点.(1)(2)(3)(4)(5)练练习习课本课本P30 1,2 二、除了归纳，在人们的发明发明活动中，二、除了归纳，在人们的发明发明活动中，还经常应用类比。例如：还经常应用类比。例如：2.2.人们仿照鱼类
7、的外型和它们在人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理水中沉浮的原理,发明了潜水艇发明了潜水艇.1.1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿和蝗虫的牙齿,发明了锯发明了锯3、火星上与否存在生命？、火星上与否存在生命？可能有生命存在可能有生命存在有生命存在有生命存在温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存
8、球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层火星围绕太阳运行、绕轴火星围绕太阳运行、绕轴火星围绕太阳运行、绕轴火星围绕太阳运行、绕轴自转自转自转自转地球围绕太阳运行、绕轴地球围绕太阳运行、绕轴地球围绕太阳运行、绕轴地球围绕太阳运行、绕轴自转自转自转自转火星火星火星火星地球地球地球地球3、火星上与否存在生命？、火星上与否存在生命？以上几个例子均是根据两个以上几个例子均是根据两个(或两类或两类)对象之对象之间在某些方面的相似或相似间在某些方面的相似或相似,推表演它们在推表演它们在其它方面也相似或
9、相似其它方面也相似或相似,像这样的推理普通像这样的推理普通称为类比推理称为类比推理.(.(简称简称:类比法类比法)（2 2）类比推理的普通模式为）类比推理的普通模式为:注：（注：（1 1）简言之简言之,类比推理是从类比推理是从特殊特殊到到特殊特殊的推理的推理.类比推理基础类比推理基础类比推理类比推理以以已知的已知的、旧旧的知识为基础的知识为基础由由特殊特殊到到特殊特殊的推理的推理类比推理的结论类比推理的结论不一定成立不一定成立注意注意类比推理的作用类比推理的作用推测新的成果，含有发现的功效推测新的成果，含有发现的功效数数有限有限相等相等四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）球球面面线线
10、几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形三角形圆圆向量向量无限无限 不等不等代数中常见的类比对象代数中常见的类比对象线线平面几何平面几何立体几何立体几何点点例例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=b ac=bc;(3)a=ba2=b2;猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1)aba+cb+c;(2)ab acbc;(3)aba2b2;例题解析：例题解析：问：这样猜想出的结论与否一定对的？问：这样猜想出的结论与否一定对的？例例2 类比实数的加法和乘法类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算
11、性质列出它们相似的运算性质.类比角度类比角度实数的加法实数的加法实数的乘法实数的乘法运算结果运算结果若若a,b R,则则a+b R运算律运算律(交换律和交换律和结合律结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算逆运算加法的逆运算是减法加法的逆运算是减法,使得使得方程方程a+x=0有唯一解有唯一解x=-a单位元单位元a+0=a若若a,b R,则则ab Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法乘法的逆运算是除法,使得使得ax=1有唯一解有唯一解x=1/aa1=a例例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一种定点的距离等于
12、定圆的定义：平面内到一种定点的距离等于定长的点的集合长的点的集合.球的定义：空间中到一种定点的距离等于定球的定义：空间中到一种定点的距离等于定长的点的集合长的点的集合.圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2
13、=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与但是球心的截面球心与但是球心的截面(圆面圆面)的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2运用圆的性质类比得出球的性质运
14、用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积直角三角形直角三角形C C90902 2条直角边条直角边a a，b b和和1 1条斜边条斜边c c3个面两两垂直的四周体个面两两垂直的四周体PDFPDFPDEPDEEDFEDF9090三个两两垂直的面三个两两垂直的面S S1 1，S S2 2，S S3 3和和1 1个个“斜面斜面”S S例例4：类比平面内直角三角形的勾股定理，：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四周体性质的猜想。试给出空间中四周体性质的猜想。ABCbacs1s3PEF的面积为的面积为SPEs2DF？c2=a2+b2分析分析
15、分析分析：MPEF的面积为的面积为S下面证明猜想与否成立：下面证明猜想与否成立：过过D点作点作DM EF,垂足为垂足为M，连接，连接PM，则，则PM EFPEDFM 变式练习：在三角形变式练习：在三角形ABC中有结论：中有结论：AB+BCAC，类似地在四周体，类似地在四周体P-ABC中有中有 .PABCS1S2S3PAB的面积为的面积为S练习练习2.由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:图图(1)图图(2)类比推理类比推理由由由由特殊特殊特殊特殊到到到到特殊特殊特殊特殊的推理的推理的推理的推理;以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基
16、础,推测新的成果；推测新的成果；推测新的成果；推测新的成果；结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立.归纳推理归纳推理由部分到整体、特殊到普通的推理由部分到整体、特殊到普通的推理由部分到整体、特殊到普通的推理由部分到整体、特殊到普通的推理;以以以以观察分析观察分析观察分析观察分析为基础为基础为基础为基础,推测推测推测推测新新新新的结论的结论的结论的结论;含有发现的功效含有发现的功效含有发现的功效含有发现的功效;结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立.含有发现的功效含有发现的功效含有发现的功效含有发现的功效;合情推理合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，
17、通过观察、归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，通过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。想的推理，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。合情推理的应用合情推理的应用数学研究中，得到一种新结论之前，合情推理数学研究中，得到一种新结论之前，合情推理经常能协助我们猜想和发现结论。经常能协助我们猜想和发现结论。证明一种数学结论之前，合情推理经常能为我证明一种数学结论之前，合情推理经常能为我们提供证明的思路和方向们提供证明的思路和方向两个推
18、理两个推理的过程的过程:从具体问从具体问题出发题出发观察观察,分析分析,比较比较,联想联想归纳归纳,类比类比提出提出猜想猜想例例5:5:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片个金属片;2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测;把把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针,最少需要移动多少次最少需要移动多少次?解解;设设anan表达移动表达移
19、动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2=3 3123课本：课本：p27当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2=3 3解解;设设anan表达移动表达移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当n n=3=3时时,a,a3 3=7 7当当n=4n=4时时,a,a4 4=1515猜想猜想 a an n=2 2n n-1-1123 小结小结归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程从具体问从具体问题出发题出发观察
20、、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理 1.归纳推理归纳推理:由某类事物的部分对象含有某些特性，推由某类事物的部分对象含有某些特性，推出该类事物的全部对象都含有这些特性的推理，或者由个出该类事物的全部对象都含有这些特性的推理，或者由个别事实概括出普通结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）别事实概括出普通结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之：归纳推理是由特殊到普通的推理2.归纳推理的普通环节：归纳推理的普通环节：检查猜想。检查猜
21、想。提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想；对有限的资料进行观察、分析、对有限的资料进行观察、分析、归纳整顿；归纳整顿；小结小结2.2.类比推理类比推理:在两类不同事物之间进行对在两类不同事物之间进行对比比,找出若干相似或相似点之后找出若干相似或相似点之后,推测在其推测在其它方面也能够存在相似或相似之处的一种它方面也能够存在相似或相似之处的一种推理模式推理模式,称为类比推理称为类比推理.(.(简称简称;类比类比)2.类比推理的普通环节：类比推理的普通环节：找出两类对象之间能够确切表述的相似找出两类对象之间能够确切表述的相似特性；特性；用一类对象的已知特性去推测另一类对象用一类对象的已知特性去推测另一类对象的特性的特性,从而得出一种猜想；从而得出一种猜想；检查猜想。检查猜想。简言之：类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理是由特殊到特殊的推理
