1、 类比推理是由两类对象含有某些类似特性类比推理是由两类对象含有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类对象也含有这些特性的推理；类比推理由特殊对象也含有这些特性的推理；类比推理由特殊到特殊的推理，借助类比推理能够推测未知、到特殊的推理，借助类比推理能够推测未知、能够发现新结论、能够探索和提供解决问题的能够发现新结论、能够探索和提供解决问题的思路和办法；因此，类比推理是一种很重要的思路和办法；因此，类比推理是一种很重要的推理，它在近年各级各类的考试中，也时有出推理，它在近年各级各类的考试中，也时有出现；本节介绍类比推理的命题特点，揭示求解现；本
2、节介绍类比推理的命题特点，揭示求解规律，但愿对你求解这类问题能有所协助。规律，但愿对你求解这类问题能有所协助。由两类对象含有某些类似特性和其中一类对由两类对象含有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特性象的某些已知特性,推出另一类对象也含有推出另一类对象也含有这些特性的推理称为类比推理这些特性的推理称为类比推理.(.(简称简称:类比类比)类比推理的几个特点类比推理的几个特点1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测推测正在研究的事物的属性正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础是以旧有的认识为基础,类比出新的成果类比出新的成果.2.2.类比是从一种事物
3、的类比是从一种事物的特殊特殊属性推测另一种事物属性推测另一种事物的的特殊特殊属性属性.3.3.类比的成果是猜想性的不一定可靠类比的成果是猜想性的不一定可靠,但它却有但它却有发现的功效发现的功效.类比推理类比推理复习复习:练习：练习：平面内平面内,两组对边分别相等的四边形是两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形.空间中空间中,两组对边分别相等的四边形是两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形.平面内平面内,同时垂直于一条直线的两条同时垂直于一条直线的两条直线互相平行直线互相平行.空间中空间中,同时垂直于一条直线的两条同时垂直于一条直线的两条直线互相平行直线互相平行.类比推理所得的类
4、比推理所得的结论不一定可靠结论不一定可靠.类比得到下列结论，判断其与否对的：类比得到下列结论，判断其与否对的：圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与但是球心的截面球心与但是球心的截面(圆面圆面)
5、的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 21.1.运用圆的性质类比得出球的性质运用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积圆有切线圆有切线球有切面球有切
6、面平面向量平面向量空间向量空间向量若若 ，则则 若若 ，则则 2.2.运用平面对量的性质类比得空间向量的性质运用平面对量的性质类比得空间向量的性质等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式前前n项和项和3.运用等差数列性质类比等比数列性质运用等差数列性质类比等比数列性质等差数列等差数列等比数列等比数列中项中项性质性质n+m=p+q时时,am+an=ap+aqn+m=p+q时时,aman=apaq任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项，为，为当且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项，为，为成等差数列成等差数列成等比数列成等比数列下标等差下标等差,项等差项等
7、差下标等差下标等差,项等比项等比【引例引例1】推广：推广：题型1.类比概念 类比某些熟悉的概念，产生的类比推理型试题；在求解时能够借助原概念所涉及的基本办法与基本思路。例1.等和数列的定义是：若数列an从第二项起，后来每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和；如果数列an是等和数列，且a1=1，a2=2，写出数列an的一种通项公式为 ；分析：分析：由定义知公和为由定义知公和为3，且，且那么那么 题型2.类比定理 从初中到高中我们学过的定理诸多，这些定理是产生类比型问题的“沃土”。请看：例例2.2.在平面几何里有勾股定理：在平面几何里有勾股定理：“设的两边
8、互设的两边互相垂直，则。相垂直，则。”拓展到空间，类比平面几何的拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，能够得出的对的结论是：之间的关系，能够得出的对的结论是：“设三设三棱锥的三侧面两两垂直，则棱锥的三侧面两两垂直，则 。”分析：在平面上是线的关系，在空间呢？假若是面分析：在平面上是线的关系，在空间呢？假若是面的关系，类比一下：直角顶点所对的边的平方是另的关系，类比一下：直角顶点所对的边的平方是另外两边的平方和，而直角顶点所对的面会有什么关外两边的平方和，而直角顶点所对的面会有什么关系呢？大胆一点猜想：系呢？大胆一点
9、猜想：事实上，如图作事实上，如图作事实上，如图作事实上，如图作AEAEAEAECDCDCDCD于于于于E,E,E,E,连连连连BEBEBEBE，则则则则BEBEBEBECDCDCDCD平面图形与空间图形的类比关系以下：平面图形与空间图形的类比关系以下：平面图形与空间图形的类比关系以下：平面图形与空间图形的类比关系以下：平面图形平面图形平面图形平面图形空间图形空间图形空间图形空间图形点点点点线线线线线（线段长度）线（线段长度）线（线段长度）线（线段长度）面（面积）面（面积）面（面积）面（面积）面（封闭图形）（面积）面（封闭图形）（面积）面（封闭图形）（面积）面（封闭图形）（面积）体（几何体）（体
10、积）体（几何体）（体积）体（几何体）（体积）体（几何体）（体积）题型3.类比性质 从一种特殊式子的性质、一种特殊图形的性质入手，产生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者之间的联系与区别，进一步思考两者的转化过程是求解的核心。例例3.我们懂得：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆我们懂得：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心连线与该弦垂直；那么，若椭圆心连线与该弦垂直；那么，若椭圆b2x2+a2y2=a2b2的的一条弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，一条弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明。你能得到什么结论？请予以证明。分析：假若弦的斜率与弦的中点和圆心连线
11、的斜率都分析：假若弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由于两线垂直，我们懂得斜率之积为存在，由于两线垂直，我们懂得斜率之积为1；对于；对于方程方程 ，（若，（若a=b，则方程即为圆的，则方程即为圆的方程）由此能够猜想两斜率之积为方程）由此能够猜想两斜率之积为 。证明：证明：设弦设弦AB的两端点的坐标分别为的两端点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点为中点为P，则由点差法得：，则由点差法得：题型题型4.类比办法类比办法 有某些解决问题的办法，含有类比性，结合这些办有某些解决问题的办法，含有类比性，结合这些办法产生的问题，在求解时，要注意知识的迁移。法产生的问题，在求解时，要
12、注意知识的迁移。例例4.若点若点P是正四周体是正四周体 的面的面BCD上一上一点，且点，且P到另三个面的距离分别为到另三个面的距离分别为h1,h2,h3，该正四周体的高为该正四周体的高为h，则（，则（）分析：由点分析：由点P是正三角形是正三角形ABC的边的边BC上一点，且到另两上一点，且到另两边的距离分别为边的距离分别为h1和和h2，正三角形，正三角形ABC的高为的高为h，由面，由面积相等很快能够得到积相等很快能够得到h=h1+h2；于是，类比办法，平面；于是，类比办法，平面上用面积，空间中用体积，立刻可得答案为上用面积，空间中用体积，立刻可得答案为B题型题型题型题型5.5.类比类比类比类比“
13、陷阱陷阱陷阱陷阱”类比推理是一种较好、很重要的推理，为使这种推理更类比推理是一种较好、很重要的推理，为使这种推理更类比推理是一种较好、很重要的推理，为使这种推理更类比推理是一种较好、很重要的推理，为使这种推理更严谨、更完美，有时也会故意设计某些让你严谨、更完美，有时也会故意设计某些让你严谨、更完美，有时也会故意设计某些让你严谨、更完美，有时也会故意设计某些让你“误入歧途误入歧途误入歧途误入歧途”的类比推理型陷阱题。的类比推理型陷阱题。的类比推理型陷阱题。的类比推理型陷阱题。例例例例5.5.平面几何中有平面几何中有平面几何中有平面几何中有“一种角的两边分别垂直于另一种角一种角的两边分别垂直于另一
14、种角一种角的两边分别垂直于另一种角一种角的两边分别垂直于另一种角的两边则两角相等或互补的两边则两角相等或互补的两边则两角相等或互补的两边则两角相等或互补”；在立几；在立几；在立几；在立几“当一种二面角当一种二面角当一种二面角当一种二面角的两个半平面分别垂直于另一种二面角的两个半平面的两个半平面分别垂直于另一种二面角的两个半平面的两个半平面分别垂直于另一种二面角的两个半平面的两个半平面分别垂直于另一种二面角的两个半平面时时时时”，两二面角（，两二面角（，两二面角（，两二面角（）A.A.互补互补互补互补 B.B.相等相等相等相等 C.C.互补或相等互补或相等互补或相等互补或相等 D.D.此两二面角
15、的关系不定此两二面角的关系不定此两二面角的关系不定此两二面角的关系不定分析：平几中的这个结论有很大的误导性，建立在这个结论的分析：平几中的这个结论有很大的误导性，建立在这个结论的基础上，可能会不知不觉基础上，可能会不知不觉“上当上当”误选答案（误选答案（C）；）；其实，对的答案为其实，对的答案为 ，作一种图形就能够发现结论。，作一种图形就能够发现结论。（D）借助类比推理进行命题是命题改革产生的一类新型试题，从前面的例题能够看出，命题的方式诸多，可设计的命题点也诸多。面对这些试题我们要搞清晰是知识型类比还是办法型类比，不同的类型将有不同的分析与求解思路。类比推理是难点，防不胜防！类比推理是难点，
16、防不胜防！归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,通通过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理理.从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想合情推理合情推理 由两类对象含有某些类似特性和其中一类对由两类对象含有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类对象也含有这象的某些已知特性，推出另一类对象也含有
17、这些特性的推理称为类比推理（简称类比）。些特性的推理称为类比推理（简称类比）。【类比推理类比推理】重要环节（重要环节（1）首先，找出两类对象之间）首先，找出两类对象之间 能够确切表述的相似特性；能够确切表述的相似特性；（2）然后，用一类对象的已知特性去推测另）然后，用一类对象的已知特性去推测另一类对象的特性，从而得出一种猜想；一类对象的特性，从而得出一种猜想；（3）最后，检查这个猜想。）最后，检查这个猜想。小结小结:类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理是由特殊到特殊的推理“多考一点想，少考一点算多考一点想，少考一点算”，以能力立意的数学高考试题不停推出某些思以能力立意的数学高考试题不停推出某些
18、思路开阔、情境新颖脱俗的创新题型，路开阔、情境新颖脱俗的创新题型，开普勒对类比也情有独钟：开普勒对类比也情有独钟：“我珍视类我珍视类比赛过任何别的东西，它是我最可信赖比赛过任何别的东西，它是我最可信赖的老师的老师”正由于如此，以上这些有趣而富有启迪正由于如此，以上这些有趣而富有启迪的类比越来越多地受到了命题专家的关的类比越来越多地受到了命题专家的关注，逐步成为高考命题的新视角。注，逐步成为高考命题的新视角。1.1.在平面几何里在平面几何里在平面几何里在平面几何里,有勾股定理有勾股定理有勾股定理有勾股定理:见书例题见书例题见书例题见书例题“设设设设ABCABC的两边的两边的两边的两边ABAB、A
19、CAC互相垂直，则互相垂直，则互相垂直，则互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定拓展到空间，类比平面几何的勾股定拓展到空间，类比平面几何的勾股定拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，能够理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，能够理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，能够理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，能够得出的对的结论是得出的对的结论是得出的对的结论是得出的对的结论是“设三棱锥设三棱锥设三棱锥设三棱锥A-BCDA-BCD的三个侧面的三个侧面的三个侧面的三个侧面ABCABC、ACDAC
20、D、ADBADB两两互相垂直，则两两互相垂直，则两两互相垂直，则两两互相垂直，则 .DABC练练1、平面与空间中的余弦定理：、平面与空间中的余弦定理：见书阅读材料见书阅读材料平面：平面：三角形三角形ABC中，中，空间：空间：四周体四周体A-BCD中，中，设二面角设二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次为的大小依次为练练2、（、（2004广东）广东）见书练习见书练习 由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:图图(1)图图(2)2：(2005年全国年全国)计算机中惯用的十六进位计算机中惯用的十六进位制是逢制是逢16进进1的计算制，采用数字的计算
21、制，采用数字0-9和字和字母母A-F共共16个计数符号，这些符号与十进制个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系以下表；的数的对应关系以下表；十六进位十六进位十进位十进位例如用例如用16进位制表达进位制表达+1，则，则（）（）十六进位十六进位9十进位十进位9101112131415E E3：已知三角形的面积为：已知三角形的面积为 其中其中a、b、c 为三角形边长，为三角形边长，r 为内为内 圆的半径。利用类比推理写出四面体圆的半径。利用类比推理写出四面体 的体积公式。的体积公式。【分析分析】面面 积积 体体 积积 边边 长长 面面 积积 内切圆内切圆 内切球内切球【练习练习】1、推测推测2、（书习题）（书习题）在等差数列在等差数列an中，若中，若 a10=0，则，则 a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19)相应地，在等比数列相应地，在等比数列bn中，若中，若 b9=1，则则_.3.如图，已知如图，已知O是是 ABC内任意一点，内任意一点，连接连接AO、BO、CO，并延长交对边，并延长交对边 于于A、B、C，则，则 其证明方法常用面积法。其证明方法常用面积法。通过类比推理，能够猜想如何的结论？通过类比推理，能够猜想如何的结论？OABCA B C
