1、2.1.12.1.1合情推理合情推理(1)(1)2.12.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理推理是根据一种或几个已知的判断来拟定一种新推理是根据一种或几个已知的判断来拟定一种新的判断的思维过程。的判断的思维过程。推理普通由两部分构成：前提和结论情景创设1：世界近代三大数学难题之一世界近代三大数学难题之一四色猜想问题：四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使含有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表达，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一种区域总能够用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相似的数字。”情景创设1：世界近代三大数学难题之二世界近代
2、三大数学难题之二费马大定理：当整数n 2时，有关x,y,z的不定方程 xn+yn=zn.无正整数解。出名出名猜想猜想哥德巴赫，德国数学家。1742年6月7日，他在写给出名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想：一、任何不不大于6的偶数，都是两个奇质数之和：二、任何不不大于9的奇数，都是3个奇质数之和。这就是数学史上出名的“哥德巴赫猜想”。据说歌德巴赫无意中观察到据说歌德巴赫无意中观察到:3+7=10,3+17=20,13+17=303+7=10,3+17=20,13+17=30他故意把上面的式子改成他故意把上面的式子改成:10=3+7,20=3+17,20=13+1710=3+7,20=3
3、+17,20=13+17其中其中 反映出这样一种规律反映出这样一种规律:偶数偶数=奇质数奇质数+奇质数奇质数12=5+712=5+714=7+714=7+716=5+1116=5+111000=29+9711000=29+9711002=139+8631002=139+863歌德巴赫大胆的猜想歌德巴赫大胆的猜想:任何一种不不大于任何一种不不大于6 6的偶数都的偶数都等于奇质数的和等于奇质数的和 这种由某类事物的部分对象含有某些特这种由某类事物的部分对象含有某些特性性,推出该类事物的全部对象都含有这些特性推出该类事物的全部对象都含有这些特性的推理的推理,或者由个别事实概括出普通结论的推或者由个别
4、事实概括出普通结论的推理理,称为归纳推理称为归纳推理.归纳推理是由归纳推理是由.到到.,.,由由.到到.例如例如:由铜由铜 铁铁 金等金属能导电金等金属能导电,归纳出归纳出:一切金属都能导电一切金属都能导电.由直角三角形由直角三角形 等腰三角形等腰三角形 等边三角形的内角和为等边三角形的内角和为180180度度,归纳出归纳出:三角形的内角和为三角形的内角和为180180度度.你还能举某些你还能举某些归纳推理的例子吗归纳推理的例子吗?一一.归纳推理归纳推理部分整体个别普通应用归纳推理能够发现新事实，获得新结论。（但要注意，结论可能为真，也可能为假。）例题例题1:1:观察下列的等式观察下列的等式,
5、你有什么你有什么猜想吗猜想吗?1+3=4=21+3=4=22 21+3+5=9=31+3+5=9=32 21+3+5+7=16=41+3+5+7=16=42 21+3+5+7+9=25=51+3+5+7+9=25=52 2 由此猜想由此猜想:前前n n个持续的奇数的和个持续的奇数的和等于等于n n的平方的平方,即即:1+3+5+(2n-1)=n21+3+5+(2n-1)=n2 例例2:已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1，且，且（n=1,2,),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.分别把分别把n=2,3,4代入代入 得得:观察可得：数列的前观察可得：数列的前4项都等于对
6、应项数的倒数。项都等于对应项数的倒数。可用数学归纳法证明这个猜想是对的的可用数学归纳法证明这个猜想是对的的.由此猜想由此猜想（归纳）（归纳）这个数列的通项公式为：这个数列的通项公式为：小结：归纳推理的普通环节小结：归纳推理的普通环节:(1)通过观察特例发现通过观察特例发现特例的特例的某些共性某些共性;(2)把这种共性推广为一种明确体现的把这种共性推广为一种明确体现的普通性命题普通性命题(猜想猜想).（理科）练习（理科）练习 P77 1 2概括、推广概括、推广猜测一般性结论猜测一般性结论实验、观察实验、观察（文科）练习（文科）练习 P30 1 2 1.从一种传说说起：春从一种传说说起：春秋时代鲁
7、国的鲁班，一次去秋时代鲁国的鲁班，一次去林中砍树时被一株齿形的茅林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩晦气事却草割破了手，这桩晦气事却使他发明了锯子使他发明了锯子.他的思路是这样的：他的思路是这样的：茅草是齿形的茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也能够是齿形的它也能够是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？这个推理过程是归纳推理吗？情景创设2：火星火星地球地球相似点相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。分时间的温度适合地球
8、上的某些已知生物的生存等。地球上有生命地球上有生命火星上可能有生命火星上可能有生命上述推理是如何的一种过程呢？上述推理是如何的一种过程呢？猜想猜想3.3.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇发明了潜水艇.2.定义：根据两个（或两类）对象之间在定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相似，推表演它们在其某些方面的相似或相似，推表演它们在其它方面也相似或相似它方面也相似或相似,像这样的推理普通像这样的推理普通称为类比推理称为类比推理.(.(简称：类比简称：类比)二二.类比推类比推理理 发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比推发明行星三大运动
9、定律的开普勒曾说类比推理是自然奧妙的参加者和自己最佳的老师理是自然奧妙的参加者和自己最佳的老师 数学家波利亚曾指出数学家波利亚曾指出“类比是一种伟大的引路人类比是一种伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.”.”简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理（2）从运算的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即解：（1）两个实数通过加法运算或乘法运算后，所得的成果仍然是一种实数。a+b=b+aab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)例例3:3:类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质
10、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质（3）从逆运算的角度考虑，加法和乘法都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。方程ax=0ax=1(a0）解a=x（4）在加法中，任意实数与0相加都不变化大小；任意实数与1的积都等于原来的数，即a+0=a我们要根据实际状况选择适宜的类我们要根据实际状况选择适宜的类比对象如：比对象如：平面平面空间空间正方形正方形正方体正方体圆圆球球三角形三角形三棱锥三棱锥例例4：试根据等式的性质试根据等式的性质猜想猜想不等式的性质不等式的性质.等等 式式不等式不等式(1)a=b a+c=b+cab a+cb+c(2)a=b ac=bcab acbcab a2
11、b2(3)a=b a2=b2等等等等解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：问：这样猜想出的结论与否一定对的？问：这样猜想出的结论与否一定对的？猜想猜想猜想猜想猜想猜想数学应用：观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论类比推理的普通环节类比推理的普通环节:找出两类对象之间能够确切表述的相似特性；找出两类对象之间能够确切表述的相似特性；用一类对象的已知特性去推测另一类对象的特性，用一类对象的已知特性去推测另一类对象的特性，从而得出一种猜想；从而得出一种猜想；即即归纳推理：归纳推理的前提是几个已知的特殊现归纳推理：归纳推理的前提是几个已知
12、的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的普通现象，该象，归纳所得的结论是尚属未知的普通现象，该结论超越了前提所包容的范畴，是从特殊到普通结论超越了前提所包容的范畴，是从特殊到普通得命题的猜想，与否对的是需要证明的。得命题的猜想，与否对的是需要证明的。类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相似或相似点之后，推测在其它对比，找出若干相似或相似点之后，推测在其它方面也能够存在相似或相似之处的一种推理模式，方面也能够存在相似或相似之处的一种推理模式，类比推理与否对的是需要证明的。类比推理与否对的是需要证明的。实验、观察实验、观察概括、推广概括、
13、推广猜想普通性结论猜想普通性结论观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新的结论猜想新的结论对对 比比概括、推广概括、推广联想、类推联想、类推 合情推理合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，通过归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，通过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一种新结论之前，合情推理数学研究中，得到一种新结
14、论之前，合情推理经常能协助我们猜想和发现结论。经常能协助我们猜想和发现结论。证明一种数学结论之前，合情推理经常能为我证明一种数学结论之前，合情推理经常能为我们提供证明的思路和方向们提供证明的思路和方向由平面内的圆，我们联想到空间里的球，由平面内的圆，我们联想到空间里的球，让他们来类比你能找到他们有让他们来类比你能找到他们有哪些类似的特性？哪些类似的特性？例例5:试将平面上的圆与空间的球进行类比试将平面上的圆与空间的球进行类比.解：圆与球在它们的的生成、形状、定义等解：圆与球在它们的的生成、形状、定义等方面都含有相似的属性方面都含有相似的属性.据此，圆与球的有据此，圆与球的有关元素之间可建立以下
15、的对应关系：关元素之间可建立以下的对应关系：圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积等等，于是根据圆的性质，能够猜想球的性质等等，于是根据圆的性质，能够猜想球的性质以下表：以下表：圆的性质圆的性质球的性质球的性质圆心与弦圆心与弦(不是直径不是直径)的中点的中点的连线垂直于弦的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的半圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点的直线必经过切点经过切点
16、且垂直于切线的直经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心线必经过圆心球心与截面圆球心与截面圆(不是大圆不是大圆)的的圆点的连线垂直于截面圆圆点的连线垂直于截面圆与球心距离相等的两截面圆与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆不等，距球心较近的截面圆较大截面圆较大球的切面垂直于过切点的半球的切面垂直于过切点的半径；通过球心且垂直于切面径；通过球心且垂直于切面的直线必通过切点的直线必通过切点通过切点且垂直于切面的直通过切点且垂直于切面的直线必通过球心线必通过球心（理科）（理科）P73探究（文科）（文科）P25探究直角三角形直角三角形C903个边的长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边c例例6：类比平面内直角三角形的勾股定：类比平面内直角三角形的勾股定理理,试给出空间中四周体性质的猜想试给出空间中四周体性质的猜想3个面两两垂直的四周体个面两两垂直的四周体PDFPDEEDF90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面”S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面”S
