1、2.1 数列极限Ch2 Ch2 极限与持续极限与持续 称为称为数列数列，记为记为,其中其中 称为数列的称为数列的通项通项或或一般项一般项；正整数正整数n称为称为 的的下标下标.例如：例如：Def:无穷多个按自然数编号无穷多个按自然数编号1,2,排列的一列数：排列的一列数：数列是自变量取正整数的函数数列是自变量取正整数的函数(整标函整标函数数)v 引例引例 如何用渐近的办法求圆的面积如何用渐近的办法求圆的面积S？A1表达圆内接正表达圆内接正6边形面积边形面积,A2表达圆内接正表达圆内接正12边形面积边形面积,A3表达圆内接正表达圆内接正24边形面积边形面积,An表达圆内接正表达圆内接正6 2n-
2、1边形面积边形面积,A1A2A3 显然n越大,内接正多边形面积An越靠近于圆面积S.,用圆内接正多边形的面积近似圆的面积用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.也就是说当也就是说当n趋于无穷大时趋于无穷大时(记为记为n),An以圆以圆面积面积S为极限为极限(记为记为AnS)例例1 1v 数列极限的描述性定义数列极限的描述性定义 解解一种记号，不可称极限存在一种记号，不可称极限存在惯用收敛数列惯用收敛数列:问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限靠近无限靠近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如
3、何用数学语言刻划它言刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：几何解释几何解释:其中其中例例2证证因此因此,阐明阐明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.例例3证证例例4 4 求下列数列极限：求下列数列极限：解解分子分母同除以分子分母同除以最高次项最高次项(3)分子有理化分子有理化由于由于因此因此对数合并对数合并由于由于因此因此分子分母同除以分子分母同除以底
4、数最大的指数底数最大的指数2.2 函数极限惯用极限符号惯用极限符号一、自变量趋向无穷大时函数的极限另两种情形另两种情形:几何解释几何解释:二、自变量趋向有限值时函数的极限几何解释几何解释:注意：注意：注意注意左极限左极限右极限右极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例证证定理定理惯用来判断极惯用来判断极限不存在！限不存在！(2)极限存在的重要定理极限存在的重要定理 (Th2.1)解解x=0为分段点为分段点2.3 变量的极限定理定理 收敛的数列必然有界收敛的数列必然有界.注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必然发散无界数列必然发散.定理定理2.5 2.5 每个收敛的数列只有一种极限每个收敛的数列只有一种极限.
